Многочлен поділу кола

Многочлен поділу кола — многочлен, що має вигляд:

${\displaystyle \Phi _{n}(X)=\prod _{\omega }(X-\omega )\,}$

де ${\displaystyle \omega }$ — первісні корені степеня n з одиниці і добуток береться за всіма такими коренями. Степінь многочлена ${\displaystyle \Phi _{n}(X)}$ — кількість натуральних чисел, менших, ніж n, і взаємно простих з n.

Властивості

Многочлени поділу кола задовольняють співвідношенню:

${\displaystyle \prod _{d\mid n}\Phi _{d}(X)=X^{n}-1}$

де добуток береться за всіма додатними дільниками d числа n, включно зі самим n. Це співвідношення дозволяє рекурсивно обчислювати многочлени ${\displaystyle \Phi _{n}(X)}$ шляхом ділення многочлена ${\displaystyle X^{n}-1}$ на добуток усіх ${\displaystyle \Phi _{n}(X),\,d<n,\,d\mid n}$:

${\displaystyle \Phi _{n}(X)={\frac {X^{n}-1}{\prod _{d|n}\Phi _{d}(X)}}}$

При цьому коефіцієнти многочлена належать початковому полю P, а у випадку поля раціональних чисел — коефіцієнти є цілими числами.

Якщо n=p^m — степінь простого числа і характеристика поля P рівна нулю то:

${\displaystyle \Phi _{n}(X)=\sum _{0\leq k\leq p-1}X^{kp^{m-1}}.}$

Зокрема для m = 1:

${\displaystyle \Phi _{p}(X)=1+X+X^{2}+\cdots +X^{p-1}.}$

Для многочлена ${\displaystyle \Phi _{n}(X)}$ можна подати явну формулу через функцію Мебіуса μ:

${\displaystyle \prod _{d\mid n}(X^{d}-1)^{\mu (n/d)}=\Phi _{n}(X)}$

Наприклад:

${\displaystyle \Phi _{12}(X)=(X^{1}2-1)(X^{6}-1)^{-1}(X^{4}-1)^{-1}(X^{3}-1)^{0}(X^{3}-1)(X^{1}-1)^{0}=X^{4}-X^{2}+1}$

Над полем раціональних чисел усі многочлени ${\displaystyle \Phi _{n}(X)}$ є незвідними, але над скінченними полями ці многочлени можуть розкладатися на множники. Так, над полем лишків за модулем 11 виконується рівність: ${\displaystyle \Phi _{12}(X)=X^{4}-X^{2}+1=(X^{2}+5X^{1}+1)(X^{2}-5X+1).}$

Рівняння поділу кола

Рівняння ${\displaystyle \Phi _{n}(X)=0}$, що дає всі первісні корені степеня n з одиниці, називаються рівнянням поділу кола. У випадку числових полів розв'язок цього рівняння в тригонометричній формі має вигляд:

${\displaystyle \xi _{n}^{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}}$

де дріб ${\displaystyle {\frac {k}{n}}}$ нескоротний, тобто k і n — взаємно прості. Розв'язування в радикалах рівняння поділу кола тісно пов'язане із задачею побудови правильного n-кутника або з еквівалентною їй задачею поділу кола на n рівних частин, а саме, задача поділу кола на n частин розв'язується за допомогою циркуля та лінійки тоді і тільки тоді, коли рівняння ${\displaystyle \Phi _{n}(X)=0}$ розв'язується в квадратних радикалах.

Приклади

${\displaystyle \Phi _{1}(X)=X-1}$

${\displaystyle \Phi _{2}(X)=X+1}$

${\displaystyle \Phi _{3}(X)=X^{2}+X+1}$

${\displaystyle \Phi _{6}(X)=X^{2}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{9}(X)=X^{6}+X^{3}+1}$

${\displaystyle \Phi _{15}(X)=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1}$

Примітки

1. Для доведення див. Е. Артін, Теорія Галуа с. 64-66

Джерела

• Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)