Індексна множина

Індексна множина — множина, чиїми елементами позначені (індексовані) елементи іншої множини. Наприклад, якщо елементи множини ${\displaystyle A}$ можна позначити множиною ${\displaystyle J}$, то ${\displaystyle J}$ є індексною множиною. Індексування є сюр'єктивною функцією з ${\displaystyle J}$ в ${\displaystyle A}$, а індексовану множину зазвичай називають (індексованим) сімейством. Це сімейство також можна позначити як ${\displaystyle \{A_{j}\}_{j\in J}}$.

Приклади

• Елементи будь-якої скінченної множини ${\displaystyle S}$ можна перерахувати. Будь-який такий перелік можна розглядати як індексування ${\displaystyle f:J\to S}$ на індексній множині ${\displaystyle J=\{1,2,\dots ,|S|\}}$ .
• Будь-яку зліченну множину можна проіндексувати множиною натуральних чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$.
• Для будь-якого дійсного числа ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ можна розглянути індикаторну функцію ${\displaystyle \mathbf {1} _{r}:\mathbb {R} \to \{0,1\}}$, таку що

${\displaystyle \mathbf {1} _{r}(x):={\begin{cases}0,&{\mbox{якщо }}x\neq r\\1,&{\mbox{якщо }}x=r.\end{cases}}}$

Сімейство всіх функцій ${\displaystyle \mathbf {1} _{r}}$ утворюють незліченну множину, яку можна проіндексувати множиною дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Див. також

• Індексоване сімейство

Примітки

1. Weisstein, Eric W. Індексна множина(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
2. Munkres, James R. Topology. — Upper Saddle River : Prentice Hall, 2000. — Т. 2.