В абстрактній алгебрі фактор-кільце — кільце класів еквівалентності, що будується з деякого кільця за допомогою деякого його ідеалу . Позначається .
Визначення
Нехай — кільце, а
— деякий його (двосторонній) ідеал. На
можна задати відношення еквівалентності
:
тоді і тільки тоді, коли
.
Оскільки за означенням ідеал є підгрупою адитивної групи кільця:
- Тоді
тобто
.
- Якщо
то також
, тобто з
випливає
.
- Якщо
та
то також
, тобто з
та
випливає
.
Отже відношення є рефлексивним, симетричним і транзитивним, отже є відношенням еквівалентності.
Нехай
позначає клас еквівалентності елемента . Множина класів еквівалентності введеного відношення позначається
.
На даній множині можна ввести операції додавання і множення:
Дані визначення є несуперечливими, тобто не залежать від вибору представників класу. Дійсно нехай та
. Тоді
та
. Звідси
та
. Оскільки
одержується
та
, що доводить несуперечливість визначення.
Множина визначених класів еквівалентності з визначеними операціями множення і додавання називається фактор-кільцем кільця за ідеалом
.
Приклади
- Найпростіші приклади фактор-кілець одержуються за допомогою ідеалів
і самого кільця
.
є ізоморфним до
, а
є тривіальним кільцем
.
- Нехай
— кільце цілих чисел, а
— кільце парних чисел. Тоді фактор-кільце
має лише два елементи, що відповідають множинам парних і непарних чисел. Дане фактор-кільце є ізоморфним полю з двома елементами,
. Більш загально можна розглянути фактор-кільце
, що є ізоморфним кільцю лишків за модулем
.
- Нехай
кільце многочленів від змінної
з дійсними коефіцієнтами, і ідеал
складається з усіх добутків многочлена
на інші многочлени. Фактор-кільце
є ізоморфним полю комплексних чисел
, і клас еквівалентності
відповідає уявній одиниці
.
- Узагальнюючи попередній приклад, фактор-кільце можна використати для побудови розширення поля. Нехай
— деяке поле і
незвідний многочлен в
.Тоді
є полем, що містить
.
Властивості
- Якщо
— комутативне кільце то кільце
теж є комутативним. Обернене твердження невірне.
- Теорема про гомоморфізм кілець:
- Якщо
— епіморфізм (сюр'єктивний гомоморфізм) кільця
на кільце
, то ядро
є ідеалом кільця
, причому кільце
ізоморфне фактор-кільцю
.
- Навпаки: якщо
— ідеал кільця
, то відображення
, визначене умовою
є гомоморфізмом кільця
на
з ядром
.
- Ідеал
кільця
є простим (максимальним) в тому і лише у тому випадку, коли фактор-кільце
є областю цілісності(полем).
- Між ідеалами кілець
і
існує тісний зв'язок. А саме ідеали
знаходяться у взаємно однозначній відповідності із ідеалами кільця
, що містять ідеал
як підмножину. Якщо
такий ідеал кільця
йому ставиться у відповідність ідеал
кільця
. До того ж фактор-кільця
і
є ізоморфними через природний гомоморфізм
, для якого
Див. також
Посилання
- Фактор-кільце [ 14 травня 2011 у Wayback Machine.] на сайті PlanetMath.
Джерела
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- (2012). Теорія кілець: навчальний посібник (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 64. (укр.)
Іншими мовами
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ne plutati z faktorialnim kilcem V abstraktnij algebri faktor kilce kilce klasiv ekvivalentnosti sho buduyetsya z deyakogo kilcya R displaystyle R za dopomogoyu deyakogo jogo idealu I displaystyle I Poznachayetsya R I displaystyle R I ViznachennyaNehaj R displaystyle R kilce a I displaystyle I deyakij jogo dvostoronnij ideal Na R displaystyle R mozhna zadati vidnoshennya ekvivalentnosti displaystyle sim a b displaystyle a sim b todi i tilki todi koli b a I displaystyle b a in I Oskilki za oznachennyam ideal ye pidgrupoyu aditivnoyi grupi kilcya Todi a a 0 I displaystyle a a 0 in I tobto a a displaystyle a sim a Yaksho b a I displaystyle b a in I to takozh a b b a I displaystyle a b b a in I tobto z a b displaystyle a sim b viplivaye b a displaystyle b sim a Yaksho b a I displaystyle b a in I ta c b I displaystyle c b in I to takozh c a c b b a I displaystyle c a c b b a in I tobto z a b displaystyle a sim b ta b c displaystyle b sim c viplivaye a c displaystyle a sim c Otzhe vidnoshennya a b displaystyle a sim b ye refleksivnim simetrichnim i tranzitivnim otzhe ye vidnoshennyam ekvivalentnosti Nehaj a a I a r r I displaystyle a a I a r r in I poznachaye klas ekvivalentnosti elementa a displaystyle a Mnozhina klasiv ekvivalentnosti vvedenogo vidnoshennya poznachayetsya R I displaystyle R I Na danij mnozhini mozhna vvesti operaciyi dodavannya i mnozhennya a b a I b I a b I a b displaystyle a b a I b I a b I a b a b a I b I a b I a b displaystyle a cdot b a I cdot b I a cdot b I a cdot b Dani viznachennya ye nesuperechlivimi tobto ne zalezhat vid viboru predstavnikiv klasu Dijsno nehaj a I a 1 I displaystyle a I a 1 I ta b I b 1 I displaystyle b I b 1 I Todi a a 1 i I displaystyle a a 1 i in I ta b b 1 j I displaystyle b b 1 j in I Zvidsi a b a 1 b 1 i j displaystyle a b a 1 b 1 i j ta a b a 1 i b 1 j a 1 b 1 i b 1 a 1 j i j displaystyle ab a 1 i b 1 j a 1 b 1 ib 1 a 1 j ij Oskilki i j i b 1 a 1 j i j I displaystyle i j ib 1 a 1 j ij in I oderzhuyetsya a b I a 1 b 1 i j I displaystyle a b I a 1 b 1 i j I ta a b I a 1 b 1 I displaystyle ab I a 1 b 1 I sho dovodit nesuperechlivist viznachennya Mnozhina viznachenih klasiv ekvivalentnosti z viznachenimi operaciyami mnozhennya i dodavannya nazivayetsya faktor kilcem kilcya R displaystyle R za idealom I displaystyle I PrikladiNajprostishi prikladi faktor kilec oderzhuyutsya za dopomogoyu idealiv 0 displaystyle 0 i samogo kilcya R displaystyle R R 0 displaystyle R 0 ye izomorfnim do R displaystyle R a R R displaystyle R R ye trivialnim kilcem 0 displaystyle 0 Nehaj Z displaystyle mathbb Z kilce cilih chisel a 2 Z displaystyle 2 mathbb Z kilce parnih chisel Todi faktor kilce Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z maye lishe dva elementi sho vidpovidayut mnozhinam parnih i neparnih chisel Dane faktor kilce ye izomorfnim polyu z dvoma elementami F 2 displaystyle mathbb F 2 Bilsh zagalno mozhna rozglyanuti faktor kilce Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z sho ye izomorfnim kilcyu lishkiv za modulem n displaystyle n Nehaj R x displaystyle mathbb R x kilce mnogochleniv vid zminnoyi X displaystyle X z dijsnimi koeficiyentami i ideal I X 2 1 displaystyle I X 2 1 skladayetsya z usih dobutkiv mnogochlena X 2 1 displaystyle X 2 1 na inshi mnogochleni Faktor kilce R x X 2 1 displaystyle mathbb R x X 2 1 ye izomorfnim polyu kompleksnih chisel C displaystyle mathbb C i klas ekvivalentnosti X displaystyle X vidpovidaye uyavnij odinici i displaystyle i Uzagalnyuyuchi poperednij priklad faktor kilce mozhna vikoristati dlya pobudovi rozshirennya polya Nehaj K displaystyle K deyake pole i f displaystyle f nezvidnij mnogochlen v K X displaystyle K X Todi L K X f displaystyle L K X f ye polem sho mistit K displaystyle K VlastivostiYaksho R displaystyle R komutativne kilce to kilce R I displaystyle R I tezh ye komutativnim Obernene tverdzhennya nevirne Teorema pro gomomorfizm kilec Yaksho f displaystyle f epimorfizm syur yektivnij gomomorfizm kilcya K displaystyle mathrm K na kilce R displaystyle mathrm R to yadro ker f displaystyle ker f ye idealom kilcya K displaystyle mathrm K prichomu kilce R displaystyle mathrm R izomorfne faktor kilcyu K ker f displaystyle mathrm K ker f Navpaki yaksho J displaystyle mathrm J ideal kilcya K displaystyle mathrm K to vidobrazhennya f K K J displaystyle f mathrm K to mathrm K J viznachene umovoyu f a a J a K displaystyle f a a mathrm J forall a in mathrm K ye gomomorfizmom kilcya J displaystyle mathrm J na K J displaystyle mathrm K J z yadrom J displaystyle mathrm J Ideal J displaystyle mathrm J kilcya K displaystyle mathrm K ye prostim maksimalnim v tomu i lishe u tomu vipadku koli faktor kilce K J displaystyle mathrm K J ye oblastyu cilisnosti polem Mizh idealami kilec R displaystyle mathrm R i R I displaystyle R I isnuye tisnij zv yazok A same ideali R I displaystyle R I znahodyatsya u vzayemno odnoznachnij vidpovidnosti iz idealami kilcya R displaystyle mathrm R sho mistyat ideal I displaystyle I yak pidmnozhinu Yaksho I J displaystyle I subset J takij ideal kilcya R displaystyle mathrm R jomu stavitsya u vidpovidnist ideal J I displaystyle J I kilcya R I displaystyle R I Do togo zh faktor kilcya R J displaystyle R J i R I J I displaystyle R I J I ye izomorfnimi cherez prirodnij gomomorfizm h R J R I J I displaystyle h R J to R I J I dlya yakogo h a J a I J I displaystyle h a J a I J I Div takozhFaktor mnozhina Faktor grupa Faktor prostirPosilannyaFaktor kilce 14 travnya 2011 u Wayback Machine na sajti PlanetMath DzherelaUkrayinskoyu ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s 2012 Teoriya kilec navchalnij posibnik PDF Kiyiv RVC Kiyivskij universitet s 64 ukr Inshimi movami Van der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros