Функтор Ext

В математиці, функтор Ext є похідним функтором функтора Hom. Разом із функтором Tor, Ext є одним із головних понять гомологічної алгебри. За допомогою цього функтора можна дати означення когомології груп, когомології алгебр Лі і когомології Хохшильда.

У випадку абелевих груп, Ext був введений Рейнхольдом Бером у 1934 році. Термін Ext був запропонований у 1942 році Ейленбергом і МакЛейном, які застосували це поняття у топології. Для модулів над довільним кільцем, означення функтора Ext було дане Картаном і Ейленбергом у 1956 році в книзі Homological Algebra.

Означення

Нехай R — кільце і R-Mod позначає категорію модулів над R. (Для некомутативних кілець це може бути категорія лівих R-модулів чи правих R-модулів.) Для деякого R-модуля A, позначимо T(B) = Hom_R(A, B) де B належить категорії R-Mod. Цей функтор є точним зліва функтором із категорії R-Mod у категорію абелевих груп Ab, і тому для нього існує правий похідний функтор RⁱT. Групами Ext є абелеві групи за означенням рівні

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

для цілих чисел i.

Більш детально, нехай маємо деяку ін'єктивну резольвенту:

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots .}$

Відкинемо в ній елемент B, і утворимо коланцюговий комплекс:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

Для кожного цілого числа i, Extⁱ_R(A, B) є когомологією цього комплексу по порядку i. Для від'ємних i когомологія вважається рівною нулю. Наприклад, Ext⁰_R(A, B) є ядром відображення Hom_R(A, I⁰) → Hom_R(A, I¹), яке є ізоморфним Hom_R(A, B).

Еквівалентне означення використовує функтор G(A)=Hom_R(A, B), для деякого R-модуля B. У даному випадку маємо контраваріантний функтор, який можна розглядати як точний зліва функтор із оберненої категорії (R-Mod)^op у категорію Ab. Групи Ext за означеннями є похідними функторами RⁱG:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

В цьому випадку спершу вводиться проєктивна резольвента

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0.}$

Після вилучення A і утворення коланцюгового комплекса:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots }$

можна означити Extⁱ_R(A, B) як когомологію цього комплексу в позиції i.

Описані вище побудови не залежать від вибору проєктивної чи ін'єктивної резольвенти і у всіх випадках отримуються однакові групи.

Для комутативного кільця R і R-модулів A і B, Extⁱ_R(A, B) є R-модулем (використовуючи те, що Hom_R(A, B) є R-модулем у цьому випадку). Для некомутативного кільця R, Extⁱ_R(A, B) є загалом лише абелевою групою. Якщо R є алгеброю над кільцем S (що, зокрема, означає, що S є комутативним кільцем), тоді Extⁱ_R(A, B) є принаймні S-модулем.

Властивості Ext

• Ext⁰_R(A, B) ≅ Hom_R(A, B).

• Extⁱ
  _R(A, B) = 0 для всіх i > 0 якщо R-модуль A є проєктивним (наприклад, вільним) або якщо B є ін'єктивним.

• виконуються і обернені твердження:
  • Якщо Ext¹
    _R(A, B) = 0 для всіх B, тоді A є проєктивним (і тому Extⁱ
    _R(A, B) = 0 для всіх i > 0).
  • Якщо Ext¹
    _R(A, B) = 0 для всіх A, тоді B є ін'єктивним (і тому Extⁱ
    _R(A, B) = 0 для всіх i > 0).

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$ для всіх i ≥ 2 і всіх абелевих груп A і B.

• Якщо R є комутативним кільцем і елемент u не є дільником нуля, тоді

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

для кожного R-модуля B. Тут B[u] позначає підгрупу у B, задану як {x ∈ B: ux = 0}. Якщо R є кільцем цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ за допомогою цих обчислень можна порахувати ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$ для будь-якої скінченнопородженої абелевої групи A.

• Згідно загальних властивостей похідних функторів, для Ext існують дві основні довгі точні послідовності. Спершу, коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 R-модулів породжує довгу точну послідовність виду

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

для будь-якого R-модуля A. Також, коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 породжує довгу точну послідовність

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

для будь-якого R-модуля B.

• Ext відображає прямі суми (можливо нескінченні) по першій змінній і прямі добутки по другій змінній у прямі добутки. Тобто,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• Нехай A скінченнопороджений модуль над комутативним нетеровим кільцем R. Тоді Ext комутує із операцією локалізації, тобто для кожної мультиплікативно замкнутої множини S у R, довільного R-модуля B і цілого числа i,

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

Ext і розширення

Еквівалентність розширень

Назва Ext походить від зв'язку із розширеннями модулів. Для R-модулів A і B, розширенням A за допомогою B називається коротка точна послідовність R-модулів

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0.}$

Два розширення

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0}$

${\displaystyle 0\to B\to E'\to A\to 0}$

називаються еквівалентними (як розширення A за допомогою B) якщо існує комутативна діаграма

Середня стрілка при цьому є ізоморфізмом. Розширення A за допомогою B розщеплюється якщо воно є еквівалентним тривіальному розширенню

${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.}$

Існує бієкція між класами еквівалентності розширень A за допомогою B і елементами Ext⁰_R(A, B). При цій бієкції тривіальні розширення відповідають нульовим елементам груп Ext¹_R(A, B).

Суми Бера розширень

Сума Бера є описом абелевої структури Ext¹_R(A, B), якщо її розглядати як клас еквівалентності розширення A за допомогою B. А саме, для двох розширень

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0}$

і

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,}$

спершу розглядається розшарований добуток над ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}$

Тоді можна взяти фактор-модуль

${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.}$

Сумою Бера E і E′ є розширення

${\displaystyle 0\to B\to Y\to A\to 0,}$

де першим відображенням є ${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))],}$ а другим ${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$.

Сума Бера є визначеною з точністю до еквівалентності, комутативною і нейтральним елементом є тривіальне розширення. Оберненим розширенням до розширення 0 → B → E → A → 0 є розширення із тим самим модулем E але із заміною гомоморфізму E → A на від'ємний.

Побудова Ext для абелевих категорій

Нобуо Йонеда ввів абелеві групи Extⁿ
_C(A, B) для об'єктів A і B в довільній абелевій категорії C; його означення узгоджується із означення в термінах резольвент якщо C має достатньо проєктивних чи ін'єктивних об'єктів. Спершу, Ext⁰_R(A,B) = Hom_C(A, B). Далі, Ext¹
_C(A, B) є множиною класів еквівалентності розширення A за допомогою B, що є абелевою групою відносно суми Бера. Нарешті, групи Ext вищих порядків Extⁿ
_C(A, B) за означенням є класами еквівалентності n-розширень, тобто точними послідовностями

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

згідно відношення еквівалентності породженого рівностями між розширеннями виду

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

якщо існують відображення X_m → X′_m для всіх m із {1, 2, ..., n} такі, що всі відповідні квадрати комутують, тобто якщо існує ланцюгове відображення ξ → ξ', що є рівним одиничному на A і B.

Сума Бера таких двох n-розширень утворюються введенням ${\displaystyle X''_{1}}$ як розшарованого добутку ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X'_{1}}$ над A, і ${\displaystyle X''_{n}}$ як розшарованого кодобутку ${\displaystyle X_{n}}$ і ${\displaystyle X'_{n}}$ під B. Тоді сума Бера розширень є рівною

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

Важливі окремі випадки

• Когомологія груп є рівною ${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$, де G є групою, M є представлення G над цілими числами, і ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ є груповим кільцем G.

• Для алгебри A над кільцем k і A-бімодуля M, когомологія Хохшильда є рівною

${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• Когомологія алгебр Лі є рівною ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$, де ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є алгеброю Лі над комутативним кільцем k, M є ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль, і ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ є універсальною обгортуючою алгеброю.

• Для топологічного простору X, когомологія пучків є рівною ${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$ Тут Ext розглядається у абелевій категорії пучків абелевих груп на X, і ${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ є пучком локально сталих функцій із значенням у ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (із дискретною топологією).

• Для локального кільця Нетер R із полем лишків k, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$ має структуру кокомутативної градуйованої алгебри Хопфа над k. Коли характеристика k є рівною 0, то ця алгебра є універсальною обгортуючою алгеброю когомології Андре — Квіллена D*(k/R,k) (що є градуйованою алгеброю Лі).

Див. також

• Похідний функтор
• Функтор Hom

Примітки

1. Weibel (1999); Cartan & Eilenberg (1956), section VI.1.
2. Weibel (1994), sections 2.4 і 2.5 і Theorem 2.7.6.
3. Weibeil (1994), Lemma 3.3.1.
4. Weibel (1994), означення 2.1.1.
5. Weibel (1994), Proposition 3.3.4.
6. Weibel (1994), Lemma 3.3.8.
7. Weibel (1994), Theorem 3.4.3.
8. Weibel (1994), Corollary 3.4.5.
9. Weibel (1994), Vists 3.4.6. Some minor corrections is in errata.
10. Quillen (1970), section 7.

Література

• Baer, Reinhold (1934), Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen, Mathematische Zeitschrift, 38(1): 375—416, doi:10.1007/BF01170643, Zbl 0009.01101
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homological algebra, Princeton: Princeton University Press, ISBN , MR 0077480
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1942), Group extensions and homology, Annals of Mathematics, 43: 757—931, MR 0007108
• Quillen, Daniel (1970), On the (co-)homology of commutative rings, Applications of categorical algebra, Proc. Symp. Pure Mat., т. 17, American Mathematical Society, с. 65—87, MR 0257068
• Weibel, Charles A (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 38, Cambridge University Press, ISBN , MR 1269324
• Weibel, Charles A. (1999), History of homological algebra, History of topology (PDF), Amsterdam: North-Holland, с. 797—836, MR 1721123