Середнє арифметико-геометричне — це спільна границя двох послідовностей, середньої арифметичної та середньої геометричної двох заданих чисел a та b.
Доведення
Нехай нам задано два додатних числа a та b, причому (). Утворимо їх середнє арифметичне та середнє геометричне.
Відомо, що перше середнє більше за друге:
В той же час, вони містяться між заданими числами:
Якщо числа та вже визначені, то та визначаються за формулами:
і, як і вище,
Таким чином складаються дві варіанти та , перша з яких є спадною, а інша зростаючою (на зустріч одна одній). В той же час
Так що обидві варіанти обмежені, і відповідно, обидві прямують до кінцевих границь.
Якщо в рівнянні
перейти до границь, то отримаємо
звідкіля
Таким чином, обидві послідовності прямують до спільної границі
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Serednye arifmetiko geometrichne ce spilna granicya dvoh poslidovnostej serednoyi arifmetichnoyi ta serednoyi geometrichnoyi dvoh zadanih chisel a ta b DovedennyaNehaj nam zadano dva dodatnih chisla a ta b prichomu a gt b displaystyle a gt b Utvorimo yih serednye arifmetichne ta serednye geometrichne a1 a b2 b1 ab displaystyle a 1 tfrac a b 2 qquad b 1 sqrt ab Vidomo sho pershe serednye bilshe za druge a b2 ab 12 a 2ab b a b 22 gt 0 displaystyle tfrac a b 2 sqrt ab tfrac 1 2 a 2 sqrt ab b tfrac sqrt a sqrt b 2 2 gt 0 V toj zhe chas voni mistyatsya mizh zadanimi chislami a gt a1 gt b1 gt b displaystyle a gt a 1 gt b 1 gt b Yaksho chisla an displaystyle a n ta bn displaystyle b n vzhe viznacheni to an 1 displaystyle a n 1 ta bn 1 displaystyle b n 1 viznachayutsya za formulami an 1 an bn2 bn 1 anbn displaystyle a n 1 tfrac a n b n 2 qquad b n 1 sqrt a n b n i yak i vishe an gt an 1 gt bn 1 gt bn displaystyle a n gt a n 1 gt b n 1 gt b n Takim chinom skladayutsya dvi varianti an displaystyle a n ta bn displaystyle b n persha z yakih ye spadnoyu a insha zrostayuchoyu na zustrich odna odnij V toj zhe chas a gt an gt bn gt b displaystyle a gt a n gt b n gt b Tak sho obidvi varianti obmezheni i vidpovidno obidvi pryamuyut do kincevih granic a liman b limbn displaystyle alpha lim a n qquad beta lim b n Yaksho v rivnyanni an 1 an bn2 displaystyle a n 1 tfrac a n b n 2 perejti do granic to otrimayemo a a b2 displaystyle alpha tfrac alpha beta 2 zvidkilya a b displaystyle alpha beta Takim chinom obidvi poslidovnosti pryamuyut do spilnoyi granici m a b displaystyle mu a b LiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi