Радикалом Джекобсона кільця R називається множина елементів з R, які анулюють всі прості R-модулі, або саме кільце R, якщо простих R-модулів не існує. Радикал кільця R позначається через J(R). Тобто:
- де Sm(R) позначає множину простих модулів над кільцем R.
Радикал Джекобсона був введений і детально досліджений американським математиком (N. Jacobson) у 1945 році.
Еквівалентні визначення
Радикал Джекобсона завжди існує і може бути охарактеризований багатьма способами:
- Радикал Джекобсона кільця R — ідеал J{R) асоціативного кільця А, що задовольняє наступним двом умовам:
- J (А) — найбільший квазірегулярний ідеал в R (елемент
називається квазірегулярним, якщо рівняння а + х - ах=0 має розв'язок
Для кілець з одиницею це еквівалентно оборотності елемента 1 - a);
- у фактор-кільці R/J{R) немає квазірегулярних ідеалів, окрім нульового.
- J(R) є перетином ядер всіх незвідних представлень кільця;
- J(R) є перетином всіх регулярних максимальних правих ідеалів і перетин всіх регулярних максимальних лівих ідеалів.
Приклади
- Радикал Джекобсона довільного поля рівний {0}. Радикал Джекобсона кільця цілих чисел рівний {0}.
- Радикал Джекобсона кільця Z/8Z — 2Z/8Z.
- Якщо K — поле і R = K[[X1, ..., Xn]] — кільце формальних степеневих рядів, тоді елементами J(R) є ті степеневі ряди вільним член яких рівний нулю.
Властивості
- Якщо I — ідеал в кільці R, то
, якщо
— кільце всіх матриць порядку n над R, то
.
- Якщо на асоціативному кільці R ввести наступну операцію:
- то в напівгрупі
радикал J(R) відносно операції
буде підгрупою.
- Над квазірегулярним (тобто таким, що збігається зі своїм радикалом Джекобсона) асоціативним кільцем не існує ненульових скінченно породжених незвідних модулів; проте прості асоціативні квазірегулярні кільця існують.
- Для того, щоб в асоціативному кільці R радикал Джекобсона був рівний нулю, необхідно і достатньо, щоб R було підпрямою сумою примітивних кілець.
- Якщо R є комутативним і скінченнопородженим як Z-модуль, то J(R) збігається з нільрадикалом кільця R.
- Радикал Джекобсона кільця R/J(R) рівний нулю.
- Якщо f : R → S сюр'єктивний гомоморфізм кілець, то f(J(R)) ⊆ J(S).
- Якщо M — скінченнопороджений лівий R-модуль і J(R)M = M, то M = 0 (лема Накаями).
- J(R) містить кожен ідеал R всі елементи якого є нільпотентними . Якщо R є лівим чи правим кільцем Артіна, тоді J(R) є нільпотентним ідеалом. Проте загалом не всі елементи радикала Джекобсона мають бути нільпотентними.
Див. також
Посилання
- Радикал Джекобсона на PlanetMath.(англ.)
Джерела
- Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М.: Мир,1961
- Херштейн И.Н., Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972
- I. Martin Isaacs (1993). Algebra, a graduate course (1st edition ed.). Brooks/Cole Publishing Company.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Radikalom Dzhekobsona kilcya R nazivayetsya mnozhina elementiv z R yaki anulyuyut vsi prosti R moduli abo same kilce R yaksho prostih R moduliv ne isnuye Radikal kilcya R poznachayetsya cherez J R Tobto J R x R sx 0 s S S Sm R displaystyle J R x in R sx 0 quad forall s in S forall S in Sm R de Sm R poznachaye mnozhinu prostih moduliv nad kilcem R Radikal Dzhekobsona buv vvedenij i detalno doslidzhenij amerikanskim matematikom N Jacobson u 1945 roci Ekvivalentni viznachennyaRadikal Dzhekobsona zavzhdi isnuye i mozhe buti oharakterizovanij bagatma sposobami Radikal Dzhekobsona kilcya R ideal J R asociativnogo kilcya A sho zadovolnyaye nastupnim dvom umovam J A najbilshij kvaziregulyarnij ideal v R element a R displaystyle a in R nazivayetsya kvaziregulyarnim yaksho rivnyannya a h ah 0 maye rozv yazok x R displaystyle x in R Dlya kilec z odiniceyu ce ekvivalentno oborotnosti elementa 1 a u faktor kilci R J R nemaye kvaziregulyarnih idealiv okrim nulovogo J R ye peretinom yader vsih nezvidnih predstavlen kilcya J R ye peretinom vsih regulyarnih maksimalnih pravih idealiv i peretin vsih regulyarnih maksimalnih livih idealiv PrikladiRadikal Dzhekobsona dovilnogo polya rivnij 0 Radikal Dzhekobsona kilcya cilih chisel rivnij 0 Radikal Dzhekobsona kilcya Z 8Z 2Z 8Z Yaksho K pole i R K X1 Xn kilce formalnih stepenevih ryadiv todi elementami J R ye ti stepenevi ryadi vilnim chlen yakih rivnij nulyu VlastivostiYaksho I ideal v kilci R to J I I J R displaystyle J I I cap J R yaksho Rn displaystyle R n kilce vsih matric poryadku n nad R to J Rn J R n displaystyle J R n J R n Yaksho na asociativnomu kilci R vvesti nastupnu operaciyu a b a b ab displaystyle a circ b a b ab to v napivgrupi R displaystyle left langle R circ right rangle radikal J R vidnosno operaciyi displaystyle circ bude pidgrupoyu Nad kvaziregulyarnim tobto takim sho zbigayetsya zi svoyim radikalom Dzhekobsona asociativnim kilcem ne isnuye nenulovih skinchenno porodzhenih nezvidnih moduliv prote prosti asociativni kvaziregulyarni kilcya isnuyut Dlya togo shob v asociativnomu kilci R radikal Dzhekobsona buv rivnij nulyu neobhidno i dostatno shob R bulo pidpryamoyu sumoyu primitivnih kilec Yaksho R ye komutativnim i skinchennoporodzhenim yak Z modul to J R zbigayetsya z nilradikalom kilcya R Radikal Dzhekobsona kilcya R J R rivnij nulyu Yaksho f R S syur yektivnij gomomorfizm kilec to f J R J S Yaksho M skinchennoporodzhenij livij R modul i J R M M to M 0 lema Nakayami J R mistit kozhen ideal R vsi elementi yakogo ye nilpotentnimi Yaksho R ye livim chi pravim kilcem Artina todi J R ye nilpotentnim idealom Prote zagalom ne vsi elementi radikala Dzhekobsona mayut buti nilpotentnimi Div takozhRadikal cilogo chislaPosilannyaRadikal Dzhekobsona na PlanetMath angl DzherelaDzhekobson N Stroenie kolec per s angl M Mir 1961 Hershtejn I N Nekommutativnye kolca M Mir 1972 I Martin Isaacs 1993 Algebra a graduate course 1st edition ed Brooks Cole Publishing Company ISBN 0 534 19002 2