Неви́роджена ма́триця (неособли́ва, несингуля́рна, інверто́вана) — квадратна матриця, визначник якої не дорівнює нулю:
Властивості
- Рядки і стовпці невиродженої матриці лінійно незалежні.
- Ранг матриці дорівнює розмірності матриці.
- У невиродженої матриці є обернена матриця. Це еквівалентно тому, що лінійний оператор, який задається матрицею А є бієкцією векторного простору.
- Якщо матриця — невироджена, то система рівнянь має тільки нульовий розв'язок.
- Матриця є невиродженою тоді і тільки тоді якщо всі її власні значення є ненульовими.
Приклад
- Одинична матриця є невиродженою.
- Матриця повороту є невиродженою.
Методи обернення матриці
Метод Гауса
Метод Ньютона
Метод Гамільтона — Келі
Власний розклад матриці
Розклад Холецького
Аналітичний розв'язок
Обернення блоками
Також матриці можна обернути блоками через використання такої формули:
|
де A, B, C і D це блоки матриці довільного розміру. (A і D повинні бути квадратними, щоб їх можна було обернути. Більше того, A і D−CA−1B повинна бути невиродженою.) Цей підхід особливо вигідний якщо A є діагональною і D−CA−1B (доповнення Щура щодо A) це маленька матриця, оскільки лише ці дві матриці потребують обернення.
Теорема виродженості говорить про те, що виродженість A дорівнює виродженості підблока в нижньому правому куті оберненої матриці, і що виродженість B дорівнює виродженості підблока в горішньому правому куті оберненої матриці.
Процедура обернення, що призвела до рівняння (1) виконувала блокові матричні операції, які спочатку працювали на C і D . Натомість, якщо почати з A і B, і за умови несингулярності D і A−BD−1C , результатом є
|
Прирівнявши (1) і (2) отримуємо
|
де рівняння (3) є лемою обернення матриці.
Оскільки поблокове обернення матриці потребує обернення двох матриць половинного розміру і 6 множень між матрицями половинного розміру, можна показати, що алгоритм розділяй та володарюй, який використовує поблокове обернення для обернення матриці виконується з такою ж часовою складністю, що й алгоритм множення матриць.
Через ряд Неймана
...
Див. також
Примітки
- Bernstein, Dennis (2005). Matrix Mathematics. Princeton University Press. с. 44. ISBN .
- Bernstein, Dennis (2005). Matrix Mathematics. Princeton University Press. с. 45. ISBN .
- Томас Кормен; Чарльз Лейзерсон, Рональд Рівест, Кліфорд Стайн (2009) [1990]. 28.2 Обернення матриць. Вступ до алгоритмів (вид. 3rd). MIT Press і McGraw-Hill. ISBN .
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Nevi rodzhena ma tricya neosobli va nesingulya rna inverto vana kvadratna matricya viznachnik yakoyi ne dorivnyuye nulyu det A 0 displaystyle det A neq 0 VlastivostiRyadki i stovpci nevirodzhenoyi matrici linijno nezalezhni Rang matrici dorivnyuye rozmirnosti matrici U nevirodzhenoyi matrici ye obernena matricya Ce ekvivalentno tomu sho linijnij operator yakij zadayetsya matriceyu A ye biyekciyeyu vektornogo prostoru Yaksho matricya A displaystyle A nevirodzhena to sistema rivnyan A x 0 displaystyle Ax 0 maye tilki nulovij rozv yazok Matricya ye nevirodzhenoyu todi i tilki todi yaksho vsi yiyi vlasni znachennya ye nenulovimi PrikladOdinichna matricya ye nevirodzhenoyu Matricya povorotu ye nevirodzhenoyu Metodi obernennya matriciMetod Gausa Div takozh Metod Gausa Znahodzhennya obernenoyi matrici Metod Nyutona Metod Gamiltona Keli Vlasnij rozklad matrici Rozklad Holeckogo Analitichnij rozv yazok Obernennya blokami Takozh matrici mozhna obernuti blokami cherez vikoristannya takoyi formuli A B C D 1 A 1 A 1 B D C A 1 B 1 C A 1 A 1 B D C A 1 B 1 D C A 1 B 1 C A 1 D C A 1 B 1 displaystyle begin bmatrix mathbf A amp mathbf B mathbf C amp mathbf D end bmatrix 1 begin bmatrix mathbf A 1 mathbf A 1 mathbf B mathbf D mathbf CA 1 mathbf B 1 mathbf CA 1 amp mathbf A 1 mathbf B mathbf D mathbf CA 1 mathbf B 1 mathbf D mathbf CA 1 mathbf B 1 mathbf CA 1 amp mathbf D mathbf CA 1 mathbf B 1 end bmatrix 1 displaystyle 1 de A B C i D ce bloki matrici dovilnogo rozmiru A i D povinni buti kvadratnimi shob yih mozhna bulo obernuti Bilshe togo A i D CA 1B povinna buti nevirodzhenoyu Cej pidhid osoblivo vigidnij yaksho A ye diagonalnoyu i D CA 1B dopovnennya Shura shodo A ce malenka matricya oskilki lishe ci dvi matrici potrebuyut obernennya Teorema virodzhenosti govorit pro te sho virodzhenist A dorivnyuye virodzhenosti pidbloka v nizhnomu pravomu kuti obernenoyi matrici i sho virodzhenist B dorivnyuye virodzhenosti pidbloka v gorishnomu pravomu kuti obernenoyi matrici Procedura obernennya sho prizvela do rivnyannya 1 vikonuvala blokovi matrichni operaciyi yaki spochatku pracyuvali na C i D Natomist yaksho pochati z A i B i za umovi nesingulyarnosti D i A BD 1C rezultatom ye A B C D 1 A B D 1 C 1 A B D 1 C 1 B D 1 D 1 C A B D 1 C 1 D 1 D 1 C A B D 1 C 1 B D 1 displaystyle begin bmatrix mathbf A amp mathbf B mathbf C amp mathbf D end bmatrix 1 begin bmatrix mathbf A mathbf BD 1 mathbf C 1 amp mathbf A mathbf BD 1 mathbf C 1 mathbf BD 1 mathbf D 1 mathbf C mathbf A mathbf BD 1 mathbf C 1 amp quad mathbf D 1 mathbf D 1 mathbf C mathbf A mathbf BD 1 mathbf C 1 mathbf BD 1 end bmatrix 2 displaystyle 2 Pririvnyavshi 1 i 2 otrimuyemo A B D 1 C 1 A 1 A 1 B D C A 1 B 1 C A 1 displaystyle mathbf A mathbf BD 1 mathbf C 1 mathbf A 1 mathbf A 1 mathbf B mathbf D mathbf CA 1 mathbf B 1 mathbf CA 1 3 displaystyle 3 A B D 1 C 1 B D 1 A 1 B D C A 1 B 1 displaystyle mathbf A mathbf BD 1 mathbf C 1 mathbf BD 1 mathbf A 1 mathbf B mathbf D mathbf CA 1 mathbf B 1 D 1 C A B D 1 C 1 D C A 1 B 1 C A 1 displaystyle mathbf D 1 mathbf C mathbf A mathbf BD 1 mathbf C 1 mathbf D mathbf CA 1 mathbf B 1 mathbf CA 1 D 1 D 1 C A B D 1 C 1 B D 1 D C A 1 B 1 displaystyle mathbf D 1 mathbf D 1 mathbf C mathbf A mathbf BD 1 mathbf C 1 mathbf BD 1 mathbf D mathbf CA 1 mathbf B 1 de rivnyannya 3 ye lemoyu obernennya matrici Oskilki poblokove obernennya n n displaystyle n times n matrici potrebuye obernennya dvoh matric polovinnogo rozmiru i 6 mnozhen mizh matricyami polovinnogo rozmiru mozhna pokazati sho algoritm rozdilyaj ta volodaryuj yakij vikoristovuye poblokove obernennya dlya obernennya matrici vikonuyetsya z takoyu zh chasovoyu skladnistyu sho j algoritm mnozhennya matric Cherez ryad Nejmana Div takozhTeoriya matric Virodzhena matricya Soyuzna matricyaPrimitkiBernstein Dennis 2005 Matrix Mathematics Princeton University Press s 44 ISBN 0 691 11802 7 Bernstein Dennis 2005 Matrix Mathematics Princeton University Press s 45 ISBN 0 691 11802 7 Tomas Kormen Charlz Lejzerson Ronald Rivest Kliford Stajn 2009 1990 28 2 Obernennya matric Vstup do algoritmiv vid 3rd MIT Press i McGraw Hill ISBN 0 262 03384 4 DzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros