Загальна лінійна група в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем Формальне визначенняЗагал

Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем.

Формальне визначення

Загальною лінійною групою порядку $n$ називається четвірка $\left(U_{n}(R),\cdot ,{}^{-1},I\right)$ , де:

$R$ є асоціативним кільцем з одиницею,
$U_{n}(R)$ — оборотні матриці порядку $n$ над даним кільцем,
Груповою операцією є множення матриць,
Зворотним елементом є обернена матриця,
Одиничним елементом є одинична матриця.

Будь-яка підгрупа загальної лінійної групи називається лінійною групою.

Векторні простори

Якщо $V$ — векторний простір над полем $F$ , то загальною лінійною групою лінійного простру $\operatorname {GL} (V)$ або $\operatorname {Aut} (V)$ називається група всіх автоморфізмів $V$ , тобто множина всіх бієктивних лінійних відображень $V\to V$ де груповою операцією є композиція відображень .

Якщо простір V має скінченну розмірність $\dim V=n$ , то $\operatorname {GL} (V)$ і $\operatorname {GL} (n,K)$ ізоморфні. Однак, ізоморфізм не є канонічним, оскільки він залежить від вибору базисів $V$ . Якщо $(e_{1},\dots ,e_{n})$ — базис, і автоморфізмів $\operatorname {GL} (V)$ , маємо

Te_{k}=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j}

для деяких констант $a_{jk}\in K$ . Матриця, відповідна $T$ має елементами $a_{jk}$ .

Визначники

Матриця є оборотна над полем $F$ , якщо і тільки якщо її визначник відмінний від нуля. Таким чином, $\operatorname {GL} (n,K)$ може бути визначена як група матриць з ненульовим визначником. Для кільця $R$ маємо: матриця над $R$ є оборотною тоді і тільки тоді, коли її визначник є оборотним елементом в $R$ . Отже, $\operatorname {GL} (n,R)$ може бути визначена як група матриць з оборотними визначниками.

Спеціальна лінійна група

Сюди перенаправляється запит «Спеціальна лінійна група». На цю тему потрібна окрема стаття.

Спеціальною лінійною групою порядку $n$ над полем F називається лінійна група, що містить всі квадратні матриці порядку $n$ з елементами поля $K$ , визначник яких дорівнює одиниці. Спеціальна лінійна група позначається $\operatorname {SL} (n,K)$ .

Примітки

Ці матриці утворюють групу, так як визначник добутку двох матриць дорівнює добутку їх визначників, і тому множина даних матриць замкнута відносно множення.
Спеціальну лінійну групу $\operatorname {SL} (n,K)$ можна охарактеризувати як групу лінійних перетворень, що зберігають об'єм і напрям .

Скінченні поля

Якщо $K$ є скінченним полем з $q$ елементами, іноді використовується запис $\operatorname {GL} (n,q)$ .

Порядок

Порядок групи $\operatorname {GL} (n,K)$

|\operatorname {GL} (n,K)|=\prod _{i=0}^{n-1}~(q^{n}-q^{i})

.

Для прикладу, порядок $\operatorname {(} GL)(3,2)$ рівний (8 - 1) (8 - 2) (8 - 4) = 168. Це група автоморфізмів площини Фано, і групи $\mathbb {(} Z)_{2}^{3}$

Аналогічні формули для $\operatorname {SL} (n,K)$ :

|\operatorname {SL} (n,K)|={1 \over q-1}\prod _{i=0}^{n-1}~(q^{n}-q^{i})

.

Властивості

Якщо n > 2, то група $\operatorname {GL} (n,K)$ не є абелевою.
$\operatorname {SL} (n,K)$ є нормальною підгрупою $\operatorname {GL} (n,K)$ .
Нехай $K^{*}$ буде мультиплікативною групою поля K, тоді визначник є гомоморфізмом груп:
$\det \colon \operatorname {GL} (n,K)\to K^{*}$ .
$\operatorname {GL} (n,K)$ є напівпрямим добутком $\operatorname {SL} (n,K)\rtimes K^{*}$

Пов'язані групи

Проективна група

Проективна група $\operatorname {PGL} (n,K)$ і проектні спеціальні лінійні групи $\operatorname {PSL} (n,K)$ є факторгрупами $\operatorname {GL} (n,K)$ і $\operatorname {SL} (n,K)$ відносно скалярних матриць.

Афінна група

Афінна група $\operatorname {Aff} (n,K)$ — розширення $\operatorname {GL} (n,F)$ за допомогою групи перенесень. Її можна записати за допомогою напівпрямого добутку:

\operatorname {Aff} (n,K)=\operatorname {GL} (n,K)\ltimes K^{n}

. Афінна група може також розглядатися як групи всіх афінних перетворень афінного простору.

Див. також

Залишково скінченна група

Література

Baker A. Matrix groups, an introduction to Lie groups Springer, 2002