Кругове поле

Кругове поле (поле поділу кола) — поле ${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n}),}$ що одержується приєднанням до поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ раціональних чисел первісного кореня ${\displaystyle \zeta _{n}}$ з одиниці степеня n, де n — деяке натуральне число. Іноді (локальним) круговим полем називають також поле виду ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(\zeta _{n})}$, де ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ — поле раціональних р-адичних чисел. Оскільки ${\displaystyle K_{n}=K_{2n}}$ при непарному n, звичайно вважається, що ${\displaystyle n\neq 2{\pmod {4}}}$.

Тоді різним n відповідають неізоморфні поля ${\displaystyle K_{n}}$.

Кругові поля влаштовані «достатньо просто» і тому дають зручний експериментальний матеріал для створення загальних понять теорії чисел. Наприклад, поняття цілого алгебраїчного числа виникли спочатку при розгляді кругових полів.

Властивості

• Кругове поле є полем розкладу многочлена ${\displaystyle X^{n}-1.\,}$
• Кругові поля природно виникають в задачі про поділ кола — поділ кола на n рівних частин еквівалентний побудові на комплексній площині первісного кореня ${\displaystyle \zeta _{n}}$.
• Місце кругових полів серед всіх полів алгебраїчних чисел визначає теорема Кронекера — Вебера, що стверджує, що скінченне розширення K/Q є абелевим тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle K\subset K_{n}}$ для деякого n. Аналогічне твердження виконується і для локальних кругових полів.
• Поле ${\displaystyle K_{n}}$ є абелевим розширенням поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ з групою Галуа

${\displaystyle G(K_{n}/\mathbb {Q} )\simeq (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},}$

де ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$ — мультиплікативна група кільця лишків по модулю n.

• Степінь ${\displaystyle [K_{n}:\mathbb {Q} ]}$ розширення рівний φ(n), де φ(n) — функція Ейлера.
• Поле ${\displaystyle K_{n}}$ є цілком уявним і має степінь 2 над своїм максимальним цілком дійсним підполем ${\displaystyle K_{n}^{+}=\mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}).}$
• Числа ${\displaystyle 1,\zeta _{n},\ldots ,\zeta _{n}^{\varphi (n)-1}}$ утворюють цілочисельний базис поля ${\displaystyle K_{n}}$.
• Дискримінант поля ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ рівний: ${\displaystyle (-1)^{\phi (n)/2}{\frac {n^{\phi (n)}}{\prod _{p\mid n}p^{\phi (n)/(p-1)}}}.}$

Див. також

• Корінь з одиниці
• Многочлен поділу кола

Література

• Круговое поле. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1982
• Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
• Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982.
• Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990.