В математиці, зокрема в теорії множин, пере́тином[] двох множин A і B називається множина, яка складається з усіх елементів множини A, які водночас належать і множині B та навпаки (всі елементи множини B, які належать A) і тільки них. Вона і позначається як "A∩B та є підмножиною обох.
Перетин множин | |
Досліджується в | теорія множин |
---|---|
Формула | |
Позначення у формулі | , і |
Зображений на | ∩[d] |
Нотація | ∩[d] |
Підтримується Вікіпроєктом | |
Команда TeX | \cap |
Протилежне | об'єднання |
|
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelprTDFabGJtNWZRVjlwYm5SbGNuTmxZM1JmUWk1emRtY3ZNVFV3Y0hndFZtVnVibDlCWDJsdWRHVnljMlZqZEY5Q0xuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Формально:
- ;
Якщо одна множина є підмножиною другої, то їхній перетин дорівнює першій множині:
Якщо перетин двох множин A і B є порожнім, тобто не містить спільних елементів, то кажуть, що такі множини не перетинаються.
Цей факт позначається як A∩B = Ø.
Приклади:
- {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}.
- {1, 2} ∩ {3, 4} = Ø.
Алгебраїчні властивості
- Перетин множин є бінарною операцією на довільному булеані
;
- Операція перетину множин комутативна:
- Операція перетину множин асоціативна:
- Універсальна множина
є нейтральним елементом операції перетину множин:
- З вищеперечислених властивостей випливає, що булеан з операцією перетину множин є абелевою групою;
- Операція перетину множин ідемпотентна:
- Якщо
— порожня множина, то
Перетин довільної кількості множин
В загальному випадку, якщо множина M є непорожньою множиною, елементами якої в свою чергу є множини. Тоді елемент x є елементом перетину M тоді й тільки тоді, коли для кожного елемента A з M, x є елементом A.
В символьній формі:
Наприклад, множина A∩B∩C є перетином такої колекції множин {A,B,C}.
Позначення перетину довільної кількості множин такі:
або
Остання нотація може бути узагальнена до
що позначає перетин колекції множин {Ai : i ∈ I}. Тут I - непорожня множина, і Ai - множина для кожного i в I.
В цьому випадку I є індексна множина (тобто множина індексів, натуральних чисел), і можна застосувати нотацію, аналогічну нотації для сум:
Також можна писати "A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...
Див. також
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zapit Peretin perenapravlyaye syudi div takozh inshi znachennya V matematici zokrema v teoriyi mnozhin pere tinom dzherelo dvoh mnozhin A i B nazivayetsya mnozhina yaka skladayetsya z usih elementiv mnozhini A yaki vodnochas nalezhat i mnozhini B ta navpaki vsi elementi mnozhini B yaki nalezhat A i tilki nih Vona i poznachayetsya yak A B ta ye pidmnozhinoyu oboh Peretin mnozhinDoslidzhuyetsya vteoriya mnozhinFormulaA B x x A x B displaystyle A cap B x mid x in A land x in B Poznachennya u formuliA B displaystyle A cap B A displaystyle A i B displaystyle B Zobrazhenij na d Notaciya d Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt MatematikaKomanda TeX capProtilezhneob yednannya Peretin mnozhin u VikishovishiTeoretiko mnozhinni operaciyi A displaystyle overline A dopovnennya A B displaystyle A cup B ob yednannya A B displaystyle A cap B peretin A B displaystyle A setminus B riznicya A B displaystyle A triangle B simetrichna riznicya A B displaystyle A times B dekartiv dobutok Peretin mnozhin A ta B Formalno A B x x A x B displaystyle A cap B x mid x in A wedge x in B A B A A B B displaystyle A cap B subseteq A land A cap B subseteq B Yaksho odna mnozhina ye pidmnozhinoyu drugoyi to yihnij peretin dorivnyuye pershij mnozhini A B A B A displaystyle A subseteq B to A cap B A Yaksho peretin dvoh mnozhin A i B ye porozhnim tobto ne mistit spilnih elementiv to kazhut sho taki mnozhini ne peretinayutsya Cej fakt poznachayetsya yak A B O Prikladi 1 2 3 2 3 4 2 3 1 2 3 4 O Algebrayichni vlastivostiPeretin mnozhin ye binarnoyu operaciyeyu na dovilnomu buleani 2X displaystyle 2 X Operaciya peretinu mnozhin komutativna A B B A displaystyle A cap B B cap A Operaciya peretinu mnozhin asociativna A B C A B C displaystyle A cap B cap C A cap B cap C Universalna mnozhina X displaystyle X ye nejtralnim elementom operaciyi peretinu mnozhin A X A displaystyle A cap X A Z visheperechislenih vlastivostej viplivaye sho bulean z operaciyeyu peretinu mnozhin ye abelevoyu grupoyu Operaciya peretinu mnozhin idempotentna A A A displaystyle A cap A A Yaksho displaystyle emptyset porozhnya mnozhina toA displaystyle A cap emptyset emptyset Peretin dovilnoyi kilkosti mnozhinV zagalnomu vipadku yaksho mnozhina M ye neporozhnoyu mnozhinoyu elementami yakoyi v svoyu chergu ye mnozhini Todi element x ye elementom peretinu M todi j tilki todi koli dlya kozhnogo elementa A z M x ye elementom A V simvolnij formi x M A M x A displaystyle x in bigcap mathbf M iff forall A in mathbf M x in A Napriklad mnozhina A B C ye peretinom takoyi kolekciyi mnozhin A B C Poznachennya peretinu dovilnoyi kilkosti mnozhin taki M displaystyle bigcap mathbf M abo A MA displaystyle bigcap A in mathbf M A Ostannya notaciya mozhe buti uzagalnena do i IAi displaystyle bigcap i in I A i sho poznachaye peretin kolekciyi mnozhin Ai i I Tut I neporozhnya mnozhina i Ai mnozhina dlya kozhnogo i v I V comu vipadku I ye indeksna mnozhina tobto mnozhina indeksiv naturalnih chisel i mozhna zastosuvati notaciyu analogichnu notaciyi dlya sum i 1 Ai displaystyle bigcap i 1 infty A i Takozh mozhna pisati A1 A2 A3 Div takozhKon yunkciya Pereriz mnozhini dijsnih chiselDzherelaKuratovskij K Mostovskij A Teoriya mnozhestv Set Theory Teoria mnogosci M Mir 1970 416 s ros