Обернений елемент

Обернений елемент — одне з понятть абстрактної алгебри.

Визначення

• Нехай ${\displaystyle (M,\cdot )}$ — множина ${\displaystyle M}$ з визначеною на ній бінарною операцією ${\displaystyle \cdot }$. Нехай ${\displaystyle x\in M}$ — довільний елемент множини ${\displaystyle M}$. Якщо справедливе рівняння

${\displaystyle x\cdot y=e,}$

де ${\displaystyle y\in M}$, а ${\displaystyle e\in M}$ — нейтральний елемент відносно операції ${\displaystyle \cdot }$, тоді ${\displaystyle y}$ називається правим оберненим щодо ${\displaystyle x}$.

• Аналогічним чином, якщо виконується:

${\displaystyle y\cdot x=e,}$

тоді ${\displaystyle y}$ називається лівим оберненим до ${\displaystyle x}$.

• Елемент ${\displaystyle y\in M}$, що є правим і лівим оберненим до ${\displaystyle x}$, себто такий, що:

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=e,}$

називається просто оберененим щодо ${\displaystyle x}$ і позначається ${\displaystyle x^{-1}}$.

• Елемент, для якого існує обернений елемент, називається оборотним.

Зауваження

• Наведене вище визначення дане в мультипликативній нотації. Якщо використовується аддитивна нотація ${\displaystyle (M,+)}$, тоді оборотний елемент називається протилежним і позначається ${\displaystyle -x}$.
• Взагалі кажучи, один і той самий елемент ${\displaystyle x\in M}$ може мати декілька правих обернених і декілька лівих обернених елементів і вони не зобов'язані перетинатися.

Властивості

• Нехай операція ${\displaystyle \cdot }$ асоціативна. Тоді якщо для елемента ${\displaystyle x\in M}$ визначені ліві і праві обернені, то вони рівні і єдині.

Приклади

Множина	Бінарна операція	Обернений елемент
Дійсні числа	${\displaystyle +}$ (сума)	${\displaystyle \ -x}$
Дійсні числа, що не дорівнюють нулю	${\displaystyle \cdot }$ (множення)	${\displaystyle \ 1/x}$
Функції виду ${\displaystyle \ f:M\to M}$	${\displaystyle \circ }$ (композиція функцій)	${\displaystyle \ f^{-1}}$ (обернена функція)

Див. також

• Група