Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. |
Побудова за допомогою циркуля та лінійки або класична побудова, це побудова довжин, кутів, та інших геометричних фігур з використанням лише ідеалізованої лінійки та циркуля.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemc1TDFKbFozVnNZWEpmU0dWNFlXZHZibDlKYm5OamNtbGlaV1JmYVc1ZllWOURhWEpqYkdVdVoybG1Mekl5TUhCNExWSmxaM1ZzWVhKZlNHVjRZV2R2Ymw5SmJuTmpjbWxpWldSZmFXNWZZVjlEYVhKamJHVXVaMmxtLmdpZg==.gif)
Ідеалізована лінійка, відома як [en], вважається нескінченною, не має міток і має лише один край. Вважається, що циркуль відривається від креслення, тому не може бути безпосередньо використаний для перенесення відстаней. Це несуттєве обмеження, оскільки використовуючи процедуру з великою кількістю кроків, відстань може бути знайдена навіть за умови, що циркуль піднімають над кресленням; див. [en]. Формально кажучи, єдиними дозволеними конструкціями є такі, що надані трьома першими евклідовими (постулатами).
Відомо, що будь-яка побудова з використанням лінійки та циркуля може бути виконана лише циркулем.
Математики стародавньої Греції вперше запровадили побудови за допомогою циркуля та лінійки, та ряд проблем у геометрії Евкліда накладають це обмеження. Стародавні греки розвинули багато побудов, хоча у деяких випадках не мали на це змоги. Гаус продемонстрував, що деякі многокутники можна побудувати, але не всі. Принципова неможливість побудови, щодо деяких найвідоміших проблем, були доведені П'єром Ванцелем в 1837 році, за допомогою математичної теорії полів.
Не зважаючи на наявні докази неможливості побудови, знаходяться люди, що завзято намагаються вирішити ці питання. Більшість з цих питань легко вирішити за умови, що інші геометричні перетворення допускаються: наприклад, подвоєння куба можна зробити за допомогою геометричних побудов, але це не можливо, якщо використовувати лише лінійку і циркуль.
З точки зору алгебри, довжина може бути побудована тоді й лише тоді, коли є числом, що можна побудувати, та кут можна побудувати лише за умови того, що його косинус — це число, яке можна побудувати. Число може бути побудоване тоді й лише тоді, якщо його можна записати з використанням чотирьох базових арифметичних операції та лише квадратного кореня, але не кореня іншого степеня.
Циркуль та лінійка
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkUzTDBONWNtdHBaV3hmVWtJeExtcHdaeTh4TVRCd2VDMURlWEpyYVdWc1gxSkNNUzVxY0djPS5qcGc=.jpg)
«Циркуль» та «лінійка», які використовуються для побудови — це ідеалізація реальних лінійки та циркуля. Тому припускається, що:
- Циркуль може бути розгорнутим на довільну ширину, але (на відміну від деяких існуючих циркулів) на ньому нема розмітки. Кола можуть бути накреслені лише за двома заданими точками: центром та точкою на колі. Циркуль може (не обов'язково) зникати, коли він не малює коло.
- Лінійка нескінченно довга, але не має відміток, бо у неї є лише прямий край, на відміну від звичайних лінійок. Вона може бути використана лише для креслення відрізків між двома точками або для подовження наявних відрізків.
Сучасні циркулі зазвичай не збиваються, і деякі сучасні побудови використовують цю особливість. Здавалося б, що сучасний циркуль — це «більш потужний» інструмент аніж стародавні циркулі, що збиваються. Однак, за 2 Теоремою з 1 Книги Початків Евкліда, ефективність при використанні циркуля, що збивається, не втрачається. Хоча теорема правдива, її докази мають довгу, та мінливу історію.
Кожна побудова повинна бути точною. Наближене рішення (або використання деяких інструментів виміру, таких як поділки на лінійці) не враховується за розв'язок.
Кожна побудова має мати завершення. Тобто вона повинна складатись зі скінченної кількості кроків, і не може бути межею послідовних наближень.
Побудови за допомогою циркуля та лінійки скоріше виникли як [en], а не справжня, практична задача; але метою наведених обмежень є гарантія того, що така побудова може бути виконана цілковито правильно, і це важливо як для виконання креслень (при проектуванні у програмах САПР та традиційних креслень олівцем, циркулем та лінійкою на папері) так і науці мір та вагів, у яких точна передача з об'єктів або матеріалів дуже важлива. Однією з головних цілей грецької математики було знаходження точної побудови для різних довжин; наприклад, знаходження сторони п'ятикутника вписаного у коло. Також, серед побудов, які греки не могли віднайти побудову, найбільш відомі наступні три випадки:
- Квадратура круга: Креслення квадрата з тією ж площею, що і дане коло.
- Подвоєння куба: Креслення куба з об'ємом, який буде вдвічі більший за об'єм даного куба.
- Трисекція кута: Поділ даного кута на три менші кути однакової градусної міри.
Протягом 2000 років люди намагались віднайти побудову за наведених умов, але їх зусилля не принесли потрібного результату. Наразі доведена неможливість розв'язання цих трьох проблем за математичними правилами (кути з деякими градусними мірами можуть бути поділені на три рівні частині, але не будь-який довільний кут).
Історія
Математики стародавньої Греції вперше використали побудову за допомогою лінійки та циркуля, та відкрили як будувати суму, різницю, добуток, відношення та квадратний корінь даних довжин. Також вони могли конструювати (половину даного кута), квадрат чиєї площі вдвічі більший за інший квадрат, квадрат, що має площу таку ж як даний багатокутник, та правильний багатокутник із трьома, чотирма або п'ятьма сторонами (або такий, що має удвічі більше сторін ніж даний багатокутник ). Але вони не могли побудувати третину кута, за виключенням окремих випадків, або квадрат із такою ж площею, що і дане коло, або правильний багатокутник з іншою кількістю сторін. Не могли вони, також, побудувати грань куба, чий об'єм був удвічі більший за об'єм куба з даною гранню.
Гіппократ та Менехм показали, що поверхня куба може бути подвоєна шляхом знаходження перетинів гіпербол та парабол, але вони не можуть бути побудовані циркулем та лінійкою. У п'ятому столітті до нашої ери, Гіппократ використовував криву що він називав квадратриса як для розділення на три загального кута та квадратури круга, а Нікомед у другому столітті до нашої ери показав, як використовувати конхоїду для поділу довільного кута на три; але ці методи також не можуть бути використані лише з циркулем та лінійкою.
Не було ніякого прогресу у вирішенні цих питань протягом двох тисячоліть, аж до 1796 року, поки Гаус показав, як побудувати правильний багатокутник з 17 сторонами; через п'ять років він навів достатні умови побудови правильного багатокутника з n сторонами.
У 1837 П'єр Ванцель опублікував доказ неможливості поділу на три частини довільного кута або подвоєння об'єму куба, Це доведення засноване на неможливості побудови кубічних коренів від довжин. Ще він показав, що достатні умови Гауса для побудови правильних багатокутників також є і необхідними.
Потім у 1882 році Ліндеманн показав, що це трансцендентне число, а отже не можливо побудувати за допомогою лінійки та циркуля квадрат із такою ж площею, що і дане коло.
Базові побудови
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemhsTDBKaGMybGpMV052Ym5OMGNuVmpkR2x2Ymkxa1pXMXZMbkJ1Wnk4ME1EQndlQzFDWVhOcFl5MWpiMjV6ZEhKMVkzUnBiMjR0WkdWdGJ5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Усі побудови за допомогою лінійки та циркуля складаються з повторюваних додавань п'яти базових конструкцій, що використовують точки, лінії та кола, які вже були побудовані раніше. А саме:
- Побудова прямої, що проходить через дві задані точки
- Побудова кола з заданим центром, що проходить через задану точку
- Побудова точки, що є точкою перетину двох заданих, не паралельних ліній.
- Побудова однієї чи двох точок перетину кола з прямою лінією (якщо вони перетинаються)
- Побудова однієї чи двох точок на перетині двох кіл (якщо вони перетинаються).
Наприклад, для двох заданих різних точок ми можемо побудувати пряму або будь-яке з двох кіл (послідовно, використовуючи кожну точку як центр, а іншу точку, як точку на колі). Якщо накреслити обидва кола, то дві нові точки будуть утворені на перетині кіл. Креслення ліній між двома початковими точками та однією з цих нових точок завершує побудову рівностороннього трикутнику.
Таким чином, у будь-якій геометричній задачі на побудову задано початковий набір символів (точок та ліній), алгоритм дій, та певні результати. З цієї точки зору, геометрія еквівалентна до аксіоматичної алгебри, з точністю до заміни елементів на символи. Ймовірно, Гаус перший зрозумів це, та використав це для доказу неможливості деяких побудов; і лише через значний проміжок часу Гільберт винайшов повну систему геометричних аксіом.
Побудови за допомогою циркуля та лінійки що часто застосовуються
Існують такі побудови за допомогою лінійки та циркуля, що застосовуються найчастіше:
- Побудова (серединного перпендикуляра) для відрізка
- Знаходження середньої точки (див. приклад нижче)
- Креслення прямої, що проходить через задану точку та перпендикулярна заданій прямій
- (Бісекція кута)
- Відбиття точки відносно прямої
- Побудова прямої, що проходить через точку та (дотична до кола)
- Побудова (кола), яке проходить через три не колінеарні точки
Знаходження середини відрізка
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemRsTDBKcGMyVmpkR2x1WjFObFoyMWxiblF1Y0c1bkx6TXdNSEI0TFVKcGMyVmpkR2x1WjFObFoyMWxiblF1Y0c1bi5wbmc=.png)
Для прикладу розглянемо наступну задачу.
Задача. За допомогою циркуля та лінійки поділити даний відрізок AB на дві рівні частини. Один з розв'язків показано на малюнку. Розв'язок складається з наступних кроків:
- Циркулем будуємо коло з центром в точці A радіусу AB.
- Будуємо коло з центром в точці B радіусу AB.
- Знаходимо точки перетину P та Q двох побудованих кіл.
- Лінійкою проводимо відрізок, що об'єднує точки P та Q.
- Знаходимо точку перетину AB та PQ. Це — шукана середина відрізка AB.
Точки і довжини, які можливо побудувати
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlJqTDFSeWFYTmxZM1J6WldkdFpXNTBMbWRwWmk4ME1EQndlQzFVY21selpXTjBjMlZuYldWdWRDNW5hV1k9LmdpZg==.gif)
Формальне доведення
Існують багато різних методів доказу неможливості чого-небудь. Якомога ретельніше доведення потрібне для визначення межі можливого, та щоб показати те, що для вирішення проблеми ми повинні переступити цю межу. Більша частина того, що можливо побудувати визначається теоремою про пропорційні відрізки.
Ми можемо асоціювати алгебру із нашою геометрією використовуючи Декартову систему координат, утворену двома лініями, та представляють точки площині як вектори. Остаточно, ми можемо записати ці вектори як комплексні числа.
Використовуючи рівняння для ліній та кіл, можна показати, що точки їх перетину лежать у [en] найменшого поля F, що містить дві точки на лінії, центр кола та радіус кола. Тобто вони утворюють числа вигляду , де x, y, та k лежать у F.
Оскільки поле точок, що можна побудувати замкнене відносно квадратних коренів, воно містить усі точки, які можна отримати скінченною послідовністю квадратичних розширень поля комплексних точок їх раціональними коефіцієнтами. Згідно з попереднім абзацом, можна показати, що будь-яка точка може бути отримана такою послідовністю розширень. Як наслідок цього, можна сказати, що мінімальний поліном для точки, що доступна до побудови (і через це будь-яка довжина, яку можна побудувати), має степінь 2. Зокрема будь-яка конструктивна точка (або довжина) це алгебраїчне число, однак не кожне алгебраїчне число є конструктивним (так зв'язок між конструктивною довжиною та алгебраїчним числом не є бієктивним); наприклад, алгебраїчне, але не конструктивне число.
Конструктивні кути
Існує бієктивний зв'язок між кутами, які можна побудувати та точками, що конструктивні на будь-якому конструктивному колі. Конструктивні кути утворюють абелеву групу з модулем додавання (що відповідає множенню точок на одиничному колі, як комплексних чисел). Кути, що можна побудувати — це саме ті кути, тангенс яких (або так-само, синус чи косинус) є конструктивним як число. Наприклад, правильний сімнадцятикутник є конструктивним, бо
що віднайшов Гаус.
Група конструктивних кутів замкнена відносно операції ділення кутів навпіл (що відповідає взяттю квадратного кореня з комплексних чисел). Єдиними кутами фінітного порядку що можуть бути побудованими починаючи з двох точок є ті, чий порядок є або степенем двійки, або добутком степені двійки та множини різних чисел Ферма. Слід зауважити, що існує нескінченна щільна множина конструктивних кутів.
Побудова за допомогою циркуля та лінійки як комплексна арифметика
Дано множину точок в Евклідовому просторі, обираємо одну з них за 0 та іншу за 1, разом з довільним вибором орієнтації дозволить нам розглядати ці точки як множину комплексних чисел.
Якщо брати будь-яку таку інтерпретацію множини точок у ролі комплексних чисел, точки, які можна побудувати за допомогою лінійки та циркуля, є в точності елементами найменшого поля, що містить початкову множину точок та замкнене відносно операцій над спряження та видобутку квадратного кореня (щоб уникнути двозначності, варто вважати, що квадратний корінь береться з [en] меншим за ). Елементи цього поля це в точності ті, що можуть бути виражені як формула у початкових точках, яка використовує лише операції додавання, віднімання, множення, ділення, знаходження спряженого числа, та квадратний корінь, для яких легко побачити, що вони є зліченною підмножиною площини. Кожна з шести операцій відповідає простим побудовам за допомогою циркуля та лінійки. З такого твердження є очевидною побудова відповідної точки комбінуванням конструкцій кожної з арифметичних операцій. Більш ефективні побудови окремої множини точок відповідає скороченню у таких обчисленнях.
Так само (та без необхідності довільного вибору двох точок) ми можемо сказати, що за умови довільного вибору орієнтації, множина точок визначає множину комплексних коефіцієнтів відношенням різності між будь-якими двома парами точок. Множина коефіцієнтів конструктивна при використанні циркуля та лінійки, з такого набору коефіцієнтів, найменше поле містить початкові коефіцієнти та замкнене щодо знаходження спряженого числа та взяття квадратного кореня.
Наприклад, дійсна частина, уявна частина та модуль точки або коефіцієнта z (якщо брати одну з двох точок, що розглядались вище) конструктивні оскільки вони можуть бути записані як
Подвоєння куба та трисекція кута (за виключенням окремих кутів φ, таких, що φ/ є раціональне число зі знаменником, що не ділиться на 3) потребує коефіцієнтів, що є розв'язками кубічних рівнянь, у той час, коли квадратура круга потребує трансцендентного коефіцієнта. Жодна з цих операцій не належить полям, описаним вище, отже побудови за допомогою лінійки та циркуля для них не існує.
Неможливі побудови
Стародавні греки вважали, що проблеми побудови, які вони не могли вирішити були просто важкими для розв'язання, але не такими, що їх неможливо побудувати. З допомогою сучасних методів була доведена логічна неможливість виконання цих побудов за допомогою лінійки та циркуля. (Самі проблеми, однак, мають рішення, і греки знали як їх розв'язати, без обмеження у використанні лише лінійки та циркуля.)
Квадратура круга
Найвідоміша з цих проблем — квадратура круга, включає побудову квадрата з такою ж площею, як і даний круг з використанням лише лінійки та циркуля.
Неможливість квадратури круга була доведена завдяки тому, що вона включає в собі побудову трансцендентного числа, а саме числа . Тільки окремі алгебраїчні числа можуть бути побудовані лише лінійкою та циркулем, а саме ті, що побудовані з цілих чисел та скінченної послідовності операцій додавання, віднімання, множення, ділення, та взяття квадратного кореня. Через це фраза «квадратура круга» часто використовується у сенсі «робити щось неможливе».
Без обмеження на умову використання лише циркуля і лінійки, проблема легко вирішується за допомогою найрізноманітніших геометричних і алгебраїчних засобів, і багато разів була вирішена в античності.
За допомогою трикутника Кеплера можна отримати дуже близьке наближення до квадратури круга.
Подвоєння куба
Подвоєння куба — це побудова, за умови використання лише лінійки та циркуля, грані куба, об'єм якого удвічі більший за об'єм куба з даною гранню. Це не можливо, оскільки корінь кубічний від двох, хоча б алгебраїчно, не може бути обчислений з цілих чисел за допомогою операцій додавання, віднімання, множення, ділення, та виділення квадратного кореня. З цього випливає, що його мінімальний многочлен з раціональними коефіцієнтами має степінь 3. Ця побудова можлива, якщо використовувати лінійку з двома відмітками на ній та на циркулі.
Трисекція кута
Трисекція кута — це побудова, з використанням тільки лінійки та циркуля, кута, що є третиною даного довільного кута. Це не можливо у загальному випадку. Наприклад, хоча кут радіан (60°) не може бути розділений на три рівних кути, кут
радіан (72° = 360°/5) може бути поділений на три рівні частини. Головна проблемою трисекції може бути вирішена дуже легко, коли на лінійці є дві відмітки, що дають змогу використання невсіса.
Побудова правильних багатокутників
Детальніші відомості з цієї теми ви можете знайти в статті [en].
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekppTDFOMGNtRnBaMmgwWDFOeGRXRnlaVjlKYm5OamNtbGlaV1JmYVc1ZllWOURhWEpqYkdWZk1qUXdjSGd1WjJsbUx6SXlNSEI0TFZOMGNtRnBaMmgwWDFOeGRXRnlaVjlKYm5OamNtbGlaV1JmYVc1ZllWOURhWEpqYkdWZk1qUXdjSGd1WjJsbS5naWY=.gif)
Деякі правильні багатокутники такі як п'ятикутник легко будуються лінійкою та циркулем; інші — ні. Це наводить на питання: чи можливо побудувати усі правильні багатокутники лінійкою та циркулем?
У 1796 році Карл Фрідріх Гаус продемонстрував, що правильний 17 сторонній багатокутник може бути побудованим, та через 5 років показав, що правильний n-кутник може бути побудований лінійкою та циркулем, якщо непарні прості множники числа n будуть різними числами Ферма. Гаус висловив припущення, що ця умова буде не тільки достатньою, а й необхідною, але не зміг це довести, що було пізніше доведено П'єром Ванцелем у 1837 році.
Перші декілька конструктивних правильних многокутників мають таку кількість сторін:
- 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, [en], 17, [en], [en], [en], 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272… послідовність A003401 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Відомо, що існує нескінченно багато конструктивних правильних багатокутників з парною кількістю сторін (тому, що раз можливо побудувати правильний n-кутник, то можна побудувати і правильний 2n-кутник, а отже і правильні 4-кутник, 8-кутник, тощо). Однак, відомо тільки 31 правильний n-кутник із непарною кількістю сторін, які можна побудувати.
Побудова трикутника по трьох даних характеристичних точках або довжинах
У трикутника є шістнадцять ключових точок: вершини, (середини його сторін), основи висот, основи бісектрис, а також його центр описаного кола, барицентр, ортоцентр, та центр вписаного кола. Вони можуть бути використані за потреби, для вирішення 139 різних нетривіальних задач побудови трикутника по трьом точкам. Серед цих проблем три потребують точку, яка може бути однозначно побудована з інших двох; 23 можуть бути не однозначно побудовані (насправді для нескінченної кількості розв'язків) але лише якщо на розташування точок накладено обмеження; у 74 ця проблема конструктивна для загального випадку; та у 39 шуканий трикутник існує, але його не можна побудувати.
Дванадцять ключових довжин трикутника: довжини сторін, висот, бісектрис та медіан. Разом з трьома кутами виникає 95 різних комбінацій, з яких 63 можна побудувати, 30 неможливо і 2 невизначені.
Відстань до еліпса
Відрізок з будь-якої точки на площині до найближчої точки на колі можна побудувати, але відрізок з будь-якої точки на площині до найближчої точки на еліпсі позитивного ексцентриситету взагалі не може бути побудований.
Варіації та узагальнення
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTgzTHpjMkwxQmxiblJoWjI5dVgyTnZibk4wY25WamRDNW5hV1k9LmdpZg==.gif)
Стародавні греки класифікували конструкції на три основні категорії, в залежності від складності необхідних інструментів для їх вирішення. Якщо для побудови потрібні лише циркуль і лінійка, вона називалася плоскою; якщо потрібні конічні перетини (крім кола), то її називали міцною конструкцією; третя категорія включає всі конструкції, які не потрапили до жодної з двох категорій. Ця класифікація конструкцій красива з нашої сучасної алгебраїчної точки зору. Комплексне число, яке може бути виражено з використанням тільки операцій над полем і квадратних коренів (які описані вище) мають плоску конструкцію. Комплексне число, яке містить також видобуток кубічних коренів відповідає міцній конструкції.
Міцні конструкції
Точка має міцну конструкцію, якщо вона може бути побудована з використанням лінійки, циркуля, і (можливо, гіпотетично) конічного інструменту для малювання, який може намалювати будь-який конічний малюнок з уже побудованим фокусом, директрисою та ексцентриситетом. Той же набір точок часто може бути побудований з використанням меншого набору інструментів. Наприклад, використовуючи циркуль, лінійку, і листок паперу, на якому ми маємо параболу разом з точками (0,0) і (1,0), можна побудувати будь-яке комплексне число, яке має міцну конструкцію, Крім того, інструмент, який може намалювати будь-який еліпс з уже побудованим фокусом і головною віссю (мається на увазі, що дві шпильки й шматок мотузки) є настільки ж потужними.
Стародавні греки знали, що подвоєння куба і трисекція довільного кута були міцними конструкціями. Архімед дав міцну конструкцію 7-кутника. Квадратура кола не має міцної конструкцію.
Регулярний -кутник має міцну конструкцію, тоді і тільки тоді, коли
, де
є добутком різних простих [en] (прості числа, які мають вигляд
). Множиною таких
представлена послідовністю
- 7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97 … (послідовність A051913 в ЕПЦЧ)
Множина , для яких правильний
-кутник не має міцної конструкції, є послідовністю
- 11, 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100 … (послідовність A048136 в ЕПЦЧ)
Подібно до питання з простими числами Ферма, залишається відкритим питання про те, чи існує нескінченно багато простих чисел Пірпонта.
Побудови за допомогою лише циркуля
За теоремою Мора — Маскероні за допомогою одного циркуля можна побудувати будь-яку фігуру, яку можна побудувати циркулем та лінійкою. При цьому пряма вважається побудованою, якщо на ній задано дві точки. Цілком можливо (відповідно до теореми Мора-Маскероні), щоб побудувати щось тільки з циркулем, за умови, що наведені дані, які повинні бути знайдені складаються з двох точок (а не ліній або кіл). Слід зазначити, що істинність цієї теореми залежить від істинності аксіоми Архімеда, яка не є першого порядку в природі. Неможливо взяти квадратний корінь тільки з лінійкою, так що деякі речі, які не можуть бути побудовані за допомогою лінійки можна побудувати за допомогою циркуля; але (по [en]) з урахуванням одного кола і його центра, то вони можуть бути побудовані.
Побудови за допомогою лише лінійки
Легко помітити, що за допомогою однієї лінійки можна реалізувати тільки проективно-інваріантні побудови. Зокрема, неможливо навіть розділити відрізок на дві рівні частини або знайти центр намальованого кола. Але за наявності на площині заздалегідь проведеного кола з позначеним центром за допомогою лінійки можна провести ті ж побудови, що і циркулем та лінійкою ([en]), 1833.
Оригамі
Математична теорія оригамі набагато потужніша ніж побудови циркулем та лінійкою. Складки, які задовільняють правила Худзити, можна побудувати з точно тим же набором точок, як міцну конструкцію з використанням циркуля, лінійки та конічного перетину. Тому, оригамі можна використати для розв'язку кубічних рівнянь (а з ними, і рівнянь четвертого степеня), що дозволяє вирішити дві з трьох класичних задач.
Лінійка з насічками
Архімед, Нікомед і Аполлоній описали побудови з використанням маркування лінійки. Це дозволило їм, наприклад, взяти відрізок, дві лінії (або кола), а також точку; а потім провести лінію, яка проходить через задану точку та перетинає обидві лінії, таким чином, що відстань між точками перетину дорівнює даному відрізку. Це греки називали neusis («схильність», «тенденція» або «межує»), так як нова лінія прагне до точки. У цій розширеній схемі, ми можемо ділити на три рівні частини довільний кут (див. трисекція Архімеда) або видобути довільний кубічний корінь (методом Нікомеда). Отже, будь-яка відстань, відношення якої до заданої відстані є рішенням кубічного або рівняння четвертого степеня, можна побудувати. Правильні багатокутники з міцними конструкціями, наприклад, семикутник, конструктивні; і Джон Х. Конвей і Річард К. Гай описали побудову деяких з них.
Побудова невсіс є більш потужною, ніж конічний інструмент для малювання, з її допомогою можна побудувати комплексні числа, які не мають міцних конструкцій. Насправді, за допомогою цього інструменту можна вирішити деякі рівняння високого степеня, які не можна розв'язати за допомогою радикалів. Відомо, що не можна розв'язати незвідний поліном з простою степеню, яка більше або дорівнює 7, з використанням невсіс побудови. Отже, не представляється можливим побудувати правильний 23-кутник або 29-кутник за допомогою цього інструменту. Бенджамін і Снайдер довели, що можна побудувати регулярний 11-кутник, але не надали способу побудови. Наразі залишається відкритим питання, щодо можливості побудови 25-ти та 31-кутника за допомогою цього інструмента.
Обчислення двійкових цифр
У 1998 році [en] дав алгоритм для циркуля і лінійки, який може використовуватися для обчислення двійкових символів певних чисел. Алгоритм включає в себе повторне подвоєння кута і стає фізично непрактичним після обчислення близько 20 двійкових символів.
Див. також
- Задача Аполлонія
- (Задача Брахмагупти)
- GeoGebra
- [ru]
- [ru] — програми для побудови за допомогою циркуля та лінійки.
- Конструктивне число
- [en]
- [en]
- [en]
- [en] дозволяє користувачу будувати за допомогою циркуля та прямої лінії, а також маніпулювати побудовою, більшість з них демонструють побудови циркулем та лінійкою
- [en] — математик, чиєю працею був збір невірних доведень за допомогою лінійки та циркуля.
Примітки
- Underwood Dudley (1983), (PDF), The Mathematical Intelligencer, 5 (1): 20—25, doi:10.1007/bf03023502, архів оригіналу (PDF) за 19 червня 2018, процитовано 9 квітня 2016
- Godfried Toussaint, «A new look at Euclid's second proposition», The Mathematical Intelligencer, Vol. 15, No. 3, (1993), pp. 12-24.
- Bold, Benjamin. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover Publications, 1982 (orig. 1969).
- Wantzel, P M L (1837). Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas (PDF). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1. 2: 366—372. Процитовано 3 березня 2014.
- Weisstein, Eric W. Trigonometry Angles--Pi/17(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Stewart, Ian. Galois Theory. с. 75.
- *Squaring the circle [ 1 травня 2016 у Wayback Machine.] at MacTutor
- Kazarinoff, Nicholas D. (2003). Ruler and the Round. Mineola, N.Y.: Dover. с. 29–30. ISBN .
- Pascal Schreck, Pascal Mathis, Vesna Marinkoviċ, and Predrag Janičiċ. «Wernick's list: A final update», Forum Geometricorum 16, 2016, pp. 69–80. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201610.pdf [ 8 квітня 2016 у Wayback Machine.]
- Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
- Azad, H., and Laradji, A., «Some impossible constructions in elementary geometry», Mathematical Gazette 88, November 2004, 548—551.
- T.L. Heath, «A History of Greek Mathematics, Volume I»
- P. Hummel, «Solid constructions using ellipses», The Pi Mu Epsilon Journal, 11(8), 429—435 (2003)
- . formula.co.ua. Архів оригіналу за 21 грудня 2016. Процитовано 9 грудня 2016.
- Row, T. Sundara (1966). Geometric Exercises in Paper Folding. New York: Dover.
- Conway, John H. and Richard Guy: The Book of Numbers
- A. Baragar, «Constructions using a Twice-Notched Straightedge», The American Mathematical Monthly, 109 (2), 151—164 (2002).
- Benjamin, Elliot; Snyder, C. (1 травня 2014). . Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Т. 156, № 3. с. 409—424. doi:10.1017/S0305004113000753. ISSN 0305-0041. Архів оригіналу за 20 грудня 2016. Процитовано 10 грудня 2016.
- Simon Plouffe (1998). . Journal of Integer Sequences. 1. ISSN 1530-7638. Архів оригіналу за 29 лютого 2012. Процитовано 19 серпня 2017.
- Стандарт флага Ирана [ 21 червня 2012 у Wayback Machine.](перс.)
Література
- А. Адлер. Теорія геометричних побудов, [ 27 травня 2020 у Wayback Machine.] Переклад з німецької Г. М. Фіхтенгольца. Видання третє. Л., Навчпедвид, 1940—232 с.
- І. І. Алєксандров, Збірник геометричних задач на побудову, [ 7 грудня 2007 у Wayback Machine.] Видання вісімнадцяте, М., Навчпедвид, 1950—176 с.
- Б. І. Аргунов, М Б Балк. Геометричні побудови на площині, [ 18 грудня 2007 у Wayback Machine.] Посібник для студентів педагогічних інститутів. Видання друге. М., Навчпедвид, 1957—268 с.
- О. М. Воронець. Геометрія циркуля, [ 6 грудня 2007 у Wayback Machine.] Популярна бібліотека з математики під загальною редакцією Л. О. Люстерника, М.- Л., ОНТІ, 1934 — 40 с.
- В. О. Гейлер. СОЖ, 1999, No 12, с. 115—118.
- Ю. І. Манін, Про розв'язність задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки [ 18 жовтня 2009 у Wayback Machine.], Енциклопедія елементарної математики книга четверта (геометрія) [ 18 вересня 2011 у Wayback Machine.], М., Фізматвид, 1963. — 568с.
- Ю. Петерсен. Методи і теорії розв'язку геометричних задач на побудову, [ 7 грудня 2007 у Wayback Machine.] Москва, типографія Э.Ліснера та Ю.Романа, 1892 — VIII + 114с.
- В. В. Прасолов Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура круга, [ 28 грудня 2010 у Wayback Machine.] М.: Наука, 1992. 80 с. Серія Популярні лекції з математики, випуск 62
- Я. Штейнер, Геометричні побудови, виконувані за допомогою прямої лінії та нерухомого круга, [ 7 грудня 2007 у Wayback Machine.] М., Навчпедвид, 1939 — 80 с.
- Факультативний курс з математики. Микільська | 80
- Костарчук, В. М. Про можливе і неможливе в геометрії циркуля і лінійки / В. М. Костарчук, Б. І. Хацет. — К. : Радянська школа, 1971. — 128 с.
Посилання
- Online ruler-and-compass construction tool [ 24 квітня 2016 у Wayback Machine.] (in French)
- Regular polygon constructions [ 12 квітня 2008 у Wayback Machine.] by Dr. Math at The Math Forum @ Drexel
- Construction with the Compass Only [ 14 травня 2008 у Wayback Machine.] at cut-the-knot
- Angle Trisection by Hippocrates [ 14 травня 2008 у Wayback Machine.] at cut-the-knot
- Weisstein, Eric W. Angle Trisection(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Various constructions using compass and straightedge [ 21 червня 2010 у Wayback Machine.] With interactive animated step-by-step instructions
- Math Tricks Help You Design Shop Projects: master a simple compass and you're a designer; convert your router into one with a trammel and away you go, Popular Science, May 1971, p104,106,108, Scanned article via Google Books: https://books.google.com/books?id=ngAAAAAAMBAJ&pg=PA104
- Visual Euclid [ 24 квітня 2016 у Wayback Machine.] slideshows of Euclidean constructions
- The Golden Ratio Determined Using a Ruler and Compass [ 22 квітня 2016 у Wayback Machine.] list of all the shortest constructions
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi iz chinnimi movnimi standartami Pobudova za dopomogoyu cirkulya ta linijki abo klasichna pobudova ce pobudova dovzhin kutiv ta inshih geometrichnih figur z vikoristannyam lishe idealizovanoyi linijki ta cirkulya Vikoristannya cirkulya i linijki dlya pobudovi shestikutnika Idealizovana linijka vidoma yak en vvazhayetsya neskinchennoyu ne maye mitok i maye lishe odin kraj Vvazhayetsya sho cirkul vidrivayetsya vid kreslennya tomu ne mozhe buti bezposeredno vikoristanij dlya perenesennya vidstanej Ce nesuttyeve obmezhennya oskilki vikoristovuyuchi proceduru z velikoyu kilkistyu krokiv vidstan mozhe buti znajdena navit za umovi sho cirkul pidnimayut nad kreslennyam div en Formalno kazhuchi yedinimi dozvolenimi konstrukciyami ye taki sho nadani troma pershimi evklidovimi postulatami Vidomo sho bud yaka pobudova z vikoristannyam linijki ta cirkulya mozhe buti vikonana lishe cirkulem Matematiki starodavnoyi Greciyi vpershe zaprovadili pobudovi za dopomogoyu cirkulya ta linijki ta ryad problem u geometriyi Evklida nakladayut ce obmezhennya Starodavni greki rozvinuli bagato pobudov hocha u deyakih vipadkah ne mali na ce zmogi Gaus prodemonstruvav sho deyaki mnogokutniki mozhna pobuduvati ale ne vsi Principova nemozhlivist pobudovi shodo deyakih najvidomishih problem buli dovedeni P yerom Vancelem v 1837 roci za dopomogoyu matematichnoyi teoriyi poliv Ne zvazhayuchi na nayavni dokazi nemozhlivosti pobudovi znahodyatsya lyudi sho zavzyato namagayutsya virishiti ci pitannya Bilshist z cih pitan legko virishiti za umovi sho inshi geometrichni peretvorennya dopuskayutsya napriklad podvoyennya kuba mozhna zrobiti za dopomogoyu geometrichnih pobudov ale ce ne mozhlivo yaksho vikoristovuvati lishe linijku i cirkul Z tochki zoru algebri dovzhina mozhe buti pobudovana todi j lishe todi koli ye chislom sho mozhna pobuduvati ta kut mozhna pobuduvati lishe za umovi togo sho jogo kosinus ce chislo yake mozhna pobuduvati Chislo mozhe buti pobudovane todi j lishe todi yaksho jogo mozhna zapisati z vikoristannyam chotiroh bazovih arifmetichnih operaciyi ta lishe kvadratnogo korenya ale ne korenya inshogo stepenya Cirkul ta linijkaCirkul Cirkul ta linijka yaki vikoristovuyutsya dlya pobudovi ce idealizaciya realnih linijki ta cirkulya Tomu pripuskayetsya sho Cirkul mozhe buti rozgornutim na dovilnu shirinu ale na vidminu vid deyakih isnuyuchih cirkuliv na nomu nema rozmitki Kola mozhut buti nakresleni lishe za dvoma zadanimi tochkami centrom ta tochkoyu na koli Cirkul mozhe ne obov yazkovo znikati koli vin ne malyuye kolo Linijka neskinchenno dovga ale ne maye vidmitok bo u neyi ye lishe pryamij kraj na vidminu vid zvichajnih linijok Vona mozhe buti vikoristana lishe dlya kreslennya vidrizkiv mizh dvoma tochkami abo dlya podovzhennya nayavnih vidrizkiv Suchasni cirkuli zazvichaj ne zbivayutsya i deyaki suchasni pobudovi vikoristovuyut cyu osoblivist Zdavalosya b sho suchasnij cirkul ce bilsh potuzhnij instrument anizh starodavni cirkuli sho zbivayutsya Odnak za 2 Teoremoyu z 1 Knigi Pochatkiv Evklida efektivnist pri vikoristanni cirkulya sho zbivayetsya ne vtrachayetsya Hocha teorema pravdiva yiyi dokazi mayut dovgu ta minlivu istoriyu Kozhna pobudova povinna buti tochnoyu Nablizhene rishennya abo vikoristannya deyakih instrumentiv vimiru takih yak podilki na linijci ne vrahovuyetsya za rozv yazok Kozhna pobudova maye mati zavershennya Tobto vona povinna skladatis zi skinchennoyi kilkosti krokiv i ne mozhe buti mezheyu poslidovnih nablizhen Pobudovi za dopomogoyu cirkulya ta linijki skorishe vinikli yak en a ne spravzhnya praktichna zadacha ale metoyu navedenih obmezhen ye garantiya togo sho taka pobudova mozhe buti vikonana cilkovito pravilno i ce vazhlivo yak dlya vikonannya kreslen pri proektuvanni u programah SAPR ta tradicijnih kreslen olivcem cirkulem ta linijkoyu na paperi tak i nauci mir ta vagiv u yakih tochna peredacha z ob yektiv abo materialiv duzhe vazhliva Odniyeyu z golovnih cilej greckoyi matematiki bulo znahodzhennya tochnoyi pobudovi dlya riznih dovzhin napriklad znahodzhennya storoni p yatikutnika vpisanogo u kolo Takozh sered pobudov yaki greki ne mogli vidnajti pobudovu najbilsh vidomi nastupni tri vipadki Kvadratura kruga Kreslennya kvadrata z tiyeyu zh plosheyu sho i dane kolo Podvoyennya kuba Kreslennya kuba z ob yemom yakij bude vdvichi bilshij za ob yem danogo kuba Trisekciya kuta Podil danogo kuta na tri menshi kuti odnakovoyi gradusnoyi miri Protyagom 2000 rokiv lyudi namagalis vidnajti pobudovu za navedenih umov ale yih zusillya ne prinesli potribnogo rezultatu Narazi dovedena nemozhlivist rozv yazannya cih troh problem za matematichnimi pravilami kuti z deyakimi gradusnimi mirami mozhut buti podileni na tri rivni chastini ale ne bud yakij dovilnij kut IstoriyaMatematiki starodavnoyi Greciyi vpershe vikoristali pobudovu za dopomogoyu linijki ta cirkulya ta vidkrili yak buduvati sumu riznicyu dobutok vidnoshennya ta kvadratnij korin danih dovzhin p 1 Takozh voni mogli konstruyuvati polovinu danogo kuta kvadrat chiyeyi ploshi vdvichi bilshij za inshij kvadrat kvadrat sho maye ploshu taku zh yak danij bagatokutnik ta pravilnij bagatokutnik iz troma chotirma abo p yatma storonami p xi abo takij sho maye udvichi bilshe storin nizh danij bagatokutnik pp 49 50 Ale voni ne mogli pobuduvati tretinu kuta za viklyuchennyam okremih vipadkiv abo kvadrat iz takoyu zh plosheyu sho i dane kolo abo pravilnij bagatokutnik z inshoyu kilkistyu storin p xi Ne mogli voni takozh pobuduvati gran kuba chij ob yem buv udvichi bilshij za ob yem kuba z danoyu grannyu p 29 Gippokrat ta Menehm pokazali sho poverhnya kuba mozhe buti podvoyena shlyahom znahodzhennya peretiniv giperbol ta parabol ale voni ne mozhut buti pobudovani cirkulem ta linijkoyu p 30 U p yatomu stolitti do nashoyi eri Gippokrat vikoristovuvav krivu sho vin nazivav kvadratrisa yak dlya rozdilennya na tri zagalnogo kuta ta kvadraturi kruga a Nikomed u drugomu stolitti do nashoyi eri pokazav yak vikoristovuvati konhoyidu dlya podilu dovilnogo kuta na tri p 37 ale ci metodi takozh ne mozhut buti vikoristani lishe z cirkulem ta linijkoyu Ne bulo niyakogo progresu u virishenni cih pitan protyagom dvoh tisyacholit azh do 1796 roku poki Gaus pokazav yak pobuduvati pravilnij bagatokutnik z 17 storonami cherez p yat rokiv vin naviv dostatni umovi pobudovi pravilnogo bagatokutnika z n storonami pp 51 ff U 1837 P yer Vancel opublikuvav dokaz nemozhlivosti podilu na tri chastini dovilnogo kuta abo podvoyennya ob yemu kuba Ce dovedennya zasnovane na nemozhlivosti pobudovi kubichnih koreniv vid dovzhin She vin pokazav sho dostatni umovi Gausa dlya pobudovi pravilnih bagatokutnikiv takozh ye i neobhidnimi Potim u 1882 roci Lindemann pokazav sho p displaystyle pi ce transcendentne chislo a otzhe ne mozhlivo pobuduvati za dopomogoyu linijki ta cirkulya kvadrat iz takoyu zh plosheyu sho i dane kolo p 47Bazovi pobudoviBazovi pobudovi Usi pobudovi za dopomogoyu linijki ta cirkulya skladayutsya z povtoryuvanih dodavan p yati bazovih konstrukcij sho vikoristovuyut tochki liniyi ta kola yaki vzhe buli pobudovani ranishe A same Pobudova pryamoyi sho prohodit cherez dvi zadani tochki Pobudova kola z zadanim centrom sho prohodit cherez zadanu tochku Pobudova tochki sho ye tochkoyu peretinu dvoh zadanih ne paralelnih linij Pobudova odniyeyi chi dvoh tochok peretinu kola z pryamoyu liniyeyu yaksho voni peretinayutsya Pobudova odniyeyi chi dvoh tochok na peretini dvoh kil yaksho voni peretinayutsya Napriklad dlya dvoh zadanih riznih tochok mi mozhemo pobuduvati pryamu abo bud yake z dvoh kil poslidovno vikoristovuyuchi kozhnu tochku yak centr a inshu tochku yak tochku na koli Yaksho nakresliti obidva kola to dvi novi tochki budut utvoreni na peretini kil Kreslennya linij mizh dvoma pochatkovimi tochkami ta odniyeyu z cih novih tochok zavershuye pobudovu rivnostoronnogo trikutniku Takim chinom u bud yakij geometrichnij zadachi na pobudovu zadano pochatkovij nabir simvoliv tochok ta linij algoritm dij ta pevni rezultati Z ciyeyi tochki zoru geometriya ekvivalentna do aksiomatichnoyi algebri z tochnistyu do zamini elementiv na simvoli Jmovirno Gaus pershij zrozumiv ce ta vikoristav ce dlya dokazu nemozhlivosti deyakih pobudov i lishe cherez znachnij promizhok chasu Gilbert vinajshov povnu sistemu geometrichnih aksiom Pobudovi za dopomogoyu cirkulya ta linijki sho chasto zastosovuyutsyaIsnuyut taki pobudovi za dopomogoyu linijki ta cirkulya sho zastosovuyutsya najchastishe Pobudova seredinnogo perpendikulyara dlya vidrizka Znahodzhennya serednoyi tochki div priklad nizhche Kreslennya pryamoyi sho prohodit cherez zadanu tochku ta perpendikulyarna zadanij pryamij Bisekciya kuta Vidbittya tochki vidnosno pryamoyi Pobudova pryamoyi sho prohodit cherez tochku ta dotichna do kola Pobudova kola yake prohodit cherez tri ne kolinearni tochkiZnahodzhennya seredini vidrizka Podil vidrizka navpil Dlya prikladu rozglyanemo nastupnu zadachu Zadacha Za dopomogoyu cirkulya ta linijki podiliti danij vidrizok AB na dvi rivni chastini Odin z rozv yazkiv pokazano na malyunku Rozv yazok skladayetsya z nastupnih krokiv Cirkulem buduyemo kolo z centrom v tochci A radiusu AB Buduyemo kolo z centrom v tochci B radiusu AB Znahodimo tochki peretinu P ta Q dvoh pobudovanih kil Linijkoyu provodimo vidrizok sho ob yednuye tochki P ta Q Znahodimo tochku peretinu AB ta PQ Ce shukana seredina vidrizka AB Tochki i dovzhini yaki mozhlivo pobuduvatiTrisekciya vidrizku linijkoyu ta cirkulem Formalne dovedennya Isnuyut bagato riznih metodiv dokazu nemozhlivosti chogo nebud Yakomoga retelnishe dovedennya potribne dlya viznachennya mezhi mozhlivogo ta shob pokazati te sho dlya virishennya problemi mi povinni perestupiti cyu mezhu Bilsha chastina togo sho mozhlivo pobuduvati viznachayetsya teoremoyu pro proporcijni vidrizki Mi mozhemo asociyuvati algebru iz nashoyu geometriyeyu vikoristovuyuchi Dekartovu sistemu koordinat utvorenu dvoma liniyami ta predstavlyayut tochki ploshini yak vektori Ostatochno mi mozhemo zapisati ci vektori yak kompleksni chisla Vikoristovuyuchi rivnyannya dlya linij ta kil mozhna pokazati sho tochki yih peretinu lezhat u en najmenshogo polya F sho mistit dvi tochki na liniyi centr kola ta radius kola Tobto voni utvoryuyut chisla viglyadu x yk displaystyle x y sqrt k de x y ta k lezhat u F Oskilki pole tochok sho mozhna pobuduvati zamknene vidnosno kvadratnih koreniv vono mistit usi tochki yaki mozhna otrimati skinchennoyu poslidovnistyu kvadratichnih rozshiren polya kompleksnih tochok yih racionalnimi koeficiyentami Zgidno z poperednim abzacom mozhna pokazati sho bud yaka tochka mozhe buti otrimana takoyu poslidovnistyu rozshiren Yak naslidok cogo mozhna skazati sho minimalnij polinom dlya tochki sho dostupna do pobudovi i cherez ce bud yaka dovzhina yaku mozhna pobuduvati maye stepin 2 Zokrema bud yaka konstruktivna tochka abo dovzhina ce algebrayichne chislo odnak ne kozhne algebrayichne chislo ye konstruktivnim tak zv yazok mizh konstruktivnoyu dovzhinoyu ta algebrayichnim chislom ne ye biyektivnim napriklad 23 displaystyle sqrt 3 2 algebrayichne ale ne konstruktivne chislo Konstruktivni kutiIsnuye biyektivnij zv yazok mizh kutami yaki mozhna pobuduvati ta tochkami sho konstruktivni na bud yakomu konstruktivnomu koli Konstruktivni kuti utvoryuyut abelevu grupu z modulem dodavannya 2p displaystyle 2 pi sho vidpovidaye mnozhennyu tochok na odinichnomu koli yak kompleksnih chisel Kuti sho mozhna pobuduvati ce same ti kuti tangens yakih abo tak samo sinus chi kosinus ye konstruktivnim yak chislo Napriklad pravilnij simnadcyatikutnik ye konstruktivnim bo cos 2p17 116 11617 11634 217 1817 317 34 217 234 217 displaystyle cos left frac 2 pi 17 right frac 1 16 frac 1 16 sqrt 17 frac 1 16 sqrt 34 2 sqrt 17 frac 1 8 sqrt 17 3 sqrt 17 sqrt 34 2 sqrt 17 2 sqrt 34 2 sqrt 17 sho vidnajshov Gaus Grupa konstruktivnih kutiv zamknena vidnosno operaciyi dilennya kutiv navpil sho vidpovidaye vzyattyu kvadratnogo korenya z kompleksnih chisel Yedinimi kutami finitnogo poryadku sho mozhut buti pobudovanimi pochinayuchi z dvoh tochok ye ti chij poryadok ye abo stepenem dvijki abo dobutkom stepeni dvijki ta mnozhini riznih chisel Ferma Slid zauvazhiti sho isnuye neskinchenna shilna mnozhina konstruktivnih kutiv Pobudova za dopomogoyu cirkulya ta linijki yak kompleksna arifmetikaDano mnozhinu tochok v Evklidovomu prostori obirayemo odnu z nih za 0 ta inshu za 1 razom z dovilnim viborom oriyentaciyi dozvolit nam rozglyadati ci tochki yak mnozhinu kompleksnih chisel Yaksho brati bud yaku taku interpretaciyu mnozhini tochok u roli kompleksnih chisel tochki yaki mozhna pobuduvati za dopomogoyu linijki ta cirkulya ye v tochnosti elementami najmenshogo polya sho mistit pochatkovu mnozhinu tochok ta zamknene vidnosno operacij nad spryazhennya ta vidobutku kvadratnogo korenya shob uniknuti dvoznachnosti varto vvazhati sho kvadratnij korin beretsya z en menshim za p displaystyle pi Elementi cogo polya ce v tochnosti ti sho mozhut buti virazheni yak formula u pochatkovih tochkah yaka vikoristovuye lishe operaciyi dodavannya vidnimannya mnozhennya dilennya znahodzhennya spryazhenogo chisla ta kvadratnij korin dlya yakih legko pobachiti sho voni ye zlichennoyu pidmnozhinoyu ploshini Kozhna z shesti operacij vidpovidaye prostim pobudovam za dopomogoyu cirkulya ta linijki Z takogo tverdzhennya ye ochevidnoyu pobudova vidpovidnoyi tochki kombinuvannyam konstrukcij kozhnoyi z arifmetichnih operacij Bilsh efektivni pobudovi okremoyi mnozhini tochok vidpovidaye skorochennyu u takih obchislennyah Tak samo ta bez neobhidnosti dovilnogo viboru dvoh tochok mi mozhemo skazati sho za umovi dovilnogo viboru oriyentaciyi mnozhina tochok viznachaye mnozhinu kompleksnih koeficiyentiv vidnoshennyam riznosti mizh bud yakimi dvoma parami tochok Mnozhina koeficiyentiv konstruktivna pri vikoristanni cirkulya ta linijki z takogo naboru koeficiyentiv najmenshe pole mistit pochatkovi koeficiyenti ta zamknene shodo znahodzhennya spryazhenogo chisla ta vzyattya kvadratnogo korenya Napriklad dijsna chastina uyavna chastina ta modul tochki abo koeficiyenta z yaksho brati odnu z dvoh tochok sho rozglyadalis vishe konstruktivni oskilki voni mozhut buti zapisani yak Re z z z 2 displaystyle mathrm Re z frac z bar z 2 Im z z z 2i displaystyle mathrm Im z frac z bar z 2i z zz displaystyle left z right sqrt z bar z Podvoyennya kuba ta trisekciya kuta za viklyuchennyam okremih kutiv f takih sho f 2p displaystyle 2 pi ye racionalne chislo zi znamennikom sho ne dilitsya na 3 potrebuye koeficiyentiv sho ye rozv yazkami kubichnih rivnyan u toj chas koli kvadratura kruga potrebuye transcendentnogo koeficiyenta Zhodna z cih operacij ne nalezhit polyam opisanim vishe otzhe pobudovi za dopomogoyu linijki ta cirkulya dlya nih ne isnuye Nemozhlivi pobudoviStarodavni greki vvazhali sho problemi pobudovi yaki voni ne mogli virishiti buli prosto vazhkimi dlya rozv yazannya ale ne takimi sho yih nemozhlivo pobuduvati Z dopomogoyu suchasnih metodiv bula dovedena logichna nemozhlivist vikonannya cih pobudov za dopomogoyu linijki ta cirkulya Sami problemi odnak mayut rishennya i greki znali yak yih rozv yazati bez obmezhennya u vikoristanni lishe linijki ta cirkulya Kvadratura kruga Dokladnishe Kvadratura kruga Najvidomisha z cih problem kvadratura kruga vklyuchaye pobudovu kvadrata z takoyu zh plosheyu yak i danij krug z vikoristannyam lishe linijki ta cirkulya Nemozhlivist kvadraturi kruga bula dovedena zavdyaki tomu sho vona vklyuchaye v sobi pobudovu transcendentnogo chisla a same chisla p displaystyle sqrt pi Tilki okremi algebrayichni chisla mozhut buti pobudovani lishe linijkoyu ta cirkulem a same ti sho pobudovani z cilih chisel ta skinchennoyi poslidovnosti operacij dodavannya vidnimannya mnozhennya dilennya ta vzyattya kvadratnogo korenya Cherez ce fraza kvadratura kruga chasto vikoristovuyetsya u sensi robiti shos nemozhlive Bez obmezhennya na umovu vikoristannya lishe cirkulya i linijki problema legko virishuyetsya za dopomogoyu najriznomanitnishih geometrichnih i algebrayichnih zasobiv i bagato raziv bula virishena v antichnosti Za dopomogoyu trikutnika Keplera mozhna otrimati duzhe blizke nablizhennya do kvadraturi kruga Podvoyennya kuba Dokladnishe Podvoyennya kuba Podvoyennya kuba ce pobudova za umovi vikoristannya lishe linijki ta cirkulya grani kuba ob yem yakogo udvichi bilshij za ob yem kuba z danoyu grannyu Ce ne mozhlivo oskilki korin kubichnij vid dvoh hocha b algebrayichno ne mozhe buti obchislenij z cilih chisel za dopomogoyu operacij dodavannya vidnimannya mnozhennya dilennya ta vidilennya kvadratnogo korenya Z cogo viplivaye sho jogo minimalnij mnogochlen z racionalnimi koeficiyentami maye stepin 3 Cya pobudova mozhliva yaksho vikoristovuvati linijku z dvoma vidmitkami na nij ta na cirkuli Trisekciya kuta Dokladnishe Trisekciya kuta Trisekciya kuta ce pobudova z vikoristannyam tilki linijki ta cirkulya kuta sho ye tretinoyu danogo dovilnogo kuta Ce ne mozhlivo u zagalnomu vipadku Napriklad hocha kut p 3 displaystyle pi 3 radian 60 ne mozhe buti rozdilenij na tri rivnih kuti kut 2p 5 displaystyle 2 pi 5 radian 72 360 5 mozhe buti podilenij na tri rivni chastini Golovna problemoyu trisekciyi mozhe buti virishena duzhe legko koli na linijci ye dvi vidmitki sho dayut zmogu vikoristannya nevsisa Pobudova pravilnih bagatokutnikivDetalnishi vidomosti z ciyeyi temi vi mozhete znajti v statti en Pobudova kvadrata Deyaki pravilni bagatokutniki taki yak p yatikutnik legko buduyutsya linijkoyu ta cirkulem inshi ni Ce navodit na pitannya chi mozhlivo pobuduvati usi pravilni bagatokutniki linijkoyu ta cirkulem U 1796 roci Karl Fridrih Gaus prodemonstruvav sho pravilnij 17 storonnij bagatokutnik mozhe buti pobudovanim ta cherez 5 rokiv pokazav sho pravilnij n kutnik mozhe buti pobudovanij linijkoyu ta cirkulem yaksho neparni prosti mnozhniki chisla n budut riznimi chislami Ferma Gaus visloviv pripushennya sho cya umova bude ne tilki dostatnoyu a j neobhidnoyu ale ne zmig ce dovesti sho bulo piznishe dovedeno P yerom Vancelem u 1837 roci Pershi dekilka konstruktivnih pravilnih mnogokutnikiv mayut taku kilkist storin 3 4 5 6 8 10 12 15 en 17 en en en 32 34 40 48 51 60 64 68 80 85 96 102 120 128 136 160 170 192 204 240 255 256 257 272 poslidovnist A003401 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Vidomo sho isnuye neskinchenno bagato konstruktivnih pravilnih bagatokutnikiv z parnoyu kilkistyu storin tomu sho raz mozhlivo pobuduvati pravilnij n kutnik to mozhna pobuduvati i pravilnij 2n kutnik a otzhe i pravilni 4 kutnik 8 kutnik tosho Odnak vidomo tilki 31 pravilnij n kutnik iz neparnoyu kilkistyu storin yaki mozhna pobuduvati Pobudova trikutnika po troh danih harakteristichnih tochkah abo dovzhinahU trikutnika ye shistnadcyat klyuchovih tochok vershini seredini jogo storin osnovi visot osnovi bisektris a takozh jogo centr opisanogo kola baricentr ortocentr ta centr vpisanogo kola Voni mozhut buti vikoristani za potrebi dlya virishennya 139 riznih netrivialnih zadach pobudovi trikutnika po trom tochkam Sered cih problem tri potrebuyut tochku yaka mozhe buti odnoznachno pobudovana z inshih dvoh 23 mozhut buti ne odnoznachno pobudovani naspravdi dlya neskinchennoyi kilkosti rozv yazkiv ale lishe yaksho na roztashuvannya tochok nakladeno obmezhennya u 74 cya problema konstruktivna dlya zagalnogo vipadku ta u 39 shukanij trikutnik isnuye ale jogo ne mozhna pobuduvati Dvanadcyat klyuchovih dovzhin trikutnika dovzhini storin visot bisektris ta median Razom z troma kutami vinikaye 95 riznih kombinacij z yakih 63 mozhna pobuduvati 30 nemozhlivo i 2 neviznacheni pp 201 203Vidstan do elipsaVidrizok z bud yakoyi tochki na ploshini do najblizhchoyi tochki na koli mozhna pobuduvati ale vidrizok z bud yakoyi tochki na ploshini do najblizhchoyi tochki na elipsi pozitivnogo ekscentrisitetu vzagali ne mozhe buti pobudovanij Variaciyi ta uzagalnennyaDetalna pobudova pravilnogo p yatikutnika Starodavni greki klasifikuvali konstrukciyi na tri osnovni kategoriyi v zalezhnosti vid skladnosti neobhidnih instrumentiv dlya yih virishennya Yaksho dlya pobudovi potribni lishe cirkul i linijka vona nazivalasya ploskoyu yaksho potribni konichni peretini krim kola to yiyi nazivali micnoyu konstrukciyeyu tretya kategoriya vklyuchaye vsi konstrukciyi yaki ne potrapili do zhodnoyi z dvoh kategorij Cya klasifikaciya konstrukcij krasiva z nashoyi suchasnoyi algebrayichnoyi tochki zoru Kompleksne chislo yake mozhe buti virazheno z vikoristannyam tilki operacij nad polem i kvadratnih koreniv yaki opisani vishe mayut plosku konstrukciyu Kompleksne chislo yake mistit takozh vidobutok kubichnih koreniv vidpovidaye micnij konstrukciyi Micni konstrukciyi Tochka maye micnu konstrukciyu yaksho vona mozhe buti pobudovana z vikoristannyam linijki cirkulya i mozhlivo gipotetichno konichnogo instrumentu dlya malyuvannya yakij mozhe namalyuvati bud yakij konichnij malyunok z uzhe pobudovanim fokusom direktrisoyu ta ekscentrisitetom Toj zhe nabir tochok chasto mozhe buti pobudovanij z vikoristannyam menshogo naboru instrumentiv Napriklad vikoristovuyuchi cirkul linijku i listok paperu na yakomu mi mayemo parabolu y x2 displaystyle y x 2 razom z tochkami 0 0 i 1 0 mozhna pobuduvati bud yake kompleksne chislo yake maye micnu konstrukciyu Krim togo instrument yakij mozhe namalyuvati bud yakij elips z uzhe pobudovanim fokusom i golovnoyu vissyu mayetsya na uvazi sho dvi shpilki j shmatok motuzki ye nastilki zh potuzhnimi Starodavni greki znali sho podvoyennya kuba i trisekciya dovilnogo kuta buli micnimi konstrukciyami Arhimed dav micnu konstrukciyu 7 kutnika Kvadratura kola ne maye micnoyi konstrukciyu Regulyarnij n displaystyle n kutnik maye micnu konstrukciyu todi i tilki todi koli n 2j3km displaystyle n 2 j 3 k m de m displaystyle m ye dobutkom riznih prostih en prosti chisla yaki mayut viglyad 2r3s 1 displaystyle 2 r 3 s 1 Mnozhinoyu takih n displaystyle n predstavlena poslidovnistyu 7 9 13 14 18 19 21 26 27 28 35 36 37 38 39 42 45 52 54 56 57 63 65 70 72 73 74 76 78 81 84 90 91 95 97 poslidovnist A051913 v EPCCh Mnozhina n displaystyle n dlya yakih pravilnij n displaystyle n kutnik ne maye micnoyi konstrukciyi ye poslidovnistyu 11 22 23 25 29 31 33 41 43 44 46 47 49 50 53 55 58 59 61 62 66 67 69 71 75 77 79 82 83 86 87 88 89 92 93 94 98 99 100 poslidovnist A048136 v EPCCh Podibno do pitannya z prostimi chislami Ferma zalishayetsya vidkritim pitannya pro te chi isnuye neskinchenno bagato prostih chisel Pirponta Pobudovi za dopomogoyu lishe cirkulya Za teoremoyu Mora Maskeroni za dopomogoyu odnogo cirkulya mozhna pobuduvati bud yaku figuru yaku mozhna pobuduvati cirkulem ta linijkoyu Pri comu pryama vvazhayetsya pobudovanoyu yaksho na nij zadano dvi tochki Cilkom mozhlivo vidpovidno do teoremi Mora Maskeroni shob pobuduvati shos tilki z cirkulem za umovi sho navedeni dani yaki povinni buti znajdeni skladayutsya z dvoh tochok a ne linij abo kil Slid zaznachiti sho istinnist ciyeyi teoremi zalezhit vid istinnosti aksiomi Arhimeda yaka ne ye pershogo poryadku v prirodi Nemozhlivo vzyati kvadratnij korin tilki z linijkoyu tak sho deyaki rechi yaki ne mozhut buti pobudovani za dopomogoyu linijki mozhna pobuduvati za dopomogoyu cirkulya ale po en z urahuvannyam odnogo kola i jogo centra to voni mozhut buti pobudovani Pobudovi za dopomogoyu lishe linijki Legko pomititi sho za dopomogoyu odniyeyi linijki mozhna realizuvati tilki proektivno invariantni pobudovi Zokrema nemozhlivo navit rozdiliti vidrizok na dvi rivni chastini abo znajti centr namalovanogo kola Ale za nayavnosti na ploshini zazdalegid provedenogo kola z poznachenim centrom za dopomogoyu linijki mozhna provesti ti zh pobudovi sho i cirkulem ta linijkoyu en 1833 Origami Dokladnishe Pravila Hudziti Matematichna teoriya origami nabagato potuzhnisha nizh pobudovi cirkulem ta linijkoyu Skladki yaki zadovilnyayut pravila Hudziti mozhna pobuduvati z tochno tim zhe naborom tochok yak micnu konstrukciyu z vikoristannyam cirkulya linijki ta konichnogo peretinu Tomu origami mozhna vikoristati dlya rozv yazku kubichnih rivnyan a z nimi i rivnyan chetvertogo stepenya sho dozvolyaye virishiti dvi z troh klasichnih zadach Linijka z nasichkami Arhimed Nikomed i Apollonij opisali pobudovi z vikoristannyam markuvannya linijki Ce dozvolilo yim napriklad vzyati vidrizok dvi liniyi abo kola a takozh tochku a potim provesti liniyu yaka prohodit cherez zadanu tochku ta peretinaye obidvi liniyi takim chinom sho vidstan mizh tochkami peretinu dorivnyuye danomu vidrizku Ce greki nazivali neusis shilnist tendenciya abo mezhuye tak yak nova liniya pragne do tochki U cij rozshirenij shemi mi mozhemo diliti na tri rivni chastini dovilnij kut div trisekciya Arhimeda abo vidobuti dovilnij kubichnij korin metodom Nikomeda Otzhe bud yaka vidstan vidnoshennya yakoyi do zadanoyi vidstani ye rishennyam kubichnogo abo rivnyannya chetvertogo stepenya mozhna pobuduvati Pravilni bagatokutniki z micnimi konstrukciyami napriklad semikutnik konstruktivni i Dzhon H Konvej i Richard K Gaj opisali pobudovu deyakih z nih Pobudova nevsis ye bilsh potuzhnoyu nizh konichnij instrument dlya malyuvannya z yiyi dopomogoyu mozhna pobuduvati kompleksni chisla yaki ne mayut micnih konstrukcij Naspravdi za dopomogoyu cogo instrumentu mozhna virishiti deyaki rivnyannya visokogo stepenya yaki ne mozhna rozv yazati za dopomogoyu radikaliv Vidomo sho ne mozhna rozv yazati nezvidnij polinom z prostoyu stepenyu yaka bilshe abo dorivnyuye 7 z vikoristannyam nevsis pobudovi Otzhe ne predstavlyayetsya mozhlivim pobuduvati pravilnij 23 kutnik abo 29 kutnik za dopomogoyu cogo instrumentu Bendzhamin i Snajder doveli sho mozhna pobuduvati regulyarnij 11 kutnik ale ne nadali sposobu pobudovi Narazi zalishayetsya vidkritim pitannya shodo mozhlivosti pobudovi 25 ti ta 31 kutnika za dopomogoyu cogo instrumenta Obchislennya dvijkovih cifrU 1998 roci en dav algoritm dlya cirkulya i linijki yakij mozhe vikoristovuvatisya dlya obchislennya dvijkovih simvoliv pevnih chisel Algoritm vklyuchaye v sebe povtorne podvoyennya kuta i staye fizichno nepraktichnim pislya obchislennya blizko 20 dvijkovih simvoliv Div takozhZadacha Apolloniya Zadacha Brahmagupti GeoGebra ru ru programi dlya pobudovi za dopomogoyu cirkulya ta linijki Konstruktivne chislo en en en en dozvolyaye koristuvachu buduvati za dopomogoyu cirkulya ta pryamoyi liniyi a takozh manipulyuvati pobudovoyu bilshist z nih demonstruyut pobudovi cirkulem ta linijkoyu en matematik chiyeyu praceyu buv zbir nevirnih doveden za dopomogoyu linijki ta cirkulya PrimitkiUnderwood Dudley 1983 PDF The Mathematical Intelligencer 5 1 20 25 doi 10 1007 bf03023502 arhiv originalu PDF za 19 chervnya 2018 procitovano 9 kvitnya 2016 Godfried Toussaint A new look at Euclid s second proposition The Mathematical Intelligencer Vol 15 No 3 1993 pp 12 24 Bold Benjamin Famous Problems of Geometry and How to Solve Them Dover Publications 1982 orig 1969 Wantzel P M L 1837 Recherches sur les moyens de reconnaitre si un probleme de Geometrie peut se resoudre avec la regle et le compas PDF Journal de Mathematiques Pures et Appliquees 1 2 366 372 Procitovano 3 bereznya 2014 Weisstein Eric W Trigonometry Angles Pi 17 angl na sajti Wolfram MathWorld Stewart Ian Galois Theory s 75 Squaring the circle 1 travnya 2016 u Wayback Machine at MacTutor Kazarinoff Nicholas D 2003 Ruler and the Round Mineola N Y Dover s 29 30 ISBN 0 486 42515 0 Pascal Schreck Pascal Mathis Vesna Marinkoviċ and Predrag Janiciċ Wernick s list A final update Forum Geometricorum 16 2016 pp 69 80 http forumgeom fau edu FG2016volume16 FG201610 pdf 8 kvitnya 2016 u Wayback Machine Posamentier Alfred S and Lehmann Ingmar The Secrets of Triangles Prometheus Books 2012 Azad H and Laradji A Some impossible constructions in elementary geometry Mathematical Gazette 88 November 2004 548 551 T L Heath A History of Greek Mathematics Volume I P Hummel Solid constructions using ellipses The Pi Mu Epsilon Journal 11 8 429 435 2003 formula co ua Arhiv originalu za 21 grudnya 2016 Procitovano 9 grudnya 2016 Row T Sundara 1966 Geometric Exercises in Paper Folding New York Dover Conway John H and Richard Guy The Book of Numbers A Baragar Constructions using a Twice Notched Straightedge The American Mathematical Monthly 109 2 151 164 2002 Benjamin Elliot Snyder C 1 travnya 2014 Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society T 156 3 s 409 424 doi 10 1017 S0305004113000753 ISSN 0305 0041 Arhiv originalu za 20 grudnya 2016 Procitovano 10 grudnya 2016 Simon Plouffe 1998 Journal of Integer Sequences 1 ISSN 1530 7638 Arhiv originalu za 29 lyutogo 2012 Procitovano 19 serpnya 2017 Standart flaga Irana 21 chervnya 2012 u Wayback Machine pers LiteraturaA Adler Teoriya geometrichnih pobudov 27 travnya 2020 u Wayback Machine Pereklad z nimeckoyi G M Fihtengolca Vidannya tretye L Navchpedvid 1940 232 s I I Alyeksandrov Zbirnik geometrichnih zadach na pobudovu 7 grudnya 2007 u Wayback Machine Vidannya visimnadcyate M Navchpedvid 1950 176 s B I Argunov M B Balk Geometrichni pobudovi na ploshini 18 grudnya 2007 u Wayback Machine Posibnik dlya studentiv pedagogichnih institutiv Vidannya druge M Navchpedvid 1957 268 s O M Voronec Geometriya cirkulya 6 grudnya 2007 u Wayback Machine Populyarna biblioteka z matematiki pid zagalnoyu redakciyeyu L O Lyusternika M L ONTI 1934 40 s V O Gejler SOZh 1999 No 12 s 115 118 Yu I Manin Pro rozv yaznist zadach na pobudovu za dopomogoyu cirkulya ta linijki 18 zhovtnya 2009 u Wayback Machine Enciklopediya elementarnoyi matematiki kniga chetverta geometriya 18 veresnya 2011 u Wayback Machine M Fizmatvid 1963 568s Yu Petersen Metodi i teoriyi rozv yazku geometrichnih zadach na pobudovu 7 grudnya 2007 u Wayback Machine Moskva tipografiya E Lisnera ta Yu Romana 1892 VIII 114s V V Prasolov Tri klasichni zadachi na pobudovu Podvoyennya kuba trisekciya kuta kvadratura kruga 28 grudnya 2010 u Wayback Machine M Nauka 1992 80 s Seriya Populyarni lekciyi z matematiki vipusk 62 Ya Shtejner Geometrichni pobudovi vikonuvani za dopomogoyu pryamoyi liniyi ta neruhomogo kruga 7 grudnya 2007 u Wayback Machine M Navchpedvid 1939 80 s Fakultativnij kurs z matematiki Mikilska 80 Kostarchuk V M Pro mozhlive i nemozhlive v geometriyi cirkulya i linijki V M Kostarchuk B I Hacet K Radyanska shkola 1971 128 s PosilannyaOnline ruler and compass construction tool 24 kvitnya 2016 u Wayback Machine in French Regular polygon constructions 12 kvitnya 2008 u Wayback Machine by Dr Math at The Math Forum Drexel Construction with the Compass Only 14 travnya 2008 u Wayback Machine at cut the knot Angle Trisection by Hippocrates 14 travnya 2008 u Wayback Machine at cut the knot Weisstein Eric W Angle Trisection angl na sajti Wolfram MathWorld Various constructions using compass and straightedge 21 chervnya 2010 u Wayback Machine With interactive animated step by step instructions Math Tricks Help You Design Shop Projects master a simple compass and you re a designer convert your router into one with a trammel and away you go Popular Science May 1971 p104 106 108 Scanned article via Google Books https books google com books id ngAAAAAAMBAJ amp pg PA104 Visual Euclid 24 kvitnya 2016 u Wayback Machine slideshows of Euclidean constructions The Golden Ratio Determined Using a Ruler and Compass 22 kvitnya 2016 u Wayback Machine list of all the shortest constructions