Фактор-група — в теорії груп, група класів еквівалентності відносно деякого відношення еквівалентності. Тобто, фактор-множина, що має властивості групи.
Визначення
Нехай — група, і
— її нормальна підгрупа, тобто для довільного
його класи суміжності збігаються:
Тоді на класах суміжності в
можна ввести множення:
Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів у класах суміжності, тобто якщо і
, то
. Воно визначає структуру групи на множині класів суміжності, а одержана група називається фактор-групою
по
.
Фактор-група позначається .
Властивості
- Теорема про гомоморфізм: Для довільного гомоморфізму
,
- тобто фактор-група
за ядром
ізоморфна її образу
в
.
- Відображення
задає природний гомоморфізм
.
- Порядок
рівний індексу підгрупи
. У випадку скінченної групи
він рівний
.
- Якщо
абелева, нільпотентна, циклічна або , то і
буде мати такі ж властивості.
ізоморфна тривіальній групі (
),
ізоморфна
.
Приклади
- Нехай
, тоді
ізоморфна
.
- Нехай
група невироджених верхньотрикутних матриць,
група верхніх унітрикутних матриць, тоді
ізоморфна групі діагональних матриць.
Див. також
Література
- Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- Іншими мовами
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
- . Архів оригіналу за 16 квітня 2021. Процитовано 4 квітня 2022.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Faktor grupa v teoriyi grup grupa klasiv ekvivalentnosti vidnosno deyakogo vidnoshennya ekvivalentnosti Tobto faktor mnozhina sho maye vlastivosti grupi ViznachennyaNehaj G displaystyle G grupa i H displaystyle H yiyi normalna pidgrupa tobto dlya dovilnogo a G displaystyle a in G jogo klasi sumizhnosti zbigayutsya a H H a displaystyle aH Ha Todi na klasah sumizhnosti H displaystyle H v G displaystyle G mozhna vvesti mnozhennya a H b H a b H displaystyle aH bH abH Legko pereviriti sho ce mnozhennya ne zalezhit vid viboru elementiv u klasah sumizhnosti tobto yaksho a H a H displaystyle aH a H i b H b H displaystyle bH b H to a b H a b H displaystyle abH a b H Vono viznachaye strukturu grupi na mnozhini klasiv sumizhnosti a oderzhana grupa nazivayetsya faktor grupoyu G displaystyle G po H displaystyle H Faktor grupa poznachayetsya G H displaystyle G H VlastivostiTeorema pro gomomorfizm Dlya dovilnogo gomomorfizmu f G K displaystyle varphi G to K G K e r f f G displaystyle G mathrm K er varphi cong varphi G dd tobto faktor grupa G displaystyle G za yadrom K e r f displaystyle mathrm K er varphi izomorfna yiyi obrazu f G displaystyle varphi G v K displaystyle K Vidobrazhennya a a H displaystyle a mapsto aH zadaye prirodnij gomomorfizm G G H displaystyle G to G H Poryadok G H displaystyle G H rivnij indeksu pidgrupi G H displaystyle G H U vipadku skinchennoyi grupi G displaystyle G vin rivnij G H displaystyle G H Yaksho G displaystyle G abeleva nilpotentna ciklichna abo to i G H displaystyle G H bude mati taki zh vlastivosti G G displaystyle G G izomorfna trivialnij grupi e displaystyle e G e displaystyle G e izomorfna G displaystyle G PrikladiNehaj G Z H 2 Z displaystyle G mathbb Z H 2 mathbb Z todi G H displaystyle G H izomorfna Z 2 displaystyle mathbb Z 2 Nehaj G U T n displaystyle G mathbf UT n grupa nevirodzhenih verhnotrikutnih matric H S U T n displaystyle H mathbf SUT n grupa verhnih unitrikutnih matric todi G H displaystyle G H izomorfna grupi diagonalnih matric Div takozhTeorema pro gomomorfizmi Teoremi pro izomorfizmi Faktor kilce Faktor prostirLiteraturaUkrayinskoyu ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s Inshimi movami Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Arhiv originalu za 16 kvitnya 2021 Procitovano 4 kvitnya 2022