Якщо X та Y — множини та будь-який елемент із X є також елементом із Y, то говорять, що:
- X є підмножиною (частиною) Y, позначення — X ⊆ Y;
- Y — надмножина (охоплююча множина) X, позначення — Y ⊇ X.
Підмножина | |
Досліджується в | теорія множин |
---|---|
Область визначення функції | множина |
Кодомен | множина |
Підтримується Вікіпроєктом | |
Команда TeX | \subset |
Протилежне | надмножина[d] |
|
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkl3TDFabGJtNWZRVjl6ZFdKelpYUmZRaTV6ZG1jdk1UVXdjSGd0Vm1WdWJsOUJYM04xWW5ObGRGOUNMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Кожна множина Y є підмножиною себе самої. Підмножина Y, яка не збігається з Y називається точною підмножиною (або правильною чи власною частиною множини) Y. Якщо X — точна підмножина Y, то цей факт записується як X ⊂ Y. Відношення «бути підмножиною» має назву включення.
Варіанти позначень
Існують дві системи позначень відношень включення: старіша система використовує символ "⊂" для позначення будь-якої підмножини, і символ "⊊" для позначення точної підмножини. Нова система використовує "⊆" для позначення будь-якої підмножини, і "⊂" для позначення точної підмножини.
Власна підмножина
Із означення прямо слідує, що порожня множина мусить бути підмножиною будь-якої множини. Також, очевидно, будь-яка множина є своєю підмножиною:
- ∅ ⊂ B; B ⊆ B
.
Якщо , і
, то
називається власною або нетривіа́льною підмножиною.
Приклади
- Множина {1, 2} є точною підмножиною {1, 2, 3}.
- Множина натуральних чисел є точною підмножиною множини раціональних чисел.
- Будь-яка множина є своєю підмножиною, але не точною.
- Порожня множина ∅ є також точною підмножиною будь-якої множини.
Властивості
ТВЕРДЖЕННЯ 1: Порожня множина є підмножиною всякої множини.
Доведення: Для довільної множини A потрібно довести, що ∅ є підмножиною A. Це рівнозначно тому, щоби показати, що всі елементиТ ∅ є також елементами A. Але в ∅ не існує жодного елемента.
Пояснимо: завдяки тому, що в ∅ немає елементів, "вони" не можуть бути нічиїми елементами. Тому для доведення зворотного, що ∅ не є підмножиною A, нам потрібно було б знайти такий елемент ∅, який не є одночасно елементом A. Таких елементів не існує (їх не існує взагалі), тому твердження 1 справедливе.
ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A, B та C є множини, тоді справедливі такі властивості відношення включення:
- рефлексивність:
- A ⊆ A
- антисиметричність:
- A ⊆ B та B ⊆ A тоді й тільки тоді, коли A = B
- транзитивність:
- Якщо A ⊆ B та B ⊆ C то A ⊆ C
Це твердження говорить про те, що множина X є алгебраїчною структурою, або решіткою, і якщо вона дистрибутивна (що показано в твердженні 1) та для кожного елементу існує його доповнення, то така структура має назву булевої алгебри.
ТВЕРДЖЕННЯ 3: Якщо A, B та C - підмножини S, то виконується наступне:
- існування верхньої межі та нижньої межі:
- Ø ⊆ A ⊆ S
- існування зв'язків:
- A ⊆ A ∪B
- Якщо A ⊆ C та B ⊆ C то A ∪B ⊆ C
- існування перетину:
- A ∩B ⊆ A
- Якщо C ⊆ A та C ⊆ B то C ⊆ A ∩B
ТВЕРДЖЕННЯ 4: Для будь-яких множин A та B, такі твердження еквівалентні:
- A ⊆ B
- A ∩B = A
- A ∪B = B
- A − B = Ø
- BC ⊆ AC
Посилання
Вікідані мають властивість P279:є підкласом (використання) |
Вікідані мають властивість P361:частина від (використання) |
- Thomas Jech (2002). Set Theory. . .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Yaksho X ta Y mnozhini ta bud yakij element iz X ye takozh elementom iz Y to govoryat sho X ye pidmnozhinoyu chastinoyu Y poznachennya X Y Y nadmnozhina ohoplyuyucha mnozhina X poznachennya Y X PidmnozhinaDoslidzhuyetsya vteoriya mnozhinOblast viznachennya funkciyimnozhinaKodomenmnozhinaPidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt MatematikaKomanda TeX subsetProtilezhnenadmnozhina d Pidmnozhina u VikishovishiA pidmnozhina B Kozhna mnozhina Y ye pidmnozhinoyu sebe samoyi Pidmnozhina Y yaka ne zbigayetsya z Y nazivayetsya tochnoyu pidmnozhinoyu abo pravilnoyu chi vlasnoyu chastinoyu mnozhini Y Yaksho X tochna pidmnozhina Y to cej fakt zapisuyetsya yak X Y Vidnoshennya buti pidmnozhinoyu maye nazvu vklyuchennya Varianti poznachenIsnuyut dvi sistemi poznachen vidnoshen vklyuchennya starisha sistema vikoristovuye simvol dlya poznachennya bud yakoyi pidmnozhini i simvol dlya poznachennya tochnoyi pidmnozhini Nova sistema vikoristovuye dlya poznachennya bud yakoyi pidmnozhini i dlya poznachennya tochnoyi pidmnozhini Vlasna pidmnozhinaIz oznachennya pryamo sliduye sho porozhnya mnozhina musit buti pidmnozhinoyu bud yakoyi mnozhini Takozh ochevidno bud yaka mnozhina ye svoyeyu pidmnozhinoyu B B B B displaystyle forall B Yaksho A B displaystyle A subset B i A displaystyle A neq varnothing to A displaystyle A nazivayetsya vlasnoyu abo netrivia lnoyu pidmnozhinoyu PrikladiMnozhina 1 2 ye tochnoyu pidmnozhinoyu 1 2 3 Mnozhina naturalnih chisel ye tochnoyu pidmnozhinoyu mnozhini racionalnih chisel Bud yaka mnozhina ye svoyeyu pidmnozhinoyu ale ne tochnoyu Porozhnya mnozhina ye takozh tochnoyu pidmnozhinoyu bud yakoyi mnozhini VlastivostiTVERDZhENNYa 1 Porozhnya mnozhina ye pidmnozhinoyu vsyakoyi mnozhini Dovedennya Dlya dovilnoyi mnozhini A potribno dovesti sho ye pidmnozhinoyu A Ce rivnoznachno tomu shobi pokazati sho vsi elementiT ye takozh elementami A Ale v ne isnuye zhodnogo elementa Poyasnimo zavdyaki tomu sho v nemaye elementiv voni ne mozhut buti nichiyimi elementami Tomu dlya dovedennya zvorotnogo sho ne ye pidmnozhinoyu A nam potribno bulo b znajti takij element yakij ne ye odnochasno elementom A Takih elementiv ne isnuye yih ne isnuye vzagali tomu tverdzhennya 1 spravedlive TVERDZhENNYa 2 Yaksho A B ta C ye mnozhini todi spravedlivi taki vlastivosti vidnoshennya vklyuchennya refleksivnist A A dd antisimetrichnist A B ta B A todi j tilki todi koli A B dd tranzitivnist Yaksho A B ta B C to A C dd Ce tverdzhennya govorit pro te sho mnozhina X ye algebrayichnoyu strukturoyu abo reshitkoyu i yaksho vona distributivna sho pokazano v tverdzhenni 1 ta dlya kozhnogo elementu isnuye jogo dopovnennya to taka struktura maye nazvu bulevoyi algebri TVERDZhENNYa 3 Yaksho A B ta C pidmnozhini S to vikonuyetsya nastupne isnuvannya verhnoyi mezhi ta nizhnoyi mezhi O A S dd isnuvannya zv yazkiv A A B Yaksho A C ta B C to A B C dd isnuvannya peretinu A B A Yaksho C A ta C B to C A B dd TVERDZhENNYa 4 Dlya bud yakih mnozhin A ta B taki tverdzhennya ekvivalentni A B A B A A B B A B O BC ACPosilannyaVikidani mayut vlastivist P279 ye pidklasom vikoristannya Vikidani mayut vlastivist P361 chastina vid vikoristannya Thomas Jech 2002 Set Theory Springer Verlag ISBN 3 540 44085 2