Кільце називається простим, якщо і не має двосторонніх ідеалів, відмінних і .
Приклади і теореми
- Розглянемо кільце таке, що , і аддитивна група має простий порядок. Тоді кільце — просте, оскільки в немає власних підгруп.
- Асоціативне комутативне кільце з одиницею є полем тоді і тільки тоді, коли просте кільце.
- Припустимо спершу, що задовольняє всі умови теореми і є простим. Нехай деякий ненульових елемент. Тоді є ненульовим ідеалом оскільки . Зважаючи на простоту кільця одержуємо . Звідси випливає існування елемента , такого що .
- Навпаки, припустимо — деяке поле і його ненульовий ідеал. Оскільки цей ідеал містить деякий ненульовий елемент він також містить для всіх , тобто , що й доводить простоту.
- Якщо — поле, — додатне ціле число, то кільце матриць — просте.
- Для доведення спершу позначимо матриці в яких на позиції стоїть одиничний елемент поля, а на інших позиціях нулі. Тоді одиничну матрицю можна записати . Нехай тепер — деякий ненульовий ідеал, а — ненульовий елемент. Виконується рівність
- . Для деякої пари виконується . Оскільки елементи є базисними то можна записати . Очевидно . Звідси одержуємо . З властивостей множення базисних елементів одержуємо, що всі вони належать ідеалу і відповідно
- Центр простого кільця з одиницею є полем і кожне просте кільце є центральною простою алгеброю над своїм центром.
- Нехай . Якщо цей лемент не є оборотним, то Але тоді є нетривіальним двостороннім ідеалом.
- Також для довільного виконується рівність . Тобто і центр кільця є полем.
Теорема Веддерберна — Артіна
Нехай — просте кільце Артіна. Тоді кільце ізоморфне кільцю всіх матриць порядку над деяким тілом. При цьому визначено однозначно, а тіло з точністю до ізоморфізму. Навпаки, для будь-якого тіла кільце є простим кільцем Артіна.
Література
- Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
- Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
- Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kilce R displaystyle R nazivayetsya prostim yaksho R 2 0 displaystyle R 2 neq 0 i R displaystyle R ne maye dvostoronnih idealiv vidminnih R displaystyle R i 0 displaystyle 0 Prikladi i teoremiRozglyanemo kilce R displaystyle R take sho R 2 0 displaystyle R 2 neq 0 i additivna grupa R displaystyle langle R rangle maye prostij poryadok Todi kilce R displaystyle R proste oskilki v R displaystyle langle R rangle nemaye vlasnih pidgrup Asociativne komutativne kilce R displaystyle R z odiniceyu ye polem todi i tilki todi koli R displaystyle R proste kilce Pripustimo spershu sho R displaystyle R zadovolnyaye vsi umovi teoremi i ye prostim Nehaj x R displaystyle x in R deyakij nenulovih element Todi R x displaystyle Rx ye nenulovim idealom oskilki x x 1 R x displaystyle x x cdot 1 in Rx Zvazhayuchi na prostotu kilcya oderzhuyemo R x R displaystyle Rx R Zvidsi viplivaye isnuvannya elementa y R displaystyle y in R takogo sho y x 1 displaystyle yx 1 Navpaki pripustimo R displaystyle R deyake pole i I displaystyle I jogo nenulovij ideal Oskilki cej ideal mistit deyakij nenulovij element x displaystyle x vin takozh mistit r r x 1 x displaystyle r rx 1 x dlya vsih r R displaystyle r in R tobto I R displaystyle I R sho j dovodit prostotu dd Yaksho P displaystyle P pole n displaystyle n dodatne cile chislo to kilce matric M a t P n displaystyle mathrm Mat P n proste Dlya dovedennya spershu poznachimo E i j displaystyle E i j matrici v yakih na poziciyi i j displaystyle i j stoyit odinichnij element polya a na inshih poziciyah nuli Todi odinichnu matricyu mozhna zapisati E i 1 n E i i displaystyle E sum i 1 n E i i Nehaj teper I displaystyle I deyakij nenulovij ideal a x I displaystyle x in I nenulovij element Vikonuyetsya rivnist x E x E i j E i i x E j j displaystyle x ExE sum i j E i i xE j j Dlya deyakoyi pari i j displaystyle i j vikonuyetsya y E i i x E j j 0 displaystyle y E i i xE j j neq 0 Oskilki elementi E i j displaystyle E i j ye bazisnimi to mozhna zapisati y r s y r s E r s displaystyle y sum r s y r s E r s Ochevidno y y i j E i j y i j 0 displaystyle y y i j E i j quad y i j neq 0 Zvidsi oderzhuyemo E i j I displaystyle E i j in I Z vlastivostej mnozhennya bazisnih elementiv oderzhuyemo sho vsi voni nalezhat idealu i vidpovidno I M a t P n displaystyle I mathrm Mat P n dd Centr prostogo kilcya z odiniceyu ye polem i kozhne proste kilce ye centralnoyu prostoyu algebroyu nad svoyim centrom Nehaj a Z R displaystyle a in Z R Yaksho cej lement ne ye oborotnim to 1 a R R a displaystyle 1 not in aR Ra Ale todi a R displaystyle aR ye netrivialnim dvostoronnim idealom Takozh dlya dovilnogo r R displaystyle r in R vikonuyetsya rivnist a 1 r a 1 r a a 1 a 1 a r a 1 r a 1 displaystyle a 1 r a 1 ra a 1 a 1 ar a 1 ra 1 Tobto a 1 Z R displaystyle a 1 in Z R i centr kilcya ye polem dd Teorema Vedderberna ArtinaDokladnishe Teorema Vedderberna Artina Nehaj R displaystyle R proste kilce Artina Todi kilce R displaystyle R izomorfne kilcyu vsih matric poryadku n displaystyle n nad deyakim tilom Pri comu n displaystyle n viznacheno odnoznachno a tilo z tochnistyu do izomorfizmu Navpaki dlya bud yakogo tila D displaystyle D kilce M a t D n displaystyle mathrm Mat D n ye prostim kilcem Artina LiteraturaGluhov M M Elizarov V P Nechaev A A Algebra Uchebnik V 2 h t T 2 M Gelios ARV 2003 Dzhekobson N Stroenie kolec M Izdatelstvo inostrannoj literatury 1961 Herstejn I Nekommutativnye kolca M Mir 1972