У математиці під сумою Гаусса розуміють певний вид скінченних сум коренів з одиниці, як правило, записаних у вигляді
Тут сума береться за всіма елементами r деякого скінченного комутативного кільця R, ψ(r) — гомоморфізм адитивної групи R+ в одиничне коло, χ(r) — гомоморфізм групи одиниць R× в одиничне коло, розширене елементом 0. Суми Гаусса є аналогом гама-функцій для випадку скінченних полів.
Ці суми часто зустрічаються в теорії чисел, зокрема, у функціональних рівняннях L-функцій Діріхле.
Карл Фрідріх Гаусс використовував властивості сум для розв'язування деяких задач теорії чисел, зокрема він застосував їх в одному з доведень квадратичного закону взаємності. Спочатку під сумами Гаусса мали на увазі , для яких R — поле лишків за модулем p, а χ - символ Лежандра. Для цього випадку Гаусс показав, що G(χ) = p1/2 або ip1/2 коли p порівнянне з 1 або 3 за модулем 4 відповідно.
Альтернативна форма запису суми Гаусса:
Загальну теорію сум Гаусса розроблено на початку XIX століття з використанням та їх розкладів на прості у кругових полях.
Значення сум Гаусса для теорії чисел виявлено лише в 1920-х роках. У цей час Герман Вейль застосував для дослідження рівномірних розподілів загальніші тригонометричні суми, згодом названі сумами Вейля. Тоді ж І. М. Виноградов використав суми Гаусса для отримання оцінки зверху найменшого квадратичного нелишку за модулем р. Суми Гаусса дозволяють установити зв'язок між двома важливими об'єктами теорії чисел: мультиплікативними та адитивними характерами. Квадратичні суми Гаусса тісно пов'язані з теорією θ-функцій.
Абсолютне значення сум Гаусса зазвичай знаходять за допомогою теореми Планшереля для скінченних груп. У випадку, коли R — поле з p елементів і χ нетривіальний, абсолютне значення дорівнює p1/2. Обчислення точного значення загальних сум Гаусса є непростою задачею.
Властивості сум Гаусса для характеру Діріхле
Сума Гаусса для характеру Діріхле за модулем N
Якщо χ — , то
і, зокрема, не дорівнює нулю. Загальніше, якщо N0 — (кондуктор) характеру χ і χ 0 — примітивний характер Диріхле за модулем N0, що індукує χ, то
де μ — функція Мебіуса.
З цього випливає, що G(χ) не дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли N/N 0 вільне від квадратів і взаємно просте з N0.
Виконується також співвідношення
де χ — комплексне спряження характеру Діріхле.
Якщо χ′ — характер Діріхле за модулем N′, такий що N та N′ взаємно прості, то
Див. також
- [en]
- [en]
Література
- [en]; Evans, R. J.; Williams, K. S. Gauss and Jacobi Sums. — Wiley, 1998. — (Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts) — .
- Ireland, Kenneth; Rosen, Michael. A Classical Introduction to Modern Number Theory. — 2nd. — , 1990. — Т. 84. — () — .
- Section 3.4 of Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004), Analytic number theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, т. 53, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN , MR 2061214, Zbl 1059.11001
- Artin E.,Tate J., Class field theory, N. Y.-Amst., 1967
- Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, М., 1956 (рос.)
- Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971 (рос.)
- Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971 (рос.)
- Прахар К. Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967 (рос.)
- Хассе Г. Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953 (рос.)
Кондуктор характеру
- Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969 (рос.)
- Серр Ж.-П. Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые, пер. с англ., М., 1973 (рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici pid sumoyu Gaussa rozumiyut pevnij vid skinchennih sum koreniv z odinici yak pravilo zapisanih u viglyadi G x G x ps x r ps r displaystyle G chi G chi psi sum chi r cdot psi r Tut suma beretsya za vsima elementami r deyakogo skinchennogo komutativnogo kilcya R ps r gomomorfizm aditivnoyi grupi R v odinichne kolo x r gomomorfizm grupi odinic R v odinichne kolo rozshirene elementom 0 Sumi Gaussa ye analogom gama funkcij dlya vipadku skinchennih poliv Ci sumi chasto zustrichayutsya v teoriyi chisel zokrema u funkcionalnih rivnyannyah L funkcij Dirihle Karl Fridrih Gauss vikoristovuvav vlastivosti sum dlya rozv yazuvannya deyakih zadach teoriyi chisel zokrema vin zastosuvav yih v odnomu z doveden kvadratichnogo zakonu vzayemnosti Spochatku pid sumami Gaussa mali na uvazi dlya yakih R pole lishkiv za modulem p a x simvol Lezhandra Dlya cogo vipadku Gauss pokazav sho G x p1 2 abo ip1 2 koli p porivnyanne z 1 abo 3 za modulem 4 vidpovidno Alternativna forma zapisu sumi Gaussa e 2 p i r 2 p displaystyle sum e frac 2 pi ir 2 p Zagalnu teoriyu sum Gaussa rozrobleno na pochatku XIX stolittya z vikoristannyam ta yih rozkladiv na prosti u krugovih polyah Znachennya sum Gaussa dlya teoriyi chisel viyavleno lishe v 1920 h rokah U cej chas German Vejl zastosuvav dlya doslidzhennya rivnomirnih rozpodiliv zagalnishi trigonometrichni sumi zgodom nazvani sumami Vejlya Todi zh I M Vinogradov vikoristav sumi Gaussa dlya otrimannya ocinki zverhu najmenshogo kvadratichnogo nelishku za modulem r Sumi Gaussa dozvolyayut ustanoviti zv yazok mizh dvoma vazhlivimi ob yektami teoriyi chisel multiplikativnimi ta aditivnimi harakterami Kvadratichni sumi Gaussa tisno pov yazani z teoriyeyu 8 funkcij Absolyutne znachennya sum Gaussa zazvichaj znahodyat za dopomogoyu teoremi Plansherelya dlya skinchennih grup U vipadku koli R pole z p elementiv i x netrivialnij absolyutne znachennya dorivnyuye p1 2 Obchislennya tochnogo znachennya zagalnih sum Gaussa ye neprostoyu zadacheyu Vlastivosti sum Gaussa dlya harakteru DirihleSuma Gaussa dlya harakteru Dirihle za modulem N G x a 1 N x a e 2 p i a N displaystyle G chi sum a 1 N chi a e 2 pi ia N Yaksho x to G x N displaystyle G chi sqrt N i zokrema ne dorivnyuye nulyu Zagalnishe yaksho N0 konduktor harakteru x i x 0 primitivnij harakter Dirihle za modulem N0 sho indukuye x to G x m N N 0 x 0 N N 0 G x 0 displaystyle G chi mu N N 0 chi 0 N N 0 G chi 0 de m funkciya Mebiusa Z cogo viplivaye sho G x ne dorivnyuye nulyu todi j lishe todi koli N N 0 vilne vid kvadrativ i vzayemno proste z N0 Vikonuyetsya takozh spivvidnoshennya G x x 1 G x displaystyle G overline chi chi 1 overline G chi de x kompleksne spryazhennya harakteru Dirihle Yaksho x harakter Dirihle za modulem N takij sho N ta N vzayemno prosti to G x x x N x N G x G x displaystyle G chi chi prime chi N prime chi prime N G chi G chi prime Div takozh en en Literatura en Evans R J Williams K S Gauss and Jacobi Sums Wiley 1998 Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts ISBN 0 471 12807 4 Ireland Kenneth Rosen Michael A Classical Introduction to Modern Number Theory 2nd Springer Verlag 1990 T 84 ISBN 0 387 97329 X Section 3 4 of Iwaniec Henryk Kowalski Emmanuel 2004 Analytic number theory American Mathematical Society Colloquium Publications t 53 Providence RI American Mathematical Society ISBN 978 0 8218 3633 0 MR 2061214 Zbl 1059 11001 Artin E Tate J Class field theory N Y Amst 1967 Karl Fridrih Gauss Sb statej M 1956 ros Vinogradov I M Metod trigonometricheskih summ v teorii chisel M 1971 ros Devenport G Multiplikativnaya teoriya chisel per s angl M 1971 ros Prahar K Raspredelenie prostyh chisel per s nem M 1967 ros Hasse G Lekcii po teorii chisel per s nem M 1953 ros Konduktor harakteru Algebraicheskaya teoriya chisel per s angl M 1969 ros Serr Zh P Abelevy l adicheskie predstavleniya i ellipticheskie krivye per s angl M 1973 ros