Гомоморфізм груп

Гомоморфі́зм груп — відображення ${\displaystyle \phi }$ групи ${\displaystyle (G,*)}$ в групу ${\displaystyle (H,\cdot )}$, що зберігає групову операцію, тобто:

${\displaystyle \phi \colon G\rightarrow H:\quad \phi (x*y)=\phi (x)\cdot \phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G}$.

Гомоморфізм зберігає всі відношення, основані на заданій операції, тобто, одиниця групи ${\displaystyle (G,*)}$ переходить в одиницю групи ${\displaystyle (H,\cdot )}$; обернені елементи переходять в обернені.

Тоді:

Ядро гомоморфізму — підмножина всіх елементів ${\displaystyle (G,*)}$, що відображаються в одиницю групи ${\displaystyle (H,\cdot )}$:

${\displaystyle ker\,\phi =\{x\in G\colon \phi (x)=e_{H}\}}$.

Образ гомоморфізму — підмножина всіх елементів ${\displaystyle H}$, що є образами елементів ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle im\,\phi =\phi (G)}$.

Властивості

На відміну від ізоморфізму груп, гомоморфізм не обов'язково має бути взаємно-однозначним відображеням.

Приклад гомоморфізму: зіставлення невиродженої матриці та її детермінанту:

${\displaystyle \phi (A)=\operatorname {det} (A),\quad A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$,

що є відображенням групи ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ невироджених лінійних перетворень простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ на мультиплікативну групу дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$.

Як добре відомо, ${\displaystyle \operatorname {det} (AB)=\operatorname {det} (A)\operatorname {det} (B)}$.

Див. також

• Гомоморфізм
• Ізоморфізм груп
• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми

Література

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)

Примітки

1. Корн Г., Корн Т. (1984). 12.1-6, 12.2-9. Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука.