Гамма-функція (позначається великою літерою грецького алфавіту — Гамма, Γ) —є одним із способів узагальнення функції факторіала, до дійсних і комплексних чисел, із зсувом її аргумента менше на 1. Даніель Бернуллі вивів цю функцію для n, що є додатнім цілим числом,
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelV5TDBkaGJXMWhYM0JzYjNRdWMzWm5Mekl5TUhCNExVZGhiVzFoWDNCc2IzUXVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelE1TDBkaGJXMWhYMkZpY3pJdWNHNW5MekkxTUhCNExVZGhiVzFoWDJGaWN6SXVjRzVuLnBuZw==.png)
Хоча існують і інші подібні розширення, це конкретне визначення є найбільш популярним і вживаним. Гамма-функція визначена для всіх комплексних чисел, окрім не додатних цілих. Для комплексних чисел із додатною дійсною частиною, гамма-функція визначається через збіжний невласний інтеграл:
Цю інтегральну функцію за допомогою аналітичного продовження можна розширити для всіх комплексних чисел, крім недодатних цілих (де функція має прості полюси), в результаті чого отримують мероморфну функцію яку називають гамма-функцією. Вона не має нулів, тож взаємна гамма функція 1/Γ(z) є голоморфною функцією. Гамма-функція відповідає перетворенню Мелліна для від'ємної показникової функції:
Гамма-функція є складовою різних функцій розподілу імовірностей, тож вона використовується в таких областях як теорія імовірностей і статистика, а також у комбінаториці.
Мотивування
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkk1TDBaaFkzUnZjbWxoYkY5SmJuUmxjbkJ2YkdGMGFXOXVMbk4yWnk4eU5UQndlQzFHWVdOMGIzSnBZV3hmU1c1MFpYSndiMnhoZEdsdmJpNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Гамма функцію можна розглядати як розв'язок такої задачі інтерполяції:
- «Необхідно знайти гладку функцію яка сполучає точки (x, y) задані відношенням y = (x − 1)! при додатних цілих значеннях змінної x.»
Графік перших декількох точок факторіалів дозволяє припустити, що така крива можлива, але було б бажано знайти формулу, яка точно описує цю криву, в якій кількість операцій не залежить від розміру x. Просту формулу для факторіалу, x! = 1 × 2 × … × x, не можна застосувати напряму для не цілих значень x оскільки вона є дійсною лише коли x є натуральним числом (тобто, додатним цілим). Просто кажучи, не існує простого рішення для факторіалів; ніякі нескінченні комбінації сумування, добутку, піднесення у степінь, показникових функцій, або логарифмів, які б були здатні виразити функцію x!; але можна знайти загальну формулу для факторіалів за допомогою таких засобів як інтеграли і границі із диференціального та інтегрального числення. Хорошим рішенням цієї задачі є гамма функція.
Існує багато способів для поширення факторіалу до не цілих значень: через множину окремих точок можна провести нескінченну кількість різних кривих. Гамма-функція є одним із найкорисніших вирішень цієї задачі на практиці, оскільки вона є аналітичною функцією (крім області значень не додатних цілих). Ще однією важливою особливістю цієї функції, це те що вона задовольняє рекурентному співвідношенню, що визначає аналогічну властивість функції факторіалу,
для x, що дорівнює будь-якому додатному дійсному числу. Це дозволяє множити її із будь-якою періодичною аналітичною функцією, яка матиме значення одиниці для додатних цілих, наприклад така функція як ek sin mπx.
Визначення
Основне визначення
Нотацію Γ(z) ввів Адрієн-Марі Лежандр. Якщо дійсна частина комплексного числа z є додатною (Re(z) > 0), тоді інтеграл
є абсолютно збіжним, і відомий як інтеграл Ейлера другого роду (інтеграл Ейлера першого роду визначає бета-функцію). Застосувавши інтегрування частинами, можна побачити, що:
Визначивши, що при тому як
Можемо розрахувати
Маємо що і
для всіх додатних цілих чисел n. Це є прикладом доведення методом математичної індукції.
Альтернативні визначення
Функція є неперервним продовженням факторіалу
визначеного лише для значень
на усю площину
комплексної змінної
Функція Ейлера
може бути визначена однією з нижченаведених формул:
Вона задовільняє наступним співвідношенням:
Оскільки то
позначається як
Відповідно до визначення факторіалу,
Біноміальний коефіцієнт виражається через гама-функцію наступним чином:
Можна також представити інтеграл через гама-функцію
який має назву Бета-функції. Таким чином,
Ейлерове визначення як нескінченного добутку
При пошуку наближення для z! для комплексного числа z, виявляється, що простіше спочатку порахувати n! для деякого великого цілого числа n, а потім використати це для апроксимації значення для (n+z)!, після чого використати рекурентне рівняння m! = m (m−1)! у зворотньому порядку n разів, для того, щоб зрештою апроксимувати z!. Крім того, ця апроксимація стає точною для границі із тим як n прямує до нескінченності.
Зокрема, для деякого цілого числа m, буде так, що
і ми хочемо, щоб та сама формула виконувалася, якщо довільне ціле m буде замінено на довільне комплексне число z
Помноживши обидві частини на z! отримаємо
Ця формула із нескінченним добутком є збіжною для всіх комплексних чисел z крім від'ємних цілих, оскільки при спробі використати рекурентне відношення m! = m (m − 1)! в зворотньому порядку до значення m = 0 призведе до ділення на нуль.
Аналогічно і гамма-функція, визначена відповідно до Ейлера як нескінченний добуток буде справедливою для всіх комплексних чисел за виключенням недодатних цілих:
При такій конструкції, гамма-функція є унікальною функцією, яка одночасно задовольняє рівнянням ,
для всіх комплексних чисел
крім не додатних цілих, і
для всіх комплексних чисел
.
Рівняння можна використати для однозначного розширення інтегральної формули для Γ(z) до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних чисел z, крім цілих, що менші або рівні нулю. Саме ця розширена версія як правило називається гамма-функцією.
Визначення Вейєрштрасса
Визначення гамма-функції, яке дав Вейєрштрасс також є дійсним для всіх комплексних чисел z, крім недодатних цілих:
де — Стала Ейлера—Маскероні.
Множина визначення
Інтеграл, яким визначається гама-функція є невласним, і збігається при . Однак, використовуючи рекурентне співвідношення
її можна продовжити на всю комплексну площину за винятком точок , де
.
Гамма-функція є неперервною функцією з простору неперервних функціоналів Чебишова. Вона є стійкою за Адамаром, виражається за третім законом Лопіталя.
Часткові значення
Особливо важливі часткові значення гама-функції в певних точках
— за означенням.
— див. також факторіал.
Властивості
Загальні
Важливим функціональним рівнянням для гамма-функції є Єйлерова [en]
з якої випливає:
і [en]
Доведення Єйлерової формули відображення |
---|
Оскільки гамма-функцію можна представити як Проінтегрувавши по частинам що дорівнює Це можна переписати наступним чином Потім, використавши функціональне рівняння для гамма-функції, отримаємо Використавши розкладання у ряд Фур'є, функцію де Якщо прийняти, що Тепер виконаємо заміну Проінтегрувавши обидві сторони по інтервалу від Тоді Звідси випливає формула відображення Ейлера: |
Доведення формули множення Лагранжа |
---|
Бета-функцію можна представити наступним чином Якщо задати Виконавши заміну Функція Тепер припустимо Тоді Звідси випливає Оскільки звідси отримаємо формулу подвоєння Лагранжа: |
Формула подвоєння є особливим випадком [en](див., Eq. 5.5.6)
Простою, але корисною властивістю, яка випливає із визначення границі, це:
Зокрема, при z = a + bi, цей добуток дорівнює
Одним із самих відомих значень гамма-функції для нецілого аргумента є:
яке отримують, якщо задати z = 1/2 у формулах відображення або подвоєння, використавши рівняння для бета функції із x = y = 1/2, або виконавши заміну u = √x у визначенні інтегралу гамма-функції, із чого в результаті отримають Гаусів інтеграл. У загальному випадку, для невід'ємних цілих чисел n маємо:
де n!! позначає (подвійний факторіал) від n. Коли n = 0, n!! = 1.
Може здаватися, що поглянувши на формулу результат Γ(1/2) = √π можна узагальнити для інших окремих значень Γ(r) де r є раціональним числом. Однак, ці числа не можна виразити через самих себе в рамках елементарних функцій. Було доведено, що Γ(n + r) є трансцендентним числом і алгебраїчно незалежним від π для будь-якого цілого n і будь-якого дробу із r = 1/6, 1/4, 1/3, 2/3, 3/4, 5/6. У загальному випадку, для розрахунку значень гамма-функції необхідно застосовувати числову апроксимацію.
Іншою корисною границею для асимптотичного наближення є:
Похідні гамма-функції можна описати за допомогою полігамма-функції. Наприклад:
Для додатного цілого числа m похідну гамма-функції можна розрахувати наступним чином (тут γ це Стала Ейлера—Маскероні):
Для Re(x) > 0 n-а похідна гамма-функції дорівнює:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemxsTDBSbGNtbDJSMkZ0YldFdWNHNW5Mekl5TUhCNExVUmxjbWwyUjJGdGJXRXVjRzVuLnBuZw==.png)
(Це можна отримати за допомогою диференціювання інтегралу для гамма-функції по змінній x, і використавши інтегральне правило Лейбніца.)
Використавши рівняння
де ζ(z) — дзета-функція Рімана, із розбиттям
зокрема маємо
Нерівності
Якщо обмежитися додатними цілими числами, гамма-функція є суворо логарифмічно опуклою функцією. Цю властивість можна визначити за допомогою трьох наведених еквівалентних нерівностей:
- Для будь-яких двох додатних дійсних чисел x1 і x2, і для будь-якого t ∈ [0, 1],
Крім того, ця нерівність буде точною для t ∈ (0, 1).
- Для будь-яких двох додатних дійсних чисел x і y при y > x,
- Для будь-якого додатного дійсного числа x,
Останні два твердження, випливають із визначення, так само як і твердження, що , де
це полігамма-функція порядку 1. Аби довести логарифмічну опуклість гамма-функції достатньо спостерігати, що
має ряд представлень для яких, при додатному дійсному x вона складається лише із додатних термів.
Логарифмічна опуклість і нерівність Єнсена разом означають, що для будь-яких додатних дійсних чисел and
,
Існують також обмеження відношення гамма-функцій. Найвідомішим є [en], яка стверджує, що для будь-якого додатного цілого числа x і будь-якогоs ∈ (0, 1),
Формула Стірлінґа
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek0wTDBkaGJXMWhNUzV3Ym1jdk1qSXdjSGd0UjJGdGJXRXhMbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek16TDBkaGJXMWhYMkZpYzE4elJDNXdibWN2TWpJd2NIZ3RSMkZ0YldGZllXSnpYek5FTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Поведінка функції для зростаючих цілих значень змінної є простою: вона зростає досить швидко — швидше за показникову функцію. Асимптотично при
, величина гамма-функції задається за допомогою формули Стірлінґа
де символ задає відношення з яким обидві сторони збігаються до 1 або асимптотично сходяться.
Наближення
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelE0TDAxd2JIZHdYMlpoWTNSdmNtbGhiRjluWVcxdFlWOXpkR2x5YkdsdVp5NXpkbWN2TXpBd2NIZ3RUWEJzZDNCZlptRmpkRzl5YVdGc1gyZGhiVzFoWDNOMGFYSnNhVzVuTG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Комплексні значення гамма-функції можна обчислити чисельним способом із довільною точністю використовуючи формулу Стірлінга або [en].
Гамма-функцію можна обрахувати із сталою точністю для Re(z) ∈ [1,2] застосувавши до інтеграла Ейлера метод інтегрування частинами. Для будь-якого додатнього числа x гамма-функцію можна записати як
Коли Re(z) ∈ [1,2] і x ≥ 1, абсолютне значення останнього інтегралу є меншим за (x + 1)e−x. Якщо вибрати достатньо велике x, цей вираз може бути меншим за 2−N для будь-якого бажаного значення N. Тож, за допомогою вищевказаного ряду гамма-функцію можна обрахувати до N бітів точності.
Швидкий алгоритм для розрахунку Ейлерової гамма-функції для будь-якого алгебраїчного аргументу (в тому числі раціонального) Е. А. Карацуба,
Для аргументів, які є цілими кратними для 1/24, гамма-функцію також можна швидко розрахувати використавши ітерації для середнього арифметико-геометричного.
Застосування для формули Стірлінга
Наступний розклад в ряд гамма-функції для великих цілих дає асимптотичний вираз для формули Стірлінга, що використовується для обчислення факторіалу цілого числа.
Історія
Позначення гама-функції ввів у обіг Лежандр.
Див. також
Джерела
- Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN .
{{}}
: Перевірте значення|isbn=
: недійсний символ () - Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Примітки
- Davis, P. J. (1959). . American Mathematical Monthly. 66 (10): 849—869. doi:10.2307/2309786. Архів оригіналу за 7 листопада 2012. Процитовано 3 грудня 2016.
- А.М.Нахушев - Уравнения математической биологии.
- Waldschmidt, M. (2006). (PDF). Pure Appl. Math. Quart. 2 (2): 435—463. doi:10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3. Архів оригіналу (PDF) за 17 квітня 2012. Процитовано 10 березня 2019.
- E.A. Karatsuba, Fast evaluation of transcendental functions. Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4, pp. 339—360 (1991).
- E.A. Karatsuba, On a new method for fast evaluation of transcendental functions. Russ. Math. Surv. Vol.46, No.2, pp. 246—247 (1991).
- E.A. Karatsuba «Fast Algorithms and the FEE Method [ 2 квітня 2021 у Wayback Machine.]».
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Gamma znachennya Gamma funkciya poznachayetsya velikoyu literoyu greckogo alfavitu Gamma G ye odnim iz sposobiv uzagalnennya funkciyi faktoriala do dijsnih i kompleksnih chisel iz zsuvom yiyi argumenta menshe na 1 Daniel Bernulli viviv cyu funkciyu dlya n sho ye dodatnim cilim chislom Gamma funkciya na dijsnij chastini oblasti znachen Gamma funkciya meromorfna na vsij kompleksnij ploshini G n n 1 displaystyle Gamma n n 1 Hocha isnuyut i inshi podibni rozshirennya ce konkretne viznachennya ye najbilsh populyarnim i vzhivanim Gamma funkciya viznachena dlya vsih kompleksnih chisel okrim ne dodatnih cilih Dlya kompleksnih chisel iz dodatnoyu dijsnoyu chastinoyu gamma funkciya viznachayetsya cherez zbizhnij nevlasnij integral G z 0 x z 1 e x d x 0 1 ln 1 x z 1 d x displaystyle Gamma z int 0 infty x z 1 e x dx int limits 0 1 left ln frac 1 x right z 1 dx Cyu integralnu funkciyu za dopomogoyu analitichnogo prodovzhennya mozhna rozshiriti dlya vsih kompleksnih chisel krim nedodatnih cilih de funkciya maye prosti polyusi v rezultati chogo otrimuyut meromorfnu funkciyu yaku nazivayut gamma funkciyeyu Vona ne maye nuliv tozh vzayemna gamma funkciya 1 G z ye golomorfnoyu funkciyeyu Gamma funkciya vidpovidaye peretvorennyu Mellina dlya vid yemnoyi pokaznikovoyi funkciyi G z M e x z displaystyle Gamma z mathcal M e x z Gamma funkciya ye skladovoyu riznih funkcij rozpodilu imovirnostej tozh vona vikoristovuyetsya v takih oblastyah yak teoriya imovirnostej i statistika a takozh u kombinatorici MotivuvannyaGamma funkciya interpolyuye funkciyu faktoriala dlya ne cilih znachen Gamma funkciyu mozhna rozglyadati yak rozv yazok takoyi zadachi interpolyaciyi Neobhidno znajti gladku funkciyu yaka spoluchaye tochki x y zadani vidnoshennyam y x 1 pri dodatnih cilih znachennyah zminnoyi x Grafik pershih dekilkoh tochok faktorialiv dozvolyaye pripustiti sho taka kriva mozhliva ale bulo b bazhano znajti formulu yaka tochno opisuye cyu krivu v yakij kilkist operacij ne zalezhit vid rozmiru x Prostu formulu dlya faktorialu x 1 2 x ne mozhna zastosuvati napryamu dlya ne cilih znachen x oskilki vona ye dijsnoyu lishe koli x ye naturalnim chislom tobto dodatnim cilim Prosto kazhuchi ne isnuye prostogo rishennya dlya faktorialiv niyaki neskinchenni kombinaciyi sumuvannya dobutku pidnesennya u stepin pokaznikovih funkcij abo logarifmiv yaki b buli zdatni viraziti funkciyu x ale mozhna znajti zagalnu formulu dlya faktorialiv za dopomogoyu takih zasobiv yak integrali i granici iz diferencialnogo ta integralnogo chislennya Horoshim rishennyam ciyeyi zadachi ye gamma funkciya Isnuye bagato sposobiv dlya poshirennya faktorialu do ne cilih znachen cherez mnozhinu okremih tochok mozhna provesti neskinchennu kilkist riznih krivih Gamma funkciya ye odnim iz najkorisnishih virishen ciyeyi zadachi na praktici oskilki vona ye analitichnoyu funkciyeyu krim oblasti znachen ne dodatnih cilih She odniyeyu vazhlivoyu osoblivistyu ciyeyi funkciyi ce te sho vona zadovolnyaye rekurentnomu spivvidnoshennyu sho viznachaye analogichnu vlastivist funkciyi faktorialu f 1 1 displaystyle f 1 1 f x 1 x f x displaystyle f x 1 xf x dlya x sho dorivnyuye bud yakomu dodatnomu dijsnomu chislu Ce dozvolyaye mnozhiti yiyi iz bud yakoyu periodichnoyu analitichnoyu funkciyeyu yaka matime znachennya odinici dlya dodatnih cilih napriklad taka funkciya yak ek sin mp x ViznachennyaOsnovne viznachennya Notaciyu G z vviv Adriyen Mari Lezhandr Yaksho dijsna chastina kompleksnogo chisla z ye dodatnoyu Re z gt 0 todi integral G z 0 x z 1 e x d x displaystyle Gamma z int 0 infty x z 1 e x dx ye absolyutno zbizhnim i vidomij yak integral Ejlera drugogo rodu integral Ejlera pershogo rodu viznachaye beta funkciyu Zastosuvavshi integruvannya chastinami mozhna pobachiti sho G z 1 0 x z e x d x x z e x 0 0 z x z 1 e x d x lim x x z e x 0 e 0 z 0 x z 1 e x d x displaystyle begin aligned Gamma z 1 amp int 0 infty x z e x dx 4pt amp Big x z e x Big 0 infty int 0 infty zx z 1 e x dx 4pt amp lim x to infty x z e x 0e 0 z int 0 infty x z 1 e x dx end aligned Viznachivshi sho x z e x 0 displaystyle x z e x to 0 pri tomu yak x displaystyle x to infty G z 1 z 0 x z 1 e x d x z G z displaystyle begin aligned Gamma z 1 amp z int 0 infty x z 1 e x dx 6pt amp z Gamma z end aligned Mozhemo rozrahuvati G 1 displaystyle Gamma 1 text G 1 0 x 1 1 e x d x e x 0 lim x e x e 0 0 1 1 displaystyle begin aligned Gamma 1 amp int 0 infty x 1 1 e x dx 6pt amp Big e x Big 0 infty 6pt amp lim x to infty e x e 0 6pt amp 0 1 6pt amp 1 end aligned Mayemo sho G 1 1 displaystyle Gamma 1 1 i G n 1 n G n displaystyle Gamma n 1 n Gamma n G n 1 2 3 n 1 n 1 displaystyle Gamma n 1 cdot 2 cdot 3 cdots n 1 n 1 dlya vsih dodatnih cilih chisel n Ce ye prikladom dovedennya metodom matematichnoyi indukciyi Alternativni viznachennya Funkciya G z displaystyle Gamma z ye neperervnim prodovzhennyam faktorialu n 1 2 n displaystyle n 1 2 n viznachenogo lishe dlya znachen n 1 2 displaystyle n 1 2 na usyu ploshinu C displaystyle mathbb C kompleksnoyi zminnoyi z x y x i y displaystyle z x y x iy Funkciya Ejlera G z displaystyle Gamma z mozhe buti viznachena odniyeyu z nizhchenavedenih formul G z 0 e t t z 1 d t R e z x gt 0 displaystyle Gamma z int 0 infty e t t z 1 dt quad mathrm Re z x gt 0 G z k 0 1 k k 1 z k 1 e t t z 1 d t z 0 1 displaystyle Gamma z sum k 0 infty frac 1 k k frac 1 z k int 1 infty e t t z 1 dt quad quad forall z neq 0 1 1 G z lim k z z 1 z k 1 k k z 1 displaystyle frac 1 Gamma z lim k rightarrow infty frac z z 1 cdot cdot cdot z k 1 k k z 1 Vona zadovilnyaye nastupnim spivvidnoshennyam G z 1 z G z displaystyle Gamma z 1 z Gamma z G z G 1 z p sin p z displaystyle Gamma z Gamma 1 z frac pi sin pi z 2 2 z 1 G z G z 1 2 p G 2 z displaystyle 2 2z 1 Gamma z Gamma z frac 1 2 sqrt pi Gamma 2z Oskilki G n 1 n displaystyle Gamma n 1 n to G z 1 displaystyle Gamma z 1 poznachayetsya yak z displaystyle z Vidpovidno do viznachennya faktorialu z G z 1 0 1 displaystyle z Gamma z 1 0 1 Binomialnij koeficiyent C z n displaystyle C z n virazhayetsya cherez gama funkciyu nastupnim chinom C z n G n 1 n G z n 1 z n z n 1 n G n z n G z displaystyle C z n frac Gamma n 1 n Gamma z n 1 frac z n z n frac 1 n Gamma n z n Gamma z Mozhna takozh predstaviti integral cherez gama funkciyu B z ϑ 0 1 t z 1 1 t ϑ 1 d t R e ϑ gt 0 displaystyle B z vartheta int 0 1 t z 1 1 t vartheta 1 dt quad quad mathrm Re vartheta gt 0 yakij maye nazvu Beta funkciyi Takim chinom B z ϑ G z G ϑ G z ϑ displaystyle B z vartheta frac Gamma z Gamma vartheta Gamma z vartheta Ejlerove viznachennya yak neskinchennogo dobutku Pri poshuku nablizhennya dlya z dlya kompleksnogo chisla z viyavlyayetsya sho prostishe spochatku porahuvati n dlya deyakogo velikogo cilogo chisla n a potim vikoristati ce dlya aproksimaciyi znachennya dlya n z pislya chogo vikoristati rekurentne rivnyannya m m m 1 u zvorotnomu poryadku n raziv dlya togo shob zreshtoyu aproksimuvati z Krim togo cya aproksimaciya staye tochnoyu dlya granici iz tim yak n pryamuye do neskinchennosti Zokrema dlya deyakogo cilogo chisla m bude tak sho lim n n n 1 m n m 1 displaystyle lim n to infty frac n n 1 m n m 1 i mi hochemo shob ta sama formula vikonuvalasya yaksho dovilne cile m bude zamineno na dovilne kompleksne chislo z lim n n n 1 z n z 1 displaystyle lim n to infty frac n n 1 z n z 1 Pomnozhivshi obidvi chastini na z otrimayemo z lim n n z n z n 1 z lim n 1 n 1 z n z n 1 z lim n 1 n 1 z n z 1 1 1 1 1 2 1 1 n z n 1 1 1 z n 1 1 n z displaystyle begin aligned z amp lim n to infty n frac z n z n 1 z 8pt amp lim n to infty frac 1 cdots n 1 z cdots n z n 1 z 8pt amp lim n to infty frac 1 cdots n 1 z cdots n z left left 1 frac 1 1 right left 1 frac 1 2 right cdots left 1 frac 1 n right right z 8pt amp prod n 1 infty left frac 1 1 frac z n left 1 frac 1 n right z right end aligned Cya formula iz neskinchennim dobutkom ye zbizhnoyu dlya vsih kompleksnih chisel z krim vid yemnih cilih oskilki pri sprobi vikoristati rekurentne vidnoshennya m m m 1 v zvorotnomu poryadku do znachennya m 0 prizvede do dilennya na nul Analogichno i gamma funkciya viznachena vidpovidno do Ejlera yak neskinchennij dobutok bude spravedlivoyu dlya vsih kompleksnih chisel z displaystyle z za viklyuchennyam nedodatnih cilih G z 1 z n 1 1 1 n z 1 z n displaystyle Gamma z frac 1 z prod n 1 infty frac left 1 frac 1 n right z 1 frac z n Pri takij konstrukciyi gamma funkciya ye unikalnoyu funkciyeyu yaka odnochasno zadovolnyaye rivnyannyam G 1 1 displaystyle Gamma 1 1 G z 1 z G z displaystyle Gamma z 1 z Gamma z dlya vsih kompleksnih chisel z displaystyle z krim ne dodatnih cilih i lim n G n z n 1 n z 1 displaystyle lim n to infty frac Gamma n z n 1 n z 1 dlya vsih kompleksnih chisel z displaystyle z Rivnyannya G z G z 1 z displaystyle Gamma z frac Gamma z 1 z mozhna vikoristati dlya odnoznachnogo rozshirennya integralnoyi formuli dlya G z do meromorfnoyi funkciyi viznachenoyi dlya vsih kompleksnih chisel z krim cilih sho menshi abo rivni nulyu Same cya rozshirena versiya yak pravilo nazivayetsya gamma funkciyeyu Viznachennya Vejyershtrassa Viznachennya gamma funkciyi yake dav Vejyershtrass takozh ye dijsnim dlya vsih kompleksnih chisel z krim nedodatnih cilih G z e g z z n 1 1 z n 1 e z n displaystyle Gamma z frac e gamma z z prod n 1 infty left 1 frac z n right 1 e z n de g 0 577216 displaystyle gamma approx 0 577216 Stala Ejlera Maskeroni Mnozhina viznachennyaIntegral yakim viznachayetsya gama funkciya ye nevlasnim i zbigayetsya pri Re z gt 0 displaystyle text Re z gt 0 Odnak vikoristovuyuchi rekurentne spivvidnoshennya G z 1 z G z displaystyle Gamma z 1 z Gamma z yiyi mozhna prodovzhiti na vsyu kompleksnu ploshinu za vinyatkom tochok z n displaystyle z n de n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 ldots Gamma funkciya ye neperervnoyu funkciyeyu z prostoru neperervnih funkcionaliv Chebishova Vona ye stijkoyu za Adamarom virazhayetsya za tretim zakonom Lopitalya Chastkovi znachennyaOsoblivo vazhlivi chastkovi znachennya gama funkciyi v pevnih tochkah G 1 0 1 displaystyle Gamma 1 0 1 za oznachennyam G 2 1 displaystyle Gamma 2 1 G 1 2 p displaystyle Gamma 1 2 sqrt pi G 3 2 p 2 displaystyle Gamma 3 2 frac sqrt pi 2 G n n 1 displaystyle Gamma n n 1 div takozh faktorial G n G 1 n p sin n p displaystyle Gamma n Gamma 1 n frac pi sin n pi G n 1 2 1 3 5 2 n 3 2 n 1 p 2 n displaystyle Gamma left n frac 1 2 right 1 cdot 3 cdot 5 cdot cdot 2n 3 2n 1 frac sqrt pi 2 n de n displaystyle n cile dodatne chisloVlastivostiZagalni Vazhlivim funkcionalnim rivnyannyam dlya gamma funkciyi ye Yejlerova en G 1 z G z p sin p z z Z displaystyle Gamma 1 z Gamma z pi over sin pi z qquad z not in mathbb Z z yakoyi viplivaye G e n 1 n 1 G e G 1 e G n 1 e displaystyle Gamma varepsilon n 1 n 1 frac Gamma varepsilon Gamma 1 varepsilon Gamma n 1 varepsilon i en G z G z 1 2 2 1 2 z p G 2 z displaystyle Gamma z Gamma left z tfrac 1 2 right 2 1 2z sqrt pi Gamma 2z Dovedennya Yejlerovoyi formuli vidobrazhennya Oskilki e t lim n 1 t n n displaystyle e t lim n to infty left 1 frac t n right n gamma funkciyu mozhna predstaviti yak G z lim n 0 n t z 1 1 t n n d t displaystyle Gamma z lim n to infty int 0 n t z 1 left 1 frac t n right n dt Prointegruvavshi po chastinam n 1 displaystyle n 1 raziv otrimayemo G z lim n n n z n 1 n z 1 n 2 n z 2 1 n z n 1 0 n t z n 1 d t displaystyle Gamma z lim n to infty frac n nz frac n 1 n z 1 frac n 2 n z 2 cdots frac 1 n z n 1 int 0 n t z n 1 dt sho dorivnyuye G z lim n n n k 0 n z k 1 n z n displaystyle Gamma z lim n to infty frac n n prod k 0 n z k 1 n z n Ce mozhna perepisati nastupnim chinom G z lim n n z z k 1 n k z k lim n n z z k 1 n 1 1 z k displaystyle Gamma z lim n to infty frac n z z prod k 1 n frac k z k lim n to infty frac n z z prod k 1 n frac 1 1 frac z k Potim vikoristavshi funkcionalne rivnyannya dlya gamma funkciyi otrimayemo z G z G z G 1 z G z lim n 1 z k 1 n 1 1 z 2 k 2 displaystyle z Gamma z Gamma z Gamma 1 z Gamma z lim n to infty frac 1 z prod k 1 n frac 1 1 frac z 2 k 2 Vikoristavshi rozkladannya u ryad Fur ye funkciyu cos a x displaystyle cos ax mozhna predstaviti nastupnim chinom cos a x sin p a p a n 1 1 p sin p n a n a sin p n a n a cos n x displaystyle cos ax frac sin pi a pi a sum n 1 infty frac 1 pi left frac sin pi n a n a frac sin pi n a n a right cos nx de a Z displaystyle a not in mathbb Z i x p p displaystyle x in pi pi Vikoristavshi trigonometrichni totozhnosti cej viraz mozhna sprostiti nastupnim chinom cos a x sin p a p a 2 a sin p a p n 1 1 n cos n x a 2 n 2 displaystyle cos ax frac sin pi a pi a frac 2a sin pi a pi sum n 1 infty frac 1 n cos nx a 2 n 2 Yaksho prijnyati sho x p displaystyle x pi i rozdiliti rivnyannya na sin p a displaystyle sin pi a otrimayemo p cot p a 1 a 2 a n 1 1 a 2 n 2 displaystyle pi cot pi a frac 1 a 2a sum n 1 infty frac 1 a 2 n 2 Teper vikonayemo zaminu a m p displaystyle a frac m pi shob otrimati cot m 1 m 2 m n 1 1 m 2 n 2 p 2 displaystyle cot m frac 1 m 2m sum n 1 infty frac 1 m 2 n 2 pi 2 Prointegruvavshi obidvi storoni po intervalu vid 0 displaystyle 0 do z displaystyle z i zvivshi do stepenya otrimayemo sin z z n 1 1 z 2 n 2 p 2 k 1 1 z 2 k 2 p 2 displaystyle frac sin z z prod n 1 infty left 1 frac z 2 n 2 pi 2 right prod k 1 infty left 1 frac z 2 k 2 pi 2 right Todi p sin p z lim n 1 z k 1 n 1 1 z 2 k 2 displaystyle frac pi sin pi z lim n to infty frac 1 z prod k 1 n frac 1 1 frac z 2 k 2 Zvidsi viplivaye formula vidobrazhennya Ejlera G 1 z G z p sin p z z Z displaystyle Gamma 1 z Gamma z frac pi sin pi z qquad z not in mathbb Z Dovedennya formuli mnozhennya Lagranzha Beta funkciyu mozhna predstaviti nastupnim chinom B z 1 z 2 G z 1 G z 2 G z 1 z 2 0 1 t z 1 1 1 t z 2 1 d t displaystyle mathrm B z 1 z 2 frac Gamma z 1 Gamma z 2 Gamma z 1 z 2 int 0 1 t z 1 1 1 t z 2 1 dt Yaksho zadati z 1 z 2 z displaystyle z 1 z 2 z otrimayemo G 2 z G 2 z 0 1 t z 1 1 t z 1 d t displaystyle frac Gamma 2 z Gamma 2z int 0 1 t z 1 1 t z 1 dt Vikonavshi zaminu t 1 x 2 displaystyle t frac 1 x 2 otrimayemo G 2 z G 2 z 1 2 2 z 1 1 1 1 x 2 z 1 d x displaystyle frac Gamma 2 z Gamma 2z frac 1 2 2z 1 int 1 1 left 1 x 2 right z 1 dx Funkciya 1 x 2 z 1 displaystyle left 1 x 2 right z 1 ye parnoyu oskilki 2 2 z 1 G 2 z 2 G 2 z 0 1 1 x 2 z 1 d x displaystyle 2 2z 1 Gamma 2 z 2 Gamma 2z int 0 1 left 1 x 2 right z 1 dx Teper pripustimo B 1 2 z 0 1 t 1 2 1 1 t z 1 d t t s 2 displaystyle mathrm B left frac 1 2 z right int 0 1 t frac 1 2 1 1 t z 1 dt quad t s 2 Todi B 1 2 z 2 0 1 1 s 2 z 1 d s 2 0 1 1 x 2 z 1 d x displaystyle mathrm B left frac 1 2 z right 2 int 0 1 left 1 s 2 right z 1 ds 2 int 0 1 left 1 x 2 right z 1 dx Zvidsi viplivaye 2 2 z 1 G 2 z G 2 z B 1 2 z displaystyle 2 2z 1 Gamma 2 z Gamma 2z mathrm B left frac 1 2 z right Oskilki B 1 2 z G 1 2 G z G z 1 2 G 1 2 p displaystyle mathrm B left frac 1 2 z right frac Gamma left frac 1 2 right Gamma z Gamma left z frac 1 2 right quad Gamma left frac 1 2 right sqrt pi zvidsi otrimayemo formulu podvoyennya Lagranzha G z G z 1 2 2 1 2 z p G 2 z displaystyle Gamma z Gamma left z frac 1 2 right 2 1 2z sqrt pi Gamma 2z Formula podvoyennya ye osoblivim vipadkom en div Eq 5 5 6 k 0 m 1 G z k m 2 p m 1 2 m 1 2 m z G m z displaystyle prod k 0 m 1 Gamma left z frac k m right 2 pi frac m 1 2 m frac 1 2 mz Gamma mz Prostoyu ale korisnoyu vlastivistyu yaka viplivaye iz viznachennya granici ce G z G z G z G z R displaystyle overline Gamma z Gamma overline z Rightarrow Gamma z Gamma overline z in mathbb R Zokrema pri z a bi cej dobutok dorivnyuye G a b i 2 G a 2 k 0 1 1 b 2 a k 2 G b i 2 p b sinh p b G 1 2 b i 2 p cosh p b displaystyle begin aligned Gamma a bi 2 amp Gamma a 2 prod k 0 infty frac 1 1 frac b 2 a k 2 4pt Gamma bi 2 amp frac pi b sinh pi b 6pt Gamma left tfrac 1 2 bi right 2 amp frac pi cosh pi b end aligned Odnim iz samih vidomih znachen gamma funkciyi dlya necilogo argumenta ye G 1 2 p displaystyle Gamma left tfrac 1 2 right sqrt pi yake otrimuyut yaksho zadati z 1 2 u formulah vidobrazhennya abo podvoyennya vikoristavshi rivnyannya dlya beta funkciyi iz x y 1 2 abo vikonavshi zaminu u x u viznachenni integralu gamma funkciyi iz chogo v rezultati otrimayut Gausiv integral U zagalnomu vipadku dlya nevid yemnih cilih chisel n mayemo G 1 2 n 2 n 4 n n p 2 n 1 2 n p n 1 2 n n p G 1 2 n 4 n n 2 n p 2 n 2 n 1 p p 1 2 n n displaystyle begin aligned Gamma left tfrac 1 2 n right amp 2n over 4 n n sqrt pi frac 2n 1 2 n sqrt pi n frac 1 2 choose n n sqrt pi 8pt Gamma left tfrac 1 2 n right amp 4 n n over 2n sqrt pi frac 2 n 2n 1 sqrt pi frac sqrt pi frac 1 2 choose n n end aligned de n poznachaye podvijnij faktorial vid n Koli n 0 n 1 Mozhe zdavatisya sho poglyanuvshi na formulu rezultat G 1 2 p mozhna uzagalniti dlya inshih okremih znachen G r de r ye racionalnim chislom Odnak ci chisla ne mozhna viraziti cherez samih sebe v ramkah elementarnih funkcij Bulo dovedeno sho G n r ye transcendentnim chislom i algebrayichno nezalezhnim vid p dlya bud yakogo cilogo n i bud yakogo drobu iz r 1 6 1 4 1 3 2 3 3 4 5 6 U zagalnomu vipadku dlya rozrahunku znachen gamma funkciyi neobhidno zastosovuvati chislovu aproksimaciyu Inshoyu korisnoyu graniceyu dlya asimptotichnogo nablizhennya ye lim n G n a G n n a 1 a C displaystyle lim n to infty frac Gamma n alpha Gamma n n alpha 1 qquad alpha in mathbb C Pohidni gamma funkciyi mozhna opisati za dopomogoyu poligamma funkciyi Napriklad G z G z ps 0 z displaystyle Gamma z Gamma z psi 0 z Dlya dodatnogo cilogo chisla m pohidnu gamma funkciyi mozhna rozrahuvati nastupnim chinom tut g ce Stala Ejlera Maskeroni G m 1 m g k 1 m 1 k displaystyle Gamma m 1 m left gamma sum k 1 m frac 1 k right Dlya Re x gt 0 n a pohidna gamma funkciyi dorivnyuye Pohidna funkciyi G z d n d x n G x 0 t x 1 e t ln t n d t displaystyle frac d n dx n Gamma x int 0 infty t x 1 e t ln t n dt Ce mozhna otrimati za dopomogoyu diferenciyuvannya integralu dlya gamma funkciyi po zminnij x i vikoristavshi integralne pravilo Lejbnica Vikoristavshi rivnyannya G n 1 1 n n p n i 1 r z a i k i a i z x z x x 1 g x 1 displaystyle Gamma n 1 1 n n sum limits pi vdash n prod i 1 r frac zeta a i k i cdot a i qquad zeta x begin cases zeta x amp x neq 1 gamma amp x 1 end cases de z z dzeta funkciya Rimana iz rozbittyam p a 1 a 1 k 1 a r a r k r displaystyle pi underbrace a 1 dots a 1 k 1 dots underbrace a r dots a r k r zokrema mayemo G z 1 z g 1 2 g 2 p 2 6 z 1 6 g 3 g p 2 2 2 z 3 z 2 O z 3 displaystyle Gamma z frac 1 z gamma tfrac 1 2 left gamma 2 frac pi 2 6 right z tfrac 1 6 left gamma 3 frac gamma pi 2 2 2 zeta 3 right z 2 O z 3 Nerivnosti Yaksho obmezhitisya dodatnimi cilimi chislami gamma funkciya ye suvoro logarifmichno opukloyu funkciyeyu Cyu vlastivist mozhna viznachiti za dopomogoyu troh navedenih ekvivalentnih nerivnostej Dlya bud yakih dvoh dodatnih dijsnih chisel x1 i x2 i dlya bud yakogo t 0 1 G t x 1 1 t x 2 G x 1 t G x 2 1 t displaystyle Gamma tx 1 1 t x 2 leq Gamma x 1 t Gamma x 2 1 t Krim togo cya nerivnist bude tochnoyu dlya t 0 1 Dlya bud yakih dvoh dodatnih dijsnih chisel x i y pri y gt x G y G x 1 y x gt exp G x G x displaystyle left frac Gamma y Gamma x right frac 1 y x gt exp left frac Gamma x Gamma x right Dlya bud yakogo dodatnogo dijsnogo chisla x G x G x gt G x displaystyle Gamma x Gamma x gt Gamma x Ostanni dva tverdzhennya viplivayut iz viznachennya tak samo yak i tverdzhennya sho ps 1 x gt 0 displaystyle psi 1 x gt 0 de ps 1 displaystyle psi 1 ce poligamma funkciya poryadku 1 Abi dovesti logarifmichnu opuklist gamma funkciyi dostatno sposterigati sho ps 1 displaystyle psi 1 maye ryad predstavlen dlya yakih pri dodatnomu dijsnomu x vona skladayetsya lishe iz dodatnih termiv Logarifmichna opuklist i nerivnist Yensena razom oznachayut sho dlya bud yakih dodatnih dijsnih chisel x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n and a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n G a 1 x 1 a n x n a 1 a n G x 1 a 1 G x n a n 1 a 1 a n displaystyle Gamma left frac a 1 x 1 cdots a n x n a 1 cdots a n right leq bigl Gamma x 1 a 1 cdots Gamma x n a n bigr frac 1 a 1 cdots a n Isnuyut takozh obmezhennya vidnoshennya gamma funkcij Najvidomishim ye en yaka stverdzhuye sho dlya bud yakogo dodatnogo cilogo chisla x i bud yakogos 0 1 x 1 s lt G x 1 G x s lt x 1 1 s displaystyle x 1 s lt frac Gamma x 1 Gamma x s lt x 1 1 s Formula Stirlinga Predstavlennya gamma funkciyi u kompleksnij ploshini Kozhna tochka z displaystyle z zabarvlena vidpovidno do znachennya argumenta G z displaystyle Gamma z Takozh pokazano konturnij grafik dlya modulya G z displaystyle Gamma z 3 vimirnij grafik absolyutnih znachen kompleksnoyi gamma funkciyi Povedinka funkciyi G z displaystyle Gamma z dlya zrostayuchih cilih znachen zminnoyi ye prostoyu vona zrostaye dosit shvidko shvidshe za pokaznikovu funkciyu Asimptotichno pri z displaystyle z to infty velichina gamma funkciyi zadayetsya za dopomogoyu formuli Stirlinga G z 1 2 p z z e z displaystyle Gamma z 1 sim sqrt 2 pi z left frac z e right z de simvol displaystyle sim zadaye vidnoshennya z yakim obidvi storoni zbigayutsya do 1 abo asimptotichno shodyatsya NablizhennyaPorivnyannya gamma funkcih sinya liniya iz faktorialom sini tochki i nablizhennya Stirlinga chervona liniya Kompleksni znachennya gamma funkciyi mozhna obchisliti chiselnim sposobom iz dovilnoyu tochnistyu vikoristovuyuchi formulu Stirlinga abo en Gamma funkciyu mozhna obrahuvati iz staloyu tochnistyu dlya Re z 1 2 zastosuvavshi do integrala Ejlera metod integruvannya chastinami Dlya bud yakogo dodatnogo chisla x gamma funkciyu mozhna zapisati yak G z 0 x e t t z d t t x e t t z d t t x z e x n 0 x n z z 1 z n x e t t z d t t displaystyle begin aligned Gamma z amp int 0 x e t t z frac dt t int x infty e t t z frac dt t amp x z e x sum n 0 infty frac x n z z 1 cdots z n int x infty e t t z frac dt t end aligned Koli Re z 1 2 i x 1 absolyutne znachennya ostannogo integralu ye menshim za x 1 e x Yaksho vibrati dostatno velike x cej viraz mozhe buti menshim za 2 N dlya bud yakogo bazhanogo znachennya N Tozh za dopomogoyu vishevkazanogo ryadu gamma funkciyu mozhna obrahuvati do N bitiv tochnosti Shvidkij algoritm dlya rozrahunku Ejlerovoyi gamma funkciyi dlya bud yakogo algebrayichnogo argumentu v tomu chisli racionalnogo E A Karacuba Dlya argumentiv yaki ye cilimi kratnimi dlya 1 24 gamma funkciyu takozh mozhna shvidko rozrahuvati vikoristavshi iteraciyi dlya serednogo arifmetiko geometrichnogo Zastosuvannya dlya formuli StirlingaNastupnij rozklad v ryad gamma funkciyi dlya velikih cilih x displaystyle x daye asimptotichnij viraz dlya formuli Stirlinga sho vikoristovuyetsya dlya obchislennya faktorialu cilogo chisla G n 1 n 2 p n n e n 1 1 12 n 1 288 n 2 139 51840 n 3 571 2488320 n 4 O n 5 displaystyle Gamma n 1 n sqrt 2 pi n left frac n e right n left 1 frac 1 12n frac 1 288n 2 frac 139 51840n 3 frac 571 2488320n 4 O left n 5 right right IstoriyaPoznachennya gama funkciyi vviv u obig Lezhandr Div takozhPoligamma funkciya Beta funkciya Nevlasnij integral Integral Rimana Integralne chislennya Bor Molerupova teorema Nepovna gamma funkciya Suma GaussaDzherelaPidkujko Sergij 2004 Matematichnij analiz T 1 Mnozhini Dijsni chisla Granicya poslidovnosti Granicya funkciyi Neperervnist funkciyi Diferencialne chislennya funkcij odniyeyi zminnoyi Lviv Galicka vidavnicha spilka s 530 ISBN 966 7893 26 H a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite book title Shablon Cite book cite book a Perevirte znachennya isbn nedijsnij simvol dovidka Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr PrimitkiDavis P J 1959 American Mathematical Monthly 66 10 849 869 doi 10 2307 2309786 Arhiv originalu za 7 listopada 2012 Procitovano 3 grudnya 2016 A M Nahushev Uravneniya matematicheskoj biologii Waldschmidt M 2006 PDF Pure Appl Math Quart 2 2 435 463 doi 10 4310 pamq 2006 v2 n2 a3 Arhiv originalu PDF za 17 kvitnya 2012 Procitovano 10 bereznya 2019 E A Karatsuba Fast evaluation of transcendental functions Probl Inf Transm Vol 27 No 4 pp 339 360 1991 E A Karatsuba On a new method for fast evaluation of transcendental functions Russ Math Surv Vol 46 No 2 pp 246 247 1991 E A Karatsuba Fast Algorithms and the FEE Method 2 kvitnya 2021 u Wayback Machine Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi