Уявна одиниця — число, що при піднесенні до квадрата дає від'ємну одиницю:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk0yTDBsdFlXZHBibUZ5ZVZWdWFYUTFMbk4yWnk4eU1qQndlQzFKYldGbmFXNWhjbmxWYm1sME5TNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Уявна одиниця | |
Числове значення | 1 уявна одиниця |
---|---|
Формула | [1] |
Позначення у формулі | і |
Підтримується Вікіпроєктом | |
Обернений елемент | d і d |
Протилежне | d |
Уявна одиниця не належить полю дійсних чисел, однак дає можливість розширити його до поля комплексних чисел.
Уявна одиниця є одним з двох розв'язків квадратного рівняння x2 + 1 = 0. Хоча не існує такого дійсного числа що мало б таку властивість, i використовують для розширення дійсних чисел до множини, що називається комплексними числами, і використовувати додавання і множення. Прикладом використання i для утворення комплексного числа є такий запис: 2 + 3i.
Уявна одиниця та від'ємна уявна одиниця
Наведене вище рівняння має два розв'язки. Якщо один з них є , то іншим розв'язком буде
, бо справджується така рівність:
Таким чином, виникає неоднозначність означення комплексного числа. Проте, хоча ці два числа не рівні між собою, для математики не існує різниці у тому, який саме з двох розв'язків рівняння позначатиметься
, а яке
.
Степені уявної одиниці
Степені повторюються в циклі:
Що можна записати для будь-якого степеня у вигляді:
де n — будь-яке натуральне число.
Звідси: де mod 4 — це остача від ділення на 4.
Число є дійсним:
Факторіал
Факторіал уявної одиниці i можна визначити як значення гамма-функції від аргументу 1 + i:
Також
Корені з уявної одиниці
В полі комплексних чисел корінь n-го степеня має n розв'язків. На комплексній площині корені уявної одиниці містяться у вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса.
Це випливає з формули Муавра й того, як уявна одиниця записується у тригонометричному вигляді:
Зокрема, та
Також корені уявної одиниці можуть бути представлені за допомогою експоненти:
Див. також
Примітки
- 2-15.1 // ISO 80000-2:2019Quantities and units — Part 2: Mathematics — 2 — ISO, 2019. — 36 с.
- "abs(i!)", WolframAlpha.
Література
- Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
- Лаврентьев М. А, Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Москва : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 736 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Uyavna odinicya i displaystyle i chislo sho pri pidnesenni do kvadrata daye vid yemnu odinicyu i na kompleksnij abo dekartovij ploshini Dijsni chisla znahodyatsya na gorizontalnij osi a uyavni chisla na vertikalnij osi Uyavna odinicyaChislove znachennya1 uyavna odinicyaFormulai2 1 displaystyle mathrm i 2 1 1 Poznachennya u formuli2 displaystyle 2 i i displaystyle mathrm i Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt MatematikaObernenij elementd i dProtilezhnedi2 1 displaystyle i 2 1 Uyavna odinicya ne nalezhit polyu dijsnih chisel odnak daye mozhlivist rozshiriti jogo do polya kompleksnih chisel Uyavna odinicya ye odnim z dvoh rozv yazkiv kvadratnogo rivnyannya x2 1 0 Hocha ne isnuye takogo dijsnogo chisla sho malo b taku vlastivist i vikoristovuyut dlya rozshirennya dijsnih chisel do mnozhini sho nazivayetsya kompleksnimi chislami i vikoristovuvati dodavannya i mnozhennya Prikladom vikoristannya i dlya utvorennya kompleksnogo chisla ye takij zapis 2 3i Uyavna odinicya ta vid yemna uyavna odinicyaNavedene vishe rivnyannya maye dva rozv yazki Yaksho odin z nih ye i displaystyle i to inshim rozv yazkom bude i displaystyle i bo spravdzhuyetsya taka rivnist i 2 1 i 1 i 1 1 i i 1 i2 i2 1 displaystyle i 2 1 cdot i cdot 1 cdot i 1 cdot 1 cdot i cdot i 1 cdot i 2 i 2 1 Takim chinom vinikaye neodnoznachnist oznachennya kompleksnogo chisla Prote hocha ci dva chisla ne rivni mizh soboyu dlya matematiki ne isnuye riznici u tomu yakij same z dvoh rozv yazkiv rivnyannya i2 1 displaystyle i 2 1 poznachatimetsya i displaystyle i a yake i displaystyle i Stepeni uyavnoyi odinici Stepeni i displaystyle i povtoryuyutsya v cikli displaystyle ldots i 3 i displaystyle i 3 i i 2 1 displaystyle i 2 1 i 1 i displaystyle i 1 i i0 1 displaystyle i 0 1 i1 i displaystyle i 1 i i2 1 displaystyle i 2 1 i3 i displaystyle i 3 i i4 1 displaystyle i 4 1 displaystyle ldots Sho mozhna zapisati dlya bud yakogo stepenya u viglyadi i4n 1 displaystyle i 4n 1 i4n 1 i displaystyle i 4n 1 i i4n 2 1 displaystyle i 4n 2 1 i4n 3 i displaystyle i 4n 3 i de n bud yake naturalne chislo Zvidsi in inmod4 displaystyle i n i n bmod 4 de mod 4 ce ostacha vid dilennya na 4 Chislo ii displaystyle i i ye dijsnim ii e ip 2 i ei2p 2 e p 2 0 20787957635 displaystyle i i e i pi 2 i e i 2 pi 2 e pi 2 0 20787957635 ldots Faktorial Faktorial uyavnoyi odinici i mozhna viznachiti yak znachennya gamma funkciyi vid argumentu 1 i i G 1 i 0 4980 0 1549i displaystyle i Gamma 1 i approx 0 4980 0 1549i Takozh i psinh p 0 521564 displaystyle i sqrt pi over sinh pi approx 0 521564 Koreni z uyavnoyi odinici V poli kompleksnih chisel korin n go stepenya maye n rozv yazkiv Na kompleksnij ploshini koreni uyavnoyi odinici mistyatsya u vershinah pravilnogo n kutnika vpisanogo v kolo odinichnogo radiusa uk cos p2 2pkn i sin p2 2pkn k 0 1 n 1 displaystyle u k cos frac frac pi 2 2 pi k n i sin frac frac pi 2 2 pi k n quad k 0 1 n 1 Ce viplivaye z formuli Muavra j togo yak uyavna odinicya zapisuyetsya u trigonometrichnomu viglyadi i cos p2 i sin p2 displaystyle i cos frac pi 2 i sin frac pi 2 Zokrema i 1 i2 1 i2 displaystyle sqrt i left frac 1 i sqrt 2 frac 1 i sqrt 2 right ta i3 i i 32 i 32 displaystyle sqrt 3 i left i frac i sqrt 3 2 frac i sqrt 3 2 right Takozh koreni uyavnoyi odinici mozhut buti predstavleni za dopomogoyu eksponenti uk e p2 2pk in k 0 1 n 1 displaystyle u k e frac frac pi 2 2 pi k i n quad k 0 1 n 1 Div takozhDualni chisla i Podvijni chisla Kompleksnij analiz Kvaternioni Giperkompleksni chislaPrimitki2 15 1 ISO 80000 2 2019Quantities and units Part 2 Mathematics 2 ISO 2019 36 s d Track Q109490582d Track Q15028 abs i WolframAlpha LiteraturaKantor I L Solodovnikov A S Giperkompleksnye chisla Moskva Nauka 1973 144 s ros Lavrentev M A Shabat B V Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo Moskva Glavnaya redakciya fiziko matematicheskoj literatury izd va Nauka 1973 736 s ros