Одинична матриця

Не плутати з матрицею одиниць.

Одинична матриця — квадратна матриця розміру ${\displaystyle \ n}$ з одиницями на головній діагоналі та нулями у всіх інших елементах.

Зазвичай позначається як ${\displaystyle \ I}$, іноді з індексом, що вказує розмірність: ${\displaystyle \ I_{n}}$.

Одинична матриця належить до:

• діагональних,
• ортогональних,
• додатноозначених,
• ортогонально-проєкційних матриць
• та бінарних матриць.

Приклади

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \cdots ,\quad I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Властивості

• Квадратна матриця в нульовому степені дає одиничну матрицю того ж розміру:

${\displaystyle \ A^{0}=I.}$

• Добуток невиродженої квадратної матриці на обернену матрицю дає одиничну матрицю:

${\displaystyle \ AA^{-1}=I.}$

• Оберненою до одиничної матриці є вона сама:

${\displaystyle \ I_{n}^{-1}=I_{n}.}$

• Визначник одиничної матриці ${\displaystyle \ I_{n}}$ рівний +1, а ранг та слід рівні ${\displaystyle \ n.}$
• Власними значеннями ${\displaystyle \ I_{n}}$ одиничної матриці є (+1) кратності ${\displaystyle \ n.}$
• Множення довільної матриці на одиничну відповідної розмірності дає в результаті ту ж саму матрицю, тобто вона є нейтральним елементом для множення матриць:

${\displaystyle \ I_{m}A=AI_{n}=A.}$

Зокрема, одинична матриця ${\displaystyle \ I_{n}}$ є нейтральним елементом для GL(n) загальної лінійної групи (групи всіх невироджених квадратних матриць розміру ${\displaystyle \ n}$).

Див. також

• Теорія матриць
• Нульова матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)