Плоский модуль

Плоский модуль над кільцем R  — такий модуль, що тензорний добуток на цей модуль зберігає точні послідовності. Модуль називається строго плоским, якщо послідовність тензорних добутків точна тоді і тільки тоді, коли точною є вихідна послідовність.

Векторні простори, вільні і, більш загально, проєктивні модулі є плоскими. Для скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцями плоскі модулі  — те ж саме, що проєктивні модулі. Для скінченнопороджених модулів над локальними кільцями все плоскі модулі є вільними модулями.

Поняття плоского модуля було введено Серром в 1955 році.

Означення

Можна дати кілька еквівалентних означень плоского модуля. Нижче означення подані для комутативних кілець.

• (Лівий) ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$ називається плоским тоді і тільки тоді, коли функтор тензорного добутку ${\displaystyle N\mapsto M\otimes _{R}N}$ є точним. Даний функтор переводить ${\displaystyle R}$-гомоморфізм ${\displaystyle f:\;N'\;\rightarrow \;N}$ у ${\displaystyle R}$-гомоморфізм ${\displaystyle f^{*}:\;M\otimes N'\;\rightarrow \;M\otimes N,}$який на елементах виду ${\displaystyle x\otimes y,\;x\in M,y\in N'}$ задається як ${\displaystyle f^{*}(x\otimes y)=x\otimes f(y)}$і лінійно продовжується на весь тензорний добуток.
• Оскільки функтор тензорного добутку завжди є точним справа, попередню вимогу можна послабити. А саме, ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$ є плоским, якщо для будь-якого ін'єктивного ${\displaystyle R}$-модулів ${\displaystyle f:K\to L}$ індуковане відображення ${\displaystyle f^{*}:M\otimes _{R}K\to M\otimes _{R}L}$ також є ін'єктивним.
• Модуль ${\displaystyle M}$ є плоским, якщо для кожного в кільці ${\displaystyle R}$ (з природним вкладенням ${\displaystyle I\hookrightarrow R}$) індуковане відображення ${\displaystyle I\otimes _{R}M\to R\otimes _{R}M\cong M}$є ін'єктивним.
• Існує направлена множина ${\displaystyle R}$-модулів ${\displaystyle \{F_{\alpha }\}_{\alpha }}$ з такими властивостями:

1. Для всіх ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle F_{\alpha }}$ є скінченнопородженим вільним ${\displaystyle R}$-модулем.
2. Індуктивна границя множини рівна ${\displaystyle M}$: ${\displaystyle \varinjlim _{\alpha }F_{\alpha }=M}$.

• Для будь-якої лінійної залежності в ${\displaystyle M}$,

${\displaystyle r^{T}x=\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}=0}$,

де ${\displaystyle r_{i}\in R,x_{i}\in M}$, існує матриця ${\displaystyle A\in R^{k\times j}}$ така що

1. ${\displaystyle Ay=x}$ має розв'язок для деякого ${\displaystyle y\in M^{j}}$.
2. ${\displaystyle r^{T}A=0}$.

• Для будь-якого ${\displaystyle R}$-модуля ${\displaystyle N}$,

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(N,M)=0}$ де ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}}$ позначає функтор Tor.

• Для будь-якого скінченнопородженого ідеала ${\displaystyle I\subset R}$,

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/I,M)=0}$.

• Для довільного відображення ${\displaystyle f:F\to M}$, де ${\displaystyle F}$ є скінченнопородженим вільним ${\displaystyle R}$-модулем, і для довільного скінченнопородженого ${\displaystyle R}$-підмодуля ${\displaystyle K\leq \ker f}$, ${\displaystyle f}$ розкладається через відображення у вільний ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle G,}$ для якого образ ${\displaystyle K}$ є нулем:

Factor property of a flat module

Властивості плоских модулів над комутативним кільцем

• Пряма сума ${\displaystyle \bigoplus \nolimits _{i\in I}M_{i}}$є плоским модулем тоді і тільки тоді, коли кожен модуль ${\displaystyle M_{i}}$ є плоским.
• Нехай ${\displaystyle \{M_{i}:i\in I\}}$є направленою системою плоских модулів над кільцем R, де I — направлена множина. Тоді індуктивна границя ${\displaystyle M=\varinjlim M_{i}}$ теж є плоским модулем.
• Теорема Говорова — Лазара: (лівий, правий) модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли він є індуктивною границею скінченнопороджених вільних модулів.
• Для будь-якої мультиплікативної системи S кільця R локалізація кільця S^-1R є плоским R-модулем.
• Модуль M над комутативним кільцем R є плоским тоді і тільки тоді, коли для кожного простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ локалізація ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ є плоским ідеалом і тоді і тільки тоді коли для кожного максимального ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset R}$ локалізація ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$ є плоским ідеалом.
• Скінченнопороджений модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є локально вільним. Локально вільний модуль над кільцем R  — такий модуль M, що його локалізація за будь-яким простим ідеалом ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ є вільним модулем над кільцем часток ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$.

• Плоскі модулі можна вказати на наступному ланцюжку включень:

Модулі без кручень ⊃ плоскі модулі ⊃ проєктивні модулі ⊃ вільні модулі.

• Для деяких класів кілець правильними є і обернені включення: наприклад, кожен модуль без кручень над дедекіндовим кільцем є плоским, плоский модуль над кільцем Артіна є проєктивним і проєктивний модуль над областю головних ідеалів (або над локальним кільцем) є вільним.
• Якщо M є скінченнопредставленим модулем (тобто існує точна послідовність ${\displaystyle 0\to K\to F\to M\to 0}$ в якій K і F є скінченнопородженими модулями і F також вільним модулем) то M є плоским тоді і тільки тоді, коли він є проєктивним. Якщо додатково R є комутативним локальним кільцем, то M є вільним модулем.
• Для R-модуля еквівалентними M є такі твердження (які можна вважати означеннями строго плоских модулів):
  1. Послідовність ${\displaystyle 0\;\rightarrow \;N'\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;N\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;\;N''\rightarrow 0}$ R-модулів є точною тоді і тільки тоді, коли точною є послідовність ${\displaystyle 0\;\rightarrow \;M\otimes N'\;{\xrightarrow {\ f^{*}\ }}\;M\otimes N\;{\xrightarrow {\ g^{*}\ }}\;\;M\otimes N''\rightarrow 0.}$
  2. Модуль M є плоским і для довільного R-модуля N, якщо ${\displaystyle M\otimes N=0}$ то ${\displaystyle N=0.}$
  3. Модуль M є плоским і для довільного R-гомоморфізма ${\displaystyle f:\;N'\;\rightarrow \;N}$, якщо породжений гомоморфізм ${\displaystyle f^{*}:\;M\otimes N'\;\rightarrow \;M\otimes N}$є нульовим гомоморфізмом, то і ${\displaystyle f=0.}$
• Для строго плоского R-модуля M його анулятор ${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}$є рівним нулю. Натомість плоский модуль із нульовим анулятором не обов'язково буде строго плоским, прикладом чого є ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• R-модуль M є строго плоским тоді і тільки тоді, коли він є плоским і для кожного максимального ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset R,\;{\mathfrak {m}}M\neq M.}$
• Якщо кільце S є R-алгеброю, тобто існує гомоморфізм ${\displaystyle f:R\to S}$, то S є строго плоским R-модулем тоді і тільки тоді, коли кожен простий ідеал кільця R є прообразом під дією f деякого простого ідеалу з S, тобто коли відображення ${\displaystyle f^{*}\colon \mathrm {Spec} (S)\to \mathrm {Spec} (R)}$ є сюр'єктивним (див. статтю Спектр кільця).
• Нехай, як і вище, S є R-алгеброю і вона є строго плоским R-модулем. Якщо ${\displaystyle S\otimes _{R}M}$ є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) S-модулем, то і M є скінченнопородженим (скінченнопредставленим) R-модулем.
• При позначеннях попередньої властивості якщо ${\displaystyle S\otimes _{R}M}$ є скінченнопородженим проєктивним S-модулем, то і M є скінченнопородженим проєктивним R-модулем.

Категорні кограниці

• Прямі суми і індуктивні границі плоских модулів є плоскими. Це випливає з того факту, що тензорний добуток комутує з прямими сумами і індуктивними границями (більше того, воно комутує з усіма кограницями). Підмодулі і фактор-модулі плоского модуля не обов'язково є плоскими (наприклад, плоским не є модуль Z/2 Z). Проте якщо підмодуль плоского модуля є в ньому прямим доданком, то фактор за ним є плоским.

• Модуль є плоским тоді і тільки тоді, коли він є індуктивною границею скінченнопороджених вільних модулів. З цього випливає, зокрема, що кожен скінченнопредставлений плоский модуль є проєктивним.

Приклади

• Оскільки для кільця R і довільного R-модуля M виконується ${\displaystyle M\simeq R\otimes _{R}M,}$то R є плоским R-модулем. Відповідно це ж буде справедливим і для довільного вільного модуля над кільцем R.
• Оскільки ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ є локалізацією кільця ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ за мультиплікативною множиною ${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{0\},}$ то ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ є плоским ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модулем. Це є прикладом плоского але не проєктивного модуля. Також це є прикладом плоского модуля із нульовим анулятором, який не є строго плоским. Дійсно, наприклад, ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} _{2}=0}$але ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\neq 0.}$

• Для будь-якого цілого числа ${\displaystyle n>1,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ не є плоским над ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ оскільки ${\displaystyle n:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} ,x\mapsto nx}$ є ін'єктивним, але похідне відображення на тензорному добутку з ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ не є ін'єктивним.

• Модуль ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ не є плоским над ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

• Для кільця многочленів ${\displaystyle S=A[x_{1},\dots ,x_{r}]}$ над нетеровим кільцем ${\displaystyle A}$ і многочлена ${\displaystyle f\in S}$, що не є дільником нуля, ${\displaystyle S/fS}$ є плоским над ${\displaystyle A}$ якщо і тільки якщо ${\displaystyle f}$ є примітивним многочленом.

• Для нетерового кільця ${\displaystyle R}$ і його ідеалу ${\displaystyle I}$ поповнення ${\displaystyle A\to {\widehat {A}}}$ за ідеалом ${\displaystyle I}$ є плоским. Воно є строго плоским тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle I}$ міститься у радикалі Джекобсона кільця ${\displaystyle R}$.

Гомологічна алгебра

Властивість «плоскості» модуля можна виразити за допомогою функтора Tor, лівого похідного функтора для тензорного добутку. Лівий R- модуль M є плоским тоді і тільки тоді, коли Tor_n^R(-,M) = 0 для всіх ${\displaystyle n\geq 1}$ (тобто коли Tor_n^R(X, M) = 0 для всіх ${\displaystyle n\geq 1}$ і всіх правих R-модулів X), означення плоского правого модуля є аналогічним. Використовуючи цей факт, можна довести кілька властивостей короткої точної послідовності модулів:

${\displaystyle 0\longrightarrow A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0}$

• Якщо A і C плоскі, то і B плоский.
• Якщо B і C плоскі, то і A є плоским.

• Якщо A і B плоскі, C в загальному випадку не є плоским. Однак:
• Якщо A  — прямий доданок модуля B і B є плоским, то A і C плоскі.

Плоскі резольвенти

Плоска резольвента модуля M  — це резольвента виду

… → F₂ → F₁ → F₀ → M → 0

де всі F_i є плоскими модулями. Плоскі резольвенти використовуються при обчисленні функтора Tor.

Довжина плоскої резольвенти  — це найменший індекс n, такий що F_n не дорівнює нулю і F_i = 0 для всіх i, що є більшими за n. Якщо модуль M має скінченну плоску резольвенту, її довжина називається плоскою розмірністю модуля. , в іншому випадку говорять, що плоска розмірність нескінченна. Наприклад, якщо модуль M має плоску розмірність 0, то з точністю послідовності 0 → F₀ → M → 0 випливає, що M є ізоморфним F ₀ , тобто є плоским.

Див. також

• Вільний модуль
• Проєктивний модуль
• Скрут (алгебра)

Примітки

1. Matsumura, 1970, Proposition 3.G
2. Bourbaki, Ch. I, § 2. Proposition 13, Corollay 1.
3. Lazard, D. (1969), , Bulletin de la Societe Mathematique de France, 97: 81—128, архів [http: //www.numdam.org/item? id = BSMF_1969__97__81_0 оригіналу] за 19 листопада 2016, процитовано 19 липня 2019
4. Eisenbud, Exercise 6.4.
5. Matsumura, 1970, Corollary 1 of Theorem 55, p. 170
6. Matsumura, 1970, Theorem 56
7. Lam, 1999, p. 183.

Література

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1322960
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1653294
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp.