Клас еквівалентності елемента множини за заданим на цій множині відношенням еквівалентності є підмножина множини , що складається з елементів еквівалентних :
Класи еквівалентності між елементами структур часто використовуються для отримання меншої структури, елементами якої є класи. Зв'язок кожного елемента класу поділяється принаймні з одним іншим елементом іншого класу. Клас можна вважати тотожністю одного з оригінальних елементів.
Властивості
- Множина всіх класів еквівалентності множини називається фактор-множиною і є розбиттям множини
- Кожен елемент x з X є членом класу еквівалентності [x]. Кожні два класи еквівалентності [x] і [y] або дорівнюють, або не перетинаються. Таким чином, множина всіх класів еквівалентності X утворює розбиття множини X: кожен елемент X належить одному і тільки одному класу еквівалентності.
- x ~ y, тоді і тільки тоді, коли x і y належать до одного і того ж самого розділу множини.
З властивостей відношення еквівалентності випливає, що
- x ~ y, тоді і тільки тоді, коли [x] = [y].
Іншими словами, якщо ~ є відношення еквівалентності на множині X, то ці твердження еквівалентні:
- .
Позначення і формальне визначення
Відношення еквівалентності є бінарним відношенням, яке має три властивості:
- Для кожного елемента a із X, a ~ a (рефлексивність),
- Для кожних двох елементів a і b з X, якщо a ~ b, то і b ~ a (симетрія)
- Для кожних трьох елементів a, b і c з X, якщо a ~ b і b ~ c, то a ~ c (транзитивність).
Клас еквівалентності елемента a позначається [a] і може визначатися як множина.
Альтернативне позначення [a]R може бути використане для позначення класу еквівалентності елемента зокрема у відношенні R. Це називається R-класу еквівалентність. Множина всіх еквівалентних класів в X даного відношення еквівалентності позначається як X/~ і називається фактор-множина X на ~. Кожне відношення еквівалентності має канонічну проєкцію, сюр'єктивну функцію π з X де X/~ задано π(x) = [x].
Приклади
- Якщо X є множиною всіх автомобілів, і ~ є відношенням еквівалентності «має той же колір», то кожен клас еквівалентності складається з автомобілів однакового кольору. Наприклад, всі зелені автомобілі належать одному класу. Кількість класів X/~ дорівнює числу всіх кольорів автомобілів.
- Розглянемо відношення еквівалентності на множині цілих чисел: x ~ y, тоді і тільки тоді, коли їх різниця x − y парне число. Це співвідношення призводить до двох класів еквівалентності: один клас, що складається з усіх парних чисел, та другий, який складається з усіх непарних чисел. Клас парних чисел позначається, як [0], непарних як [1]. Згідно з цим співвідношенням [7], [9], та [117] належать одному класу — [1].
- Нехай X множина впорядкованих пар цілих чисел (a,b), де b не дорівнює нулю, і характеризує відношення еквівалентності ~ на X. Відповідно до якого (a,b) ~ (c,d), тоді і тільки тоді, коли ad = bc. Класу еквівалентності пари (a,b) можна поставити у відповідність раціональне число a/b, таким чином, це відношення еквівалентності і його класи еквівалентності можуть бути використані як формальне визначення множини раціональних чисел. Наприклад, еквівалентним парам (1,3), (2,6), (5,15), відповідає рівність дробів .
- Відношення рівності за модулем () на множині цілих чисел є відношенням еквівалентності. Класи еквівалентності
- Нехай дане число де Тоді всяку групу цифр називають класом. Група цифр — перший клас (клас одиниць), — другий клас (клас тисяч) тощо.
- Нехай є підгрупою групи У групі діє закон еквівалентності: якщо . Виникає клас суміжності групи по групі .
Факторизація відображень
Відображення
називається природним відображенням (або канонічної проєкцією) на фактор-множину . Нехай , — множини, - відображення, тоді бінарне відношення визначене правилом
є відношенням еквівалентності на . При цьому відображення індукує відображення , яке визначається правилом
або, що те ж саме,
- .
При цьому виходить факторизація відображення на сюр'єктивне відображення і ін'єктивне відображення .
Див. також
- Фактор-множина
- (Фактор-структура)
- Теореми про ізоморфізми
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)
- Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)
- Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет