Групове кільце

Групове кільце — кільце, що є водночас вільним модулем, яке можна побудувати за даним кільцем та даною групою. Неформально кажучи, групове кільце ${\displaystyle K[G]}$ — це вільний модуль над кільцем ${\displaystyle K}$, базис якого перебуває в бієктивній відповідності до елементів групи ${\displaystyle G}$, множення базисних елементів визначається як множення елементів групи, а на інші елементи множення «поширюється за лінійністю».

Апарат групових кілець особливо корисний у теорії представлень груп.

Визначення

Нехай ${\displaystyle K}$ — кільце, а ${\displaystyle G}$ — група. Тоді груповим кільцем ${\displaystyle K[G]}$ називають множину скінченних формальних сум вигляду ${\displaystyle \alpha =\sum _{g\in G}a_{g}g,\quad a_{g}\in K}$, які додаються та множаться в такий спосіб: Якщо ${\displaystyle \alpha =\sum _{g\in G}a_{g}g,\ \beta =\sum _{g\in G}b_{g}g}$, то

${\displaystyle \alpha +\beta =\sum _{g\in G}(a_{g}+b_{g})g}$

${\displaystyle \alpha \cdot \beta =\sum _{g\in G}\left(\sum _{xy=g, \atop x,y\in G}a_{x}b_{y}\right)g}$ .

Властивості

• Якщо ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle G}$ комутативні, то ${\displaystyle K[G]}$ комутативне.
• Якщо ${\displaystyle K}$ — кільце з одиницею, то ${\displaystyle K[G]}$ — кільце з одиницею.
• Вкладення ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle K[G]}$ утворює базис групового кільця.
• Якщо ${\displaystyle H}$ — підгрупа ${\displaystyle G}$, то ${\displaystyle K[H]}$ — підкільце кільця ${\displaystyle K[G]}$.
• Нехай ${\displaystyle K}$ є полем, тоді кожному елементу ${\displaystyle G}$ можна зіставити лінійне перетворення векторного простору ${\displaystyle K[G]}$ — множення на відповідний базисний вектор зліва. Це зіставлення задає регулярне подання групи.

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Наймарк М. Теория представлений групп. — М. : Наука, 1976.