Нехай — функціональне відображення множини X в множину Y.
Образом відображення (чи областю значень функції) f називається множина всіх елементів виду f(x)∈Y, тобто:
- im f = {f(x)| x∈X} = f(X) (очевидно, що f(X)⊂Y).
Ядром відображення називається множина всіх елементів виду x∈X, для яких f(x)={0}.
Точно так образом елемента або значенням відображення в точці x ∈ X при відображенні f називається такий елемент y ∈ Y, що y = f(x).
Образом підмножини А⊂X при відображенні f називається така підмножина B⊂Y, що B = {f(x)| x∈A} = f(A).
Прообразом елемента y∈Y називається множина всіх елементів виду f-1(y)∈X, де f-1(y) = {x∈X| f(x)=у}.
Прообразом підмножини B⊂Y називається множина виду f-1(B) = {x∈X| f(x)∈B}.
Не слід плутати f-1 з оберненим відображенням для бієктивного відображення.
Приклади
1. визначена як
У цьому випадку, образом множини {2,3} при відображенні f є f({2, 3}) = {c, d}, і областю значень f є {a, c, d}. Прообразом множини {a, b} є f −1({a, b}) = {1}.
2. визначена як
.
У цьому прикладі, образом [-2,3] для відображення f є f([-2,3])=[0,9] і областю значень f є множина невід'ємних дійсних чисел. Прообразом [0,9] для f є f −1([0,9])=[-3,3].
Властивості
З наведених визначень безпосередньо випливають такі властивості образів та прообразів для будь-яких A, A1, A2 з X та B, B1, B2 з Y:
Див. також
- (Образ та прообраз відповідності між множинами)
- (Образ та прообраз функції (відображення))
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Nehaj f X Y displaystyle f X to Y funkcionalne vidobrazhennya mnozhini X v mnozhinu Y Obrazom vidobrazhennya chi oblastyu znachen funkciyi f nazivayetsya mnozhina vsih elementiv vidu f x Y tobto im f f x x X f X ochevidno sho f X Y Yadrom vidobrazhennya nazivayetsya mnozhina vsih elementiv vidu x X dlya yakih f x 0 Tochno tak obrazom elementa abo znachennyam vidobrazhennya v tochci x X pri vidobrazhenni f nazivayetsya takij element y Y sho y f x Obrazom pidmnozhini A X pri vidobrazhenni f nazivayetsya taka pidmnozhina B Y sho B f x x A f A Proobrazom elementa y Y nazivayetsya mnozhina vsih elementiv vidu f 1 y X de f 1 y x X f x u Proobrazom pidmnozhini B Y nazivayetsya mnozhina vidu f 1 B x X f x B Ne slid plutati f 1 z obernenim vidobrazhennyam dlya biyektivnogo vidobrazhennya Prikladi1 f 1 2 3 a b c d displaystyle f 1 2 3 to a b c d viznachena yak f x a if x 1 d if x 2 c if x 3 displaystyle f x left begin matrix a amp mbox if x 1 d amp mbox if x 2 c amp mbox if x 3 end matrix right U comu vipadku obrazom mnozhini 2 3 pri vidobrazhenni f ye f 2 3 c d i oblastyu znachen f ye a c d Proobrazom mnozhini a b ye f 1 a b 1 2 f R R displaystyle f mathbb R to mathbb R viznachena yak f x x 2 displaystyle f x x 2 U comu prikladi obrazom 2 3 dlya vidobrazhennya f ye f 2 3 0 9 i oblastyu znachen f ye mnozhina nevid yemnih dijsnih chisel Proobrazom 0 9 dlya f ye f 1 0 9 3 3 VlastivostiZ navedenih viznachen bezposeredno viplivayut taki vlastivosti obraziv ta proobraziv dlya bud yakih A A1 A2 z X ta B B1 B2 z Y f A 1 A 2 f A 1 f A 2 displaystyle f A 1 cup A 2 f A 1 cup f A 2 f A 1 A 2 f A 1 f A 2 displaystyle f A 1 cap A 2 subseteq f A 1 cap f A 2 f 1 B 1 B 2 f 1 B 1 f 1 B 2 displaystyle f 1 B 1 cup B 2 f 1 B 1 cup f 1 B 2 f 1 B 1 B 2 f 1 B 1 f 1 B 2 displaystyle f 1 B 1 cap B 2 f 1 B 1 cap f 1 B 2 f f 1 B B displaystyle f f 1 B subseteq B f 1 f A A displaystyle f 1 f A supseteq A A 1 A 2 f A 1 f A 2 displaystyle A 1 subseteq A 2 to f A 1 subseteq f A 2 B 1 B 2 f 1 B 1 f 1 B 2 displaystyle B 1 subseteq B 2 to f 1 B 1 subseteq f 1 B 2 Div takozhObraz ta proobraz vidpovidnosti mizh mnozhinami Obraz ta proobraz funkciyi vidobrazhennya