Підгрупа

Підгрупою групи G називається підмножина ${\displaystyle H}$ групи ${\displaystyle G}$, що сама є групою щодо операції, визначеної в ${\displaystyle G}$.

Підмножина ${\displaystyle H}$ групи ${\displaystyle G}$ є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови:

1. містить добуток будь-яких двох елементів з ${\displaystyle H}$,
2. містить разом зі всяким своїм елементом ${\displaystyle h}$ обернений до нього елемент ${\displaystyle h^{-1}}$.

У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є зайвою.

Еквівалентно ${\displaystyle H}$ є підгрупою, якщо виконується умова:

${\displaystyle \forall (x,y)\in H^{2},x*y^{-1}\in H}$

Приклади

• Підмножина групи ${\displaystyle G}$, що складається з одного елементу ${\displaystyle 1}$, буде, очевидно, підгрупою, і ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи ${\displaystyle G}$.
• Сама ${\displaystyle G}$ також є своєю підгрупою.
• Нехай G абелева група елементами якої є

${\displaystyle G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}}$

і груповою операцією є додавання за модулем 8. Її таблиця Келі має вигляд:

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Ця група має дві власні підгрупи: J={0,4} і H={0,2,4,6}, де J є також підгрупою H. Таблиця Келі H є верхньою лівою чвертю таблиці Келі групи G. Група G є циклічною, як і її підгрупи.

Пов'язані визначення

• Сама група ${\displaystyle G}$ і одинична підгрупа називається невласними підгрупами групи G, всі інші підгрупи H власними.
• Перетин всіх підгруп групи ${\displaystyle G}$, що містять всі елементи деякої непорожньої множини ${\displaystyle M}$, називається підгрупою, породженою множиною ${\displaystyle M}$, і позначається ${\displaystyle <M>}$.
• Якщо ${\displaystyle M}$ складається з одного елемента ${\displaystyle a}$, то ${\displaystyle <a>}$ називається циклічною підгрупою елемента ${\displaystyle a}$.
• Якщо група ${\displaystyle G_{1}}$ ізоморфна деякій підгрупі ${\displaystyle H}$ групи ${\displaystyle G}$, то кажуть, що група ${\displaystyle G_{1}}$ може бути вкладена в групу ${\displaystyle G}$.

Властивості

• Теоретико-множинний перетин будь-яких двох підгруп групи ${\displaystyle G}$ є підгрупою групи ${\displaystyle G}$.
• Теоретико-множинне об'єднання підгруп, взагалі кажучи, не зобов'язане бути підгрупою. Об'єднанням підгруп ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle K}$ називається підгрупа, породжена об'єднанням множин ${\displaystyle H\cup K}$.
• Нехай ${\displaystyle f:G\rightarrow G'\,}$ — гомоморфізм груп. Тоді якщо ${\displaystyle H\,}$ є підгрупою ${\displaystyle G\,}$, то ${\displaystyle f(H)\,}$ є підгрупою ${\displaystyle G'\,}$. Якщо ${\displaystyle H'\,}$ є підгрупою ${\displaystyle G'\,}$, то ${\displaystyle f^{-1}(H')\,}$ є підгрупою ${\displaystyle G\,}$.
• Якщо дані дві групи і кожна з них ізоморфна деякій власній підгрупі іншої, то звідси ще не слідує ізоморфізм самих цих груп.

Див. також

• Підструктура (математика)
• Теорема Лагранжа (теорія груп)
• Нормальна підгрупа
• Характеристична підгрупа
• Центр групи
• Теорема Хайоша

Джерела

Українською

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)

• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)