В абстрактній алгебрі простий модуль (також незвідний модуль) — ненульовий унітарний модуль M над кільцем R з одиницею, що містить лише два підмодулі — нульовий і сам M.
Приклади
- якщо — кільце цілих чисел то простими -модулями, є абелеві групи простого порядку;
- якщо R — тіло, то простими R-модулями є одновимірні векторні простори над R;
- якщо D — тіло, V — лівий векторний простір над D, R = EndDV — кільце лінійних перетворень простору V (або щільне підкільце цього кільця), то правий R-модуль є простим;
- якщо G — група, k — поле, то незвідні представлення групи G над k — прості модулі над груповою алгеброю kG.
Властивості
- Прості модулі можна еквівалентно визначити як модулі довжина яких рівна 1.
- Довільний простий модуль є циклічним, тобто породженим одним елементом або M = (x) = Rx = {rx | r ∈ R} для деякого елемента x, що належить M.
- Правий R-модуль М є простим тоді і тільки тоді, коли він ізоморфний R/I, де I — деякий максимальний правий ідеал в R.
- Якщо А, В — прості R-модулі, , то або f=0, або f — ізоморфізм (звідки випливає, що кільце ендоморфізмів простих модулів є тілом).
- Якщо ж R — алгебра над алгебраїчно замкнутим полем k; А, В — прості R-модулі то (лема Шура):
Поняття простого модуля є одним з основних в теорії кілець і теорії представлення груп. З його допомогою визначаються композиційний ряд і цоколь модуля, радикали Джекобсона модуля і кільця, напівпростий модуль. Прості модулі використовуються у визначенні ряду важливих класів кілець: класично напівпростих кілець, примітивних кілець.
Див. також
Джерела
- Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
- Херштейн И.Н., Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V abstraktnij algebri prostij modul takozh nezvidnij modul nenulovij unitarnij modul M nad kilcem R z odiniceyu sho mistit lishe dva pidmoduli nulovij i sam M Prikladiyaksho R Z displaystyle R mathbb Z kilce cilih chisel to prostimi Z displaystyle mathbb Z modulyami ye abelevi grupi prostogo poryadku yaksho R tilo to prostimi R modulyami ye odnovimirni vektorni prostori nad R yaksho D tilo V livij vektornij prostir nad D R EndDV kilce linijnih peretvoren prostoru V abo shilne pidkilce cogo kilcya to pravij R modul ye prostim yaksho G grupa k pole to nezvidni predstavlennya grupi G nad k prosti moduli nad grupovoyu algebroyu kG VlastivostiProsti moduli mozhna ekvivalentno viznachiti yak moduli dovzhina yakih rivna 1 Dovilnij prostij modul ye ciklichnim tobto porodzhenim odnim elementom abo M x Rx rx r R dlya deyakogo elementa x sho nalezhit M Pravij R modul M ye prostim todi i tilki todi koli vin izomorfnij R I de I deyakij maksimalnij pravij ideal v R Yaksho A V prosti R moduli f H o m R A B displaystyle f in Hom R A B to abo f 0 abo f izomorfizm zvidki viplivaye sho kilce endomorfizmiv prostih moduliv ye tilom Yaksho zh R algebra nad algebrayichno zamknutim polem k A V prosti R moduli to lema Shura H o m R A B k A B 0 A B displaystyle Hom R A B begin cases k amp A cong B 0 amp A ncong B end cases Ponyattya prostogo modulya ye odnim z osnovnih v teoriyi kilec i teoriyi predstavlennya grup Z jogo dopomogoyu viznachayutsya kompozicijnij ryad i cokol modulya radikali Dzhekobsona modulya i kilcya napivprostij modul Prosti moduli vikoristovuyutsya u viznachenni ryadu vazhlivih klasiv kilec klasichno napivprostih kilec primitivnih kilec Div takozhDovzhina modulya Napivprostij modul Prosta grupa Proste kilceDzherelaMatematicheskaya enciklopediya V pyati tomah Tom 5 Pod red I M Vinogradova M Sovetskaya enciklopediya 1985 Hershtejn I N Nekommutativnye kolca M Mir 1972