Проєктивний модуль — важливий тип модулів, що є узагальненням вільних модулів. З точки зору теорії категорій, проєктивні модулі є окремим випадком проєктивних об'єктів.
Визначення
Проєктивний модуль можна визначити кількома еквівалентними способами.
- Модуль
над кільцем
(як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), називається проєктивним, якщо для будь-якого гомоморфізма
і епіморфізма
існує такий гомоморфізм
, що
, тобто дана діаграма є комутативною:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekJrTDFCeWIycGxZM1JwZG1WZmJXOWtkV3hsTG5CdVp5OHhOVEJ3ZUMxUWNtOXFaV04wYVhabFgyMXZaSFZzWlM1d2JtYz0ucG5n.png)
- Модуль
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує такий модуль
, що пряма сума
є вільним модулем.
- Справді, нехай
є компонентою прямої суми
, яка є вільним модулем, і
— гомоморфізм, a
— епіморфізм. Тоді
теж є гомоморфізмом (
— проєкція прямої суми
на перший доданок
), а так як вільні модулі є проєктивними, то існує гомоморфізм
, такий, що
, звідси
, де
— гомоморфізм включення
, звідси
- Справді, нехай
- Навпаки, нехай
— проєктивний модуль. Кожен модуль є гомоморфним образом вільного. Нехай
— відповідний епіморфізм. Тоді тотожний ізоморфізм
буде рівним
для деякого
, так як
є проєктивним. Будь-який елемент
тоді можна записати як
,
- де
є ізоморфним
.
- Навпаки, нехай
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого епіморфізма
індукований гомоморфізм
теж є епіморфізмом.
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли він переводить будь-яку коротку точну послідовність
в точну послідовність
.
- Модуль
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли кожна коротка точна послідовність модулів виду
- розщеплюється. Тобто для відображення f : B ↠ P на діаграмі існує відображення h : P → B, таке що f ∘ h = idP. У цьому випадку h(P) є прямим доданком модуля B, h є ізоморфізмом із P на h(P), а h ∘ f є проєкцією на h(P). Це також можна записати як
- Модуль
над кільцем
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує множина
і множина гомоморфізмів
таких що для кожного
виконується рівність
і fi(x) не рівне нулю лише для скінченної кількості індексів i.
- Модуль
над кільцем
є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для всіх R-модулів T функтор Ext задовольняє умову
(і тому
)
Властивості
- Пряма сума модулів є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли кожен доданок є проєктивним.
- Будь-який проєктивний модуль над кільцем головних ідеалів або локальним комутативним кільцем є вільним модулем.
- Будь-який проєктивний модуль є плоским.
- Локалізація проєктивного модуля над комутативним кільцем є проєктивним модулем над локалізованим кільцем. Оскільки проєктивний модуль над локальним кільцем є вільним то локалізація кільця модуля по всіх простих ідеалах є вільним модулем. Також ця властивість описується так, що проєктивний модуль є локально вільним.
Приклади
- Найпростіший приклад проєктивного модуля — вільний модуль
.
- Справді, нехай
— елементи базису модуля
і
. Оскільки
— епіморфізм, можна знайти такі
, що
. Тоді
можна визначити, задавши його значення на векторах базису як
.
- Для кілець многочленів від кількох змінних над полем будь-який проєктивний модуль є вільним.
- У кільці Дедекінда кожен ідеал, що не є головним є проєктивним модулем і не є вільним модулем.
- Абелева група є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли вона є вільною.