Напівпрості модулі — модулі, які є прямою сумою простих модулів. Кільце, що є напівпростим модулем над самим собою, називається напівпростим кільцем. Важливий приклад напівпростих кілець — (групове кільце) скінченної групи над полем характеристики нуль. Структура напівпростих кілець описується теоремою Веддерберна — Артіна: всі такі кільця є прямими добутками кілець матриць.
Визначення
Наводяться три еквівалентних визначення напівпростих модулів: модуль M називається напівпростим, якщо
- M ізоморфний прямій сумі простих (незвідних) модулів.
- M можна розкласти в суму простих M.
- Якщо N — підмодуль M, то існує підмодуль P модуля M, такий що M = N ⊕ P.
Властивості
- Якщо M є напівпростим і N — його підмодуль, то N і M/N також напівпрості.
- Якщо всі
— напівпрості модулі, то і пряма сума
є напівпростою.
- Модуль M є скінченнопородженим і напівпростим тоді і тільки тоді, коли він є артиновим і його рівний нулю.
Нехай A — алгебра над полем k. Лівий модуль M над A називається абсолютно напівпростим якщо для будь-якого розширення F поля k, є напівпростим модулем над
.
Напівпрості кільця
Кільце називається напівпростим (зліва) якщо воно є напівпростим як (лівий) модуль над самим собою. Виявляється, що напівпрості зліва кільця напівпрості справа і навпаки, так що можна говорити про напівпрості кільця.
Будь-які ліві і праві модулі над напівпростим кільцем є напівпростими модулями.
Напівпрості кільця можна охарактеризувати в термінах гомологічної алгебри: кільце R є напівпростим тоді і тільки тоді, коли будь-яка коротка точна послідовність (лівих) R-модулів розщеплюється. Зокрема, модуль над напівпростим кільцем є ін'єктивним і (проективним).
Напівпрості кільця є одночасно артиновими і нетеровими. Якщо існує гомоморфізм з поля в напівкільце, воно називається напівпростою алгеброю.
Приклади
- Комутативне напівпросте кільце є ізоморфним прямому добутку полів.
- Якщо k — поле і G — скінченна група порядку n, то (групове кільце) k[G] є напівпростим тоді і тільки тоді, коли характеристика поля ділить n. Цей результат відомий як (теорема Машке) і важливий в теорії представлень груп.
Теорема Веддерберна — Артіна
Теорема Веддерберна — Артіна стверджує, що будь-яке напівпросте кільце є ізоморфним прямому добутку кілець матриць ni на ni з елементами в тілі Di, причому числа ni визначені однозначно, і тіла — з точністю до ізоморфізму. Зокрема, просте кільце є ізоморфним кільцю матриць над тілом.
Оригінальний результат Джозефа Веддерберна полягав у тому, що просте кільце, яке є скінченновимірною простою алгеброю над тілом є ізоморфним кільцю матриць. Еміль Артін узагальнив теорему на випадок напівпростих (артинових) кілець.
Приклади випадків, в яких можна застосувати теорему Веддерберна — Артіна: кожна скінченновимірна проста алгебра над R є кільцем матриць над R, C або H (кватерніонами), кожна скінченновимірна проста алгебра над С є кільцем матриць над С.
Примітки
- Nathan Jacobson, Basic Algebra II (Second Edition), p.120
Література
- Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (вид. 2nd), W. H. Freeman, ISBN
- Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR1838439
- R.S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет