Композиція функцій

Компози́ція (суперпозиція) фу́нкцій (відображень) в математиці — функція, побудована з двох функцій таким чином, що результат першої функції є аргументом другої.

Композиція функцій g o f

Композиція функцій ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle X\to Y}$ та ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle Y\to Z}$ будується так: аргумент ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle X}$ застосовується до першої функції ${\displaystyle f}$, а її результат ${\displaystyle y}$ з ${\displaystyle Y}$ застосовується як аргумент до другої функції g.

Приклади

• Наприклад, нехай функція висоти польоту літака від часу ${\displaystyle t}$ задається як ${\displaystyle h(t)}$, і концентрація кисню на висоті ${\displaystyle z}$ задається функцією ${\displaystyle c(z)}$. Тоді ${\displaystyle (c\circ h)(t)}$ визначає концентрацію кисню біля літака в момент часу ${\displaystyle t}$.

• Нехай ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ і ${\displaystyle g(y)=\sin(y)}$, тоді ${\displaystyle (g\circ f)(x)=\sin(x^{2})}$.

Така композиція позначається в математиці як ${\displaystyle g\circ f}$: X → Z або ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$.

Композиція ${\displaystyle (f\circ g)=(\sin x)^{2}}$. Отже, взагалі ${\displaystyle (f\circ g)\neq (g\circ f)}$, тому операція композиції не буде комутативною.

Властивості

Композиція функцій є асоціативною, тобто, ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$

Композиція функцій називається комутативною, якщо ${\displaystyle f\circ g=g\circ f}$

Якщо ${\displaystyle Y\subset X}$, то можна ввести поняття власної композиції функції ${\displaystyle f}$, тобто:

• ${\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)}$
• ${\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)}$
• ${\displaystyle f\circ f^{n}=f^{n}\circ f=f^{n+1}}$

Функція ${\displaystyle f^{n}}$ також називається степенем функції ${\displaystyle f}$.

Див. також

• Тотожне відображення
• Обернена функція
• Диференціювання складеної функції

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)