Пара́бола (від грец. παραβολή) — геометричне місце точок, що рівновіддалені від точки і прямої. Одна з кривих другого порядку.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemxsTDFCaGNtRmliMnhoTG5OMlp5OHlNakJ3ZUMxUVlYSmhZbTlzWVM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Точка зветься фокусом, а пряма — (директрисою).
Парабола, гіпербола та еліпс є конічними перерізами. Парабола є конічним перерізом з одиничним ексцентриситетом. Якщо точкове джерело світла розміщене у фокусі параболоїдного дзеркала, то відбиті від поверхні промені розповсюджуватимуться паралельно.
Графік функції, котрий будують за допомогою полінома другого степеня від однієї змінної є параболою.
Історія
Першим та відомим дослідженням конічних перетинів є праця Менехма у четвертому столітті до н. е. Він знайшов спосіб вирішити задачу подвоєння куба за допомогою використання парабол, проте це рішення не відповідало вимогам побудови за допомогою циркуля і лінійки. Площа, обмежена параболою і лінійним відрізком, так званий «параболічний сегмент», була розрахована Архімедом за допомогою метода вичерпування в третьому столітті до н. е., і описана ним у роботі ». Назва «парабола» виникла завдяки Аполлонію, який дослідив багато властивостей конічних перетинів. Термін «парабола» означає «прикладання», що посилається на концепцію «прикладання або зіставлення площ», що має відношення і до цієї кривої, як довів Аполлоній. Властивість фокуса і директриси параболи та інших конічних перетинів знайшов Папп Александрійський.
Галілео показав, що снаряд падає по параболічній траєкторії, що є наслідком постійного прискорення через дію сили тяжіння.
Ідея, що за допомогою параболічного рефлектора можна утворити зображення, була відома задовго до винайдення першого рефлекторного телескопа. Відомі математики, такі як Рене Декарт, Марен Мерсенн, і Джеймс Грегорі., запропонували дизайн ще на початку і всередині сімнадцятого століття. Коли Ісаак Ньютон в 1668 побудував перший рефлекторний телескоп, він не став використовувати параболічне дзеркало через складність його виготовлення та обрав оптимальним сферичне дзеркало. Параболічні дзеркала використовуються у більшості сучасних рефлекторних телескопах, а також у супутникових тарілках і радіолокаторах.
Визначення параболи як геометричного місця точок
Цей розділ не містить . (19 жовтня 2023) |
Параболу можна визначити геометрично як множину точок (геометричне місце точок) в Евклідовому просторі:
- Парабола це множина точок, таких, що для будь-якої точкиt
в множині відстань
до фіксованої точки
, фокусу, дорівнює відстані
до фіксованої прямої
, директриси:
Середня точка утворена перпендикуляром із фокусу
до директриси
називається вершиною, а пряма
віссю симетрії параболи.
Рівняння
Цей розділ не містить . (19 жовтня 2023) |
Канонічне рівняння параболи в прямокутній системі координат:
(або
, якщо поміняти місцями осі).
Висновок |
---|
![]() Рівняння директриси
Після підняття в квадрат і деяких перетворень виходить рівносильне рівняння |
Квадратне рівняння при
також являє собою параболу і графічно теж її зображують тією ж параболою, що і
, але на відміну від останньої має вершину не в початку координат, а в деякій точці
, координати якої обчислюють за формулами:
Рівняння може бути представлено у вигляді
, а у випадку переносу початку координат в точку
канонічним рівнянням. Таким чином для кожного квадратного рівняння можна знайти систему координат таку, що в цій системі воно представиться канонічним.
Розрахунок коефіцієнтів квадратного рівняння
Якщо для рівняння відомі координати 3-х різних точок його графіка
,
,
, то його коефіцієнти можуть бути знайдені так:
Властивості
Цей розділ не містить . (19 жовтня 2023) |
- Парабола — крива другого порядку.
- Вона має вісь симетрії, що називається віссю параболи. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.
- Оптична властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що розміщене у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів.
- Для параболи
фокус розміщений у точці (0,25; 0).
- Якщо фокус параболи дзеркально відобразити щодо дотичної, то його буде лежати на директрисі.
- Парабола є прямій.
- Всі параболи подібні. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб.
- При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить .
- Еволютою параболи є напівкубічна парабола.
Побудова
Параболу y=ax2+bx+с будують за алгоритмом (через п'ять основних точок):
- Визначити напрям рогів параболи за знаком першого коефіцієнта: a>0 — роги направлені вверх. Якщо a<0, то роги параболи направлені вниз.
- Обчислити координати вершини параболи x0= -b/2a і y0=y(x0)
- Відмітити вершину параболи на координатній площині і через неї провести ось симетрії параболи x=x0
- Знайти точку перетину параболи з віссю OY (0;с) і відмітити їй симетричну
- Розв'язати квадратне рівняння ax2+bx+с=0 і відмітити точки на осі OX (x1;0) (x2;0)
- Через відмічені п'ять точок провести параболу.
Параболу можна побудувати «по точках», не знаючи рівняння і маючи в наявності тільки фокус і директрису. Вершина є серединою відрізка між фокусом і директрисою. На директрисі задається довільна система відліку з потрібним . Кожна наступна точка є перетином серединного перпендикуляра відрізка між фокусом і точкою директриси, що знаходиться на кратному одиничному відрізку відстані від початку відліку, і прямої, що проходить через цю точку і паралельна осі параболи.
Властивості дотичних
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelJsTDFCaGNtRmlaV3d0YjNKMGFHOXdMbk4yWnk4eU1qQndlQzFRWVhKaFltVnNMVzl5ZEdodmNDNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Дві властивості пов'язані з фокальним параметром
Нехай лінія симетрії перетинає параболу в точці Q, точку фокуса позначимо як F а відстань від неї до точки Q позначимо як f. Нехай перпендикуляр до лінії симетрії, що проходить крізь фокус, перетинає параболу в точці T. Тоді (1) відстань від F до T дорівнює 2f, а (2) дотична до параболи в точці T перетинає лінію симетрії під кутом 45°.
Ортоптична властивість
Якщо дві дотичні параболи перпендикулярні одна одній, тоді вони перетинаються в точці на директрисі. І навпаки, дві дотичні, що перетинаються на директрисі — перпендикулярні.
Теорема Ламберта
Нехай три дотичні до параболи утворюють трикутник. Тоді теорема Ламберта стверджує, що фокус параболи знаходиться на колі, що описує трикутник.
Парабола у декартовій системі координат
Вісь симетрії параболи паралельна осі y
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelk0TDFCaGNtRmlaV3d0WkdWbUxYQXRkaTV6ZG1jdk1qSXdjSGd0VUdGeVlXSmxiQzFrWldZdGNDMTJMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekkyTDFCaGNtRmlaV3d0Y0hrdWMzWm5Mekl5TUhCNExWQmhjbUZpWld3dGNIa3VjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelF3TDFCaGNtRmlaV3d0WVdKakxuTjJaeTh5TWpCd2VDMVFZWEpoWW1Wc0xXRmlZeTV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Якщо обрати декартові координати таким чином, що і деректриса матиме рівняння
отримаємо точку
із
що задає рівняння
. Розв'язавши його для
отримаємо
.
Парабола має U-подібну форму (відкриту до гори).
Довжина горизонтальної хорди, що проходить через точку фокусу (див. малюнок) називається фокусним параметром, половина якого є половиною фокусного параметра що позначається як . Із зображення отримаємо
.
Фокусний параметр визначається аналогічним чином для еліпса і гіперболи. Для параболи це відстань від фокусу до директриси. Використовуючи параметр
, рівняння параболи можна записати наступним чином
.
У більш загальному випадку, якщо вершина дорівнює , фокус
і директриса має рівняння
отримаємо рівняння
.
Зауваження:
- У випадку коли
парабола відкрита вниз.
- Припущення, що вісь симетрії паралельна осі y дозволяє розглядати параболу у вигляді графіку полінома із степенем 2 і навпаки: Графіком довільного полінома із степенем 2 є парабола.
- Якщо замінити місцями
і
, отримаємо рівняння
парабол, в яких відкрита частина направлена ліворуч (якщо
) або праворуч (якщо
).
Загальний випадок
Якщо фокус дорівнює а директриса
отримаємо наступне рівняння
(В лівій частині рівняння для розрахунку відстані використана [en] для прямої.)
неявне рівняння параболи визначено незвідним багаточленом із степенем два
Парабола як графік функції
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkk1TDFCaGNtRmlaV3h1TFhaaGNpMXpMbk4yWnk4eU1qQndlQzFRWVhKaFltVnNiaTEyWVhJdGN5NXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Будь-яку параболу із вершиною у початку координат і віссю , що є віссю симетрії параболи можна розглянути у вигляді графіку функції
.
Для направлено відкритою частиною в гору, а при
відкрита вниз. Із попередніх розділів отримуємо:
- Фокус це
,
- фокусна відстань —
, фокальний параметр дорівнює
,
- вершина це
,
- директриса має рівняння
,
- дотична в точці
має рівняння
,
Для парабола є одиничною параболою і задається рівнянням
. Її фокусом є
, фокальним параметр дорівнює
і директриса має рівняння
.
Загальний вигляд рівняння функції із степенем 2 буде наступним
.
Доповнюючи до повного квадрата, отримаємо
,
що є рівнянням параболі із
- віссю
(паралельною осі y),
- фокусною відстанню
, і фокальним параметром
,
- вершиною
,
- фокусом
,
- директрисою
,
- точкою, в якій парабола перетинає вісь y матиме координати
,
- дотична в точці на осі y матиме рівняння
.
Парабола як особливий випадок конічного перетину
Цей розділ не містить . (19 жовтня 2023) |
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemMwTDB0bFoyVnNjMk5vYm1sMGRDMXpZMmhoY2kxbGRpNXpkbWN2TWpJd2NIZ3RTMlZuWld4elkyaHVhWFIwTFhOamFHRnlMV1YyTG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Родину конічних перетинів в яких вісь x є віссю симетрії, одна вершина знаходиться в початку координат (0,0) і які мають однакове значення половини фокусного параметра можна задати наступним рівнянням
,
де задає Ексцентриситет.
- При
конічним перетином є коло,
- При
— еліпс,
- При
— парабола із рівнянням
і
- При
буде отримана гіпербола (див. малюнок).
Парабола в полярних координатах
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMell5TDB0bFoyVnNjMk5vYm1sMGRITmphR0Z5TFhCdmJHRnlMV1V1YzNabkx6SXlNSEI0TFV0bFoyVnNjMk5vYm1sMGRITmphR0Z5TFhCdmJHRnlMV1V1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Якщо p > 0, парабола із рівнянням (із відритою частиною направленою праворуч) матиме полярні координати наступного вигляду:
- (
.)
Її вершина матиме координати а фокус буде заданий як
.
Якщо в початок координат розмістити фокус, тобто, , отримаємо рівняння
Зауваження 1: Шляхом інвертування цієї полярної форми можна показати: що парабола це обернена до кардіоїди.
Зауваження 2: Друга форма полярних координат є особливим випадком із родини конічних перетинів із фокусом (див. зображення):
, (
: ексцентриситет).
Властивість відбивання променів
Цей розділ не містить . (19 жовтня 2023) |
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekF4TDFCaGNtRmlaV3hmTWk1emRtY3ZNakl3Y0hndFVHRnlZV0psYkY4eUxuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Рефлективна властивість параболи означає що, якщо парабола може відбивати промені світла, тоді те світло, що потрапляє на неї і проходить паралельно осі симетрії відбивається в її точку фокуса. Цей висновок можна отримати із хвильової природи світла. Він правильний, але таке обґрунтування може бути недостатнім, аби бути математичним доказом. В наведеному далі доказі, факт, що кожна точка параболи є рівновіддаленою від фокусу і директриси приймається як аксіома.
Розглянемо параболу y = x2. Оскільки всі параболи подібні, цей простий випадок відповідатиме усім іншим. Діаграма праворуч показує частину такої параболи.
Побудова і визначення
Точка E є довільною точку на параболі, із координатами (x, x2). Фокус позначено як F, а вершину параболи як A (знаходиться у початку координат), а пряма FA (вісь y) є віссю симетрії. Пряма EC паралельна осі симетрії, і перетинає вісь x в точці D. Точка C розміщена на директрисі (яка не показана, аби спростити діаграму). Точка B є серединою лінійного відрізку FC.
Дедукція
Якщо вимірювати здовж осі симетрії, вершина A є рівновіддаленою від фокусу F і від директриси. Відповідно до теореми Фалеса про пропорційні відрізки, оскільки C знаходиться на директрисі, y-координати точки F і C є рівними за абсолютним значенням але мають протилежний знак. B є середньою точкою відрізку FC, тому її y-координата дорівнює нулю, тому вона знаходиться на осі x. Її x-координата є половиною від значення координати точок E, D, і C, тобто, x/2. Кутовий коефіцієнт прямого відрізку BE задається довжинами відрізків ED і BD, і становить x2/x/2, що зводиться до значення 2x. Але 2x є також кутових коефіцієнтом (першою похідною) параболи в точці E. Тому, пряма BE є дотичною до параболи в точці E.
Відстані EF і EC є рівними, оскільки E є точкою параболи, F є точкою фокусу а C — директриси. Тому, оскільки B є середньою точкою відрізку FC, трикутники △FEB і △CEB є конгруентними (по трьом сторонам), наслідком чого є те, що кути відмічені літерою α є також конгруентними. (кут над E є вертикально протилежним кутом ∠BEC.) Це означає, що промінь світла, який потрапляє на параболу і проходить до точки E паралельно осі симетрії, буде відбиватися від прямої BE і в результаті буде слідувати по прямій EF, що показано червоним на малюнку (припускаючи що світло може відбиватися від прямих). Оскільки BE є дотичною до параболи в точці E, так само світло відбиватиметься від нескінченно малої ділянки дуги параболи в точці E. Таким чином, світло, яке потрапляє до параболи і проходить до точки E паралельно осі симетрії параболи відбивається параболою в точку фокусу.
Точка E не має особливих властивостей. Цей висновок щодо відбитого світла є вірним для усіх точок параболи, як показано в лівій частині зображення. Це є властивістю параболи.
Параболічні форми у природі, техніці та архітектурі
Цей розділ не містить . (19 жовтня 2023) |
Траєкторії деяких космічних тіл (комет, астероїдів та інших), що проходять поблизу зорі або іншого масивного об'єкта на досить великій швидкості мають форму параболи (або гіперболи). Ці тіла внаслідок своєї великої швидкості і малої маси не захоплюються гравітаційним полем зорі і продовжують вільний політ. Це явище використовується для гравітаційних маневрів космічних кораблів (зокрема апаратів Вояджер).
При відсутності опору повітря траєкторія польоту тіла в однорідному гравітаційному полі є параболою.
При обертанні посудини з рідиною навколо вертикальної осі поверхня рідини в посудині і вертикальна площина перетинаються по параболі.
Властивість параболи фокусувати пучок променів, паралельних осі параболи, використовується в конструкціях прожекторів, ліхтарів, фар, а також телескопів-рефлекторів (оптичних, інфрачервоних, радіо тощо), в конструкції вузькоспрямованих (супутникових та інших) антен, необхідних для передавання даних на великі відстані, сонячних електростанцій і в інших галузях.
Форма параболи іноді використовується в архітектурі під час будівництва дахів і куполів.
- Параболічна орбіта супутника
- Падіння баскетбольного м'яча
- Параболічна сонячна електростанція в Каліфорнії, США
- Бібліотека з дахом у формі параболи, норвезьке місто Тромсьо
- Параболічна форма поверхні рідини під час обертання. Дві рідини різної густини повністю заповнюють вузький простір між двома листами прозорого пластику. Проміжок між листами закрито знизу, з боків і зверху. Вся конструкція обертається навколо вертикальної осі, що проходить через центр.
Див. також
Посилання
- Парабола // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 112-114. — 594 с.
- Парабола // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 145. — .
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
Джерела
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Парабола |
Вікіджерела містять текст із Encyclopædia Britannica (1911) стаття Parabola. |
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Parabola, Математична енциклопедія, , ISBN
- Weisstein, Eric W. Parabola(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms
- Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at cut-the-knot
- Two Tangents to Parabola at cut-the-knot
- Parabola As Envelope of Straight Lines at cut-the-knot
- Parabolic Mirror at cut-the-knot
- Three Parabola Tangents at cut-the-knot
- Focal Properties of Parabola at cut-the-knot
- Parabola As Envelope II at cut-the-knot
- The similarity of parabola at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketch.
- Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659
- (рос.)
- Бронштейн И., Парабола, журнал"Квант, № 4, 1975.(рос.)
- А. А. Акопян, А. В. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка. Москва, Издательство МЦНМО, 2007 год.(рос.)
Примітки
- Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone? - Deriving the Symptom of the Parabola - Mathematical Association of America. Процитовано 30 вересня 2016.
- Wilson, Ray N. (2004). Reflecting Telescope Optics: Basic design theory and its historical development (вид. 2). Springer. с. 3. ISBN . Extract of page 3
- Stargazer, p. 115.
- Stargazer, pp. 123 and 132
- Fitzpatrick, Richard (14 липня 2007). Spherical Mirrors. Electromagnetism and Optics, lectures. University of Texas at Austin. Paraxial Optics. Процитовано 5 жовтня 2011.
- Downs, J. W. (2003). Practical Conic Sections. Dover Publishing.[]
- Sondow, Jonathan (2013). The parbelos, a parabolic analog of the arbelos. American Mathematical Monthly. 120: 929—935. arXiv:1210.2279. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.10.929.
Ця стаття містить текст, що не відповідає . (19 жовтня 2023) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Parabola znachennya Para bola vid grec parabolh geometrichne misce tochok sho rivnoviddaleni vid tochki i pryamoyi Odna z krivih drugogo poryadku Tochka zvetsya fokusom a pryama direktrisoyu Parabola giperbola ta elips ye konichnimi pererizami Parabola ye konichnim pererizom z odinichnim ekscentrisitetom Yaksho tochkove dzherelo svitla rozmishene u fokusi paraboloyidnogo dzerkala to vidbiti vid poverhni promeni rozpovsyudzhuvatimutsya paralelno Grafik funkciyi kotrij buduyut za dopomogoyu polinoma drugogo stepenya vid odniyeyi zminnoyi ye paraboloyu IstoriyaParabolichnij cirkul vinajdenij Leonardo da Vinchi Pershim ta vidomim doslidzhennyam konichnih peretiniv ye pracya Menehma u chetvertomu stolitti do n e Vin znajshov sposib virishiti zadachu podvoyennya kuba za dopomogoyu vikoristannya parabol prote ce rishennya ne vidpovidalo vimogam pobudovi za dopomogoyu cirkulya i linijki Plosha obmezhena paraboloyu i linijnim vidrizkom tak zvanij parabolichnij segment bula rozrahovana Arhimedom za dopomogoyu metoda vicherpuvannya v tretomu stolitti do n e i opisana nim u roboti inshi movi Nazva parabola vinikla zavdyaki Apolloniyu yakij doslidiv bagato vlastivostej konichnih peretiniv Termin parabola oznachaye prikladannya sho posilayetsya na koncepciyu prikladannya abo zistavlennya plosh sho maye vidnoshennya i do ciyeyi krivoyi yak doviv Apollonij Vlastivist fokusa i direktrisi paraboli ta inshih konichnih peretiniv znajshov Papp Aleksandrijskij Galileo pokazav sho snaryad padaye po parabolichnij trayektoriyi sho ye naslidkom postijnogo priskorennya cherez diyu sili tyazhinnya Ideya sho za dopomogoyu parabolichnogo reflektora mozhna utvoriti zobrazhennya bula vidoma zadovgo do vinajdennya pershogo reflektornogo teleskopa Vidomi matematiki taki yak Rene Dekart Maren Mersenn i Dzhejms Gregori zaproponuvali dizajn she na pochatku i vseredini simnadcyatogo stolittya Koli Isaak Nyuton v 1668 pobuduvav pershij reflektornij teleskop vin ne stav vikoristovuvati parabolichne dzerkalo cherez skladnist jogo vigotovlennya ta obrav optimalnim sferichne dzerkalo Parabolichni dzerkala vikoristovuyutsya u bilshosti suchasnih reflektornih teleskopah a takozh u suputnikovih tarilkah i radiolokatorah Viznachennya paraboli yak geometrichnogo miscya tochokCej rozdil ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cej rozdil dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno 19 zhovtnya 2023 Parabolu mozhna viznachiti geometrichno yak mnozhinu tochok geometrichne misce tochok v Evklidovomu prostori Parabola ce mnozhina tochok takih sho dlya bud yakoyi tochkit P displaystyle P v mnozhini vidstan PF displaystyle PF do fiksovanoyi tochki F displaystyle F fokusu dorivnyuye vidstani Pl displaystyle Pl do fiksovanoyi pryamoyi l displaystyle l direktrisi P PF Pl displaystyle P PF Pl Serednya tochka V displaystyle V utvorena perpendikulyarom iz fokusu F displaystyle F do direktrisi l displaystyle l nazivayetsya vershinoyu a pryama FV displaystyle FV vissyu simetriyi paraboli RivnyannyaCej rozdil ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cej rozdil dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno 19 zhovtnya 2023 Kanonichne rivnyannya paraboli v pryamokutnij sistemi koordinat y2 2px displaystyle textstyle y 2 2px abo x2 2py displaystyle textstyle x 2 2py yaksho pominyati miscyami osi VisnovokRivnyannya direktrisi PQ displaystyle PQ x p2 0 displaystyle textstyle x frac p 2 0 fokus F p2 0 displaystyle textstyle F left frac p 2 0 right takim chinom pochatok koordinat O displaystyle O seredina vidrizu CF displaystyle CF Za oznachennyam paraboli dlya bud yakoyi tochki M displaystyle M sho lezhit na nij vikonuyetsya rivnist KM FM displaystyle KM FM KM KD DM p2 x displaystyle textstyle KM KD DM frac p 2 x i FM x p2 2 y2 displaystyle textstyle FM sqrt left x frac p 2 right 2 y 2 todi rivnist prijmaye viglyad x p2 2 y2 p2 x displaystyle sqrt left x frac p 2 right 2 y 2 frac p 2 x Pislya pidnyattya v kvadrat i deyakih peretvoren vihodit rivnosilne rivnyannya y2 2px displaystyle y 2 2px Kvadratne rivnyannya y ax2 bx c displaystyle y ax 2 bx c pri a 0 displaystyle a neq 0 takozh yavlyaye soboyu parabolu i grafichno tezh yiyi zobrazhuyut tiyeyu zh paraboloyu sho i y ax2 displaystyle y ax 2 ale na vidminu vid ostannoyi maye vershinu ne v pochatku koordinat a v deyakij tochci A displaystyle A koordinati yakoyi obchislyuyut za formulami xB b2a yB D4a yB F xB displaystyle x B frac b 2a y B frac D 4a y B F x B Rivnyannya y ax2 bx c displaystyle y ax 2 bx c mozhe buti predstavleno u viglyadi y a x xA 2 yA displaystyle y a x x A 2 y A a u vipadku perenosu pochatku koordinat v tochku A displaystyle A kanonichnim rivnyannyam Takim chinom dlya kozhnogo kvadratnogo rivnyannya mozhna znajti sistemu koordinat taku sho v cij sistemi vono predstavitsya kanonichnim Rozrahunok koeficiyentiv kvadratnogo rivnyannya Yaksho dlya rivnyannya y ax2 bx c displaystyle y ax 2 bx c vidomi koordinati 3 h riznih tochok jogo grafika x1 y1 displaystyle x 1 y 1 x2 y2 displaystyle x 2 y 2 x3 y3 displaystyle x 3 y 3 to jogo koeficiyenti mozhut buti znajdeni tak a y3 x3 y2 y1 x2y1 x1y2x2 x1x3 x3 x1 x2 x1x2 b y2 y1x2 x1 a x1 x2 c x2y1 x1y2x2 x1 ax1x2 displaystyle a frac y 3 frac x 3 y 2 y 1 x 2 y 1 x 1 y 2 x 2 x 1 x 3 x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 b frac y 2 y 1 x 2 x 1 a x 1 x 2 c frac x 2 y 1 x 1 y 2 x 2 x 1 ax 1 x 2 VlastivostiCej rozdil ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cej rozdil dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno 19 zhovtnya 2023 Parabola kriva drugogo poryadku Vona maye vis simetriyi sho nazivayetsya vissyu paraboli Vis prohodit cherez fokus i perpendikulyarna direktrisi Optichna vlastivist Puchok promeniv paralelnih osi paraboli vidbivayuchis u paraboli zbirayetsya v yiyi fokusi I navpaki svitlo vid dzherela sho rozmishene u fokusi vidobrazhayetsya paraboloyu v puchok paralelnih yiyi osi promeniv Dlya paraboli y2 x displaystyle y 2 x fokus rozmishenij u tochci 0 25 0 Yaksho fokus paraboli dzerkalno vidobraziti shodo dotichnoyi to jogo bude lezhati na direktrisi Parabola ye pryamij Vsi paraboli podibni Vidstan mizh fokusom i direktrisoyu viznachaye masshtab Pri obertanni paraboli navkolo osi simetriyi vihodit Evolyutoyu paraboli ye napivkubichna parabola PobudovaParabolu y ax2 bx s buduyut za algoritmom cherez p yat osnovnih tochok Viznachiti napryam rogiv paraboli za znakom pershogo koeficiyenta a gt 0 rogi napravleni vverh Yaksho a lt 0 to rogi paraboli napravleni vniz Obchisliti koordinati vershini paraboli x0 b 2a i y0 y x0 Vidmititi vershinu paraboli na koordinatnij ploshini i cherez neyi provesti os simetriyi paraboli x x0Znajti tochku peretinu paraboli z vissyu OY 0 s i vidmititi yij simetrichnuRozv yazati kvadratne rivnyannya ax2 bx s 0 i vidmititi tochki na osi OX x1 0 x2 0 Cherez vidmicheni p yat tochok provesti parabolu Parabolu mozhna pobuduvati po tochkah ne znayuchi rivnyannya i mayuchi v nayavnosti tilki fokus i direktrisu Vershina ye seredinoyu vidrizka mizh fokusom i direktrisoyu Na direktrisi zadayetsya dovilna sistema vidliku z potribnim Kozhna nastupna tochka ye peretinom seredinnogo perpendikulyara vidrizka mizh fokusom i tochkoyu direktrisi sho znahoditsya na kratnomu odinichnomu vidrizku vidstani vid pochatku vidliku i pryamoyi sho prohodit cherez cyu tochku i paralelna osi paraboli Vlastivosti dotichnih Perpendikulyarni dotichni peretinayutsya na direktrisiDvi vlastivosti pov yazani z fokalnim parametrom Nehaj liniya simetriyi peretinaye parabolu v tochci Q tochku fokusa poznachimo yak F a vidstan vid neyi do tochki Q poznachimo yak f Nehaj perpendikulyar do liniyi simetriyi sho prohodit kriz fokus peretinaye parabolu v tochci T Todi 1 vidstan vid F do T dorivnyuye 2f a 2 dotichna do paraboli v tochci T peretinaye liniyu simetriyi pid kutom 45 p 26 Ortoptichna vlastivist Yaksho dvi dotichni paraboli perpendikulyarni odna odnij todi voni peretinayutsya v tochci na direktrisi I navpaki dvi dotichni sho peretinayutsya na direktrisi perpendikulyarni Teorema Lamberta Nehaj tri dotichni do paraboli utvoryuyut trikutnik Todi teorema Lamberta stverdzhuye sho fokus paraboli znahoditsya na koli sho opisuye trikutnik Corollary 20Parabola u dekartovij sistemi koordinatVis simetriyi paraboli paralelna osi y Parabola Viznachennya p polovini fokusnogo parametraParabola vis paralelna osi yParabola zagalnij vipadok Yaksho obrati dekartovi koordinati takim chinom sho F 0 f f gt 0 displaystyle F 0 f f gt 0 i derektrisa matime rivnyannya y f displaystyle y f otrimayemo tochku P x y displaystyle P x y iz PF 2 Pl 2 displaystyle PF 2 Pl 2 sho zadaye rivnyannya x2 y f 2 y f 2 displaystyle x 2 y f 2 y f 2 Rozv yazavshi jogo dlya y displaystyle y otrimayemo y 14fx2 displaystyle y frac 1 4f x 2 Parabola maye U podibnu formu vidkritu do gori Dovzhina gorizontalnoyi hordi sho prohodit cherez tochku fokusu div malyunok nazivayetsya fokusnim parametrom polovina yakogo ye polovinoyu fokusnogo parametra sho poznachayetsya yak p displaystyle p Iz zobrazhennya otrimayemo p 2f displaystyle p 2f Fokusnij parametr viznachayetsya analogichnim chinom dlya elipsa i giperboli Dlya paraboli p displaystyle p ce vidstan vid fokusu do direktrisi Vikoristovuyuchi parametr p displaystyle p rivnyannya paraboli mozhna zapisati nastupnim chinom x2 2py displaystyle x 2 2py U bilsh zagalnomu vipadku yaksho vershina dorivnyuye V v1 v2 displaystyle V v 1 v 2 fokus F v1 v2 f displaystyle F v 1 v 2 f i direktrisa maye rivnyannya y v2 f displaystyle y v 2 f otrimayemo rivnyannya y 14f x v1 2 v2 14fx2 v12fx v124f v2 displaystyle y frac 1 4f x v 1 2 v 2 frac 1 4f x 2 frac v 1 2f x frac v 1 2 4f v 2 Zauvazhennya U vipadku koli f lt 0 displaystyle f lt 0 parabola vidkrita vniz Pripushennya sho vis simetriyi paralelna osi y dozvolyaye rozglyadati parabolu u viglyadi grafiku polinoma iz stepenem 2 i navpaki Grafikom dovilnogo polinoma iz stepenem 2 ye parabola Yaksho zaminiti miscyami x displaystyle x i y displaystyle y otrimayemo rivnyannya y2 2px displaystyle y 2 2px parabol v yakih vidkrita chastina napravlena livoruch yaksho p lt 0 displaystyle p lt 0 abo pravoruch yaksho p gt 0 displaystyle p gt 0 Zagalnij vipadok Yaksho fokus dorivnyuye F f1 f2 displaystyle F f 1 f 2 a direktrisa ax by c 0 displaystyle ax by c 0 otrimayemo nastupne rivnyannya ax by c 2a2 b2 x f1 2 y f2 2 displaystyle frac left ax by c right 2 a 2 b 2 left x f 1 right 2 left y f 2 right 2 V livij chastini rivnyannya dlya rozrahunku vidstani Pl displaystyle Pl vikoristana en dlya pryamoyi neyavne rivnyannya paraboli viznacheno nezvidnim bagatochlenom iz stepenem dva ax2 bxy cy2 dx ey f 0 displaystyle ax 2 bxy cy 2 dx ey f 0 Parabola yak grafik funkciyiGrafiki parabol y ax2 displaystyle y ax 2 Bud yaku parabolu iz vershinoyu u pochatku koordinat i vissyu y displaystyle y sho ye vissyu simetriyi paraboli mozhna rozglyanuti u viglyadi grafiku funkciyi f x ax2 with a 0 displaystyle f x ax 2 text with a neq 0 Dlya a gt 0 displaystyle a gt 0 napravleno vidkritoyu chastinoyu v goru a pri a lt 0 displaystyle a lt 0 vidkrita vniz Iz poperednih rozdiliv otrimuyemo Fokus ce 0 14a displaystyle left 0 frac 1 4a right fokusna vidstan 14a displaystyle frac 1 4a fokalnij parametr dorivnyuye p 12a displaystyle p frac 1 2a vershina ce 0 0 displaystyle left 0 0 right direktrisa maye rivnyannya y 14a displaystyle y frac 1 4a dotichna v tochci x0 ax02 displaystyle left x 0 ax 0 2 right maye rivnyannya y 2ax0x ax02 displaystyle y 2ax 0 x ax 0 2 Dlya a 1 displaystyle a 1 parabola ye odinichnoyu paraboloyu i zadayetsya rivnyannyam y x2 displaystyle y x 2 Yiyi fokusom ye 0 14 displaystyle left 0 tfrac 1 4 right fokalnim parametr dorivnyuye p 12 displaystyle p tfrac 1 2 i direktrisa maye rivnyannya y 14 displaystyle y tfrac 1 4 Zagalnij viglyad rivnyannya funkciyi iz stepenem 2 bude nastupnim f x ax2 bx c with a b c R a 0 displaystyle f x ax 2 bx c text with a b c in mathbb R a neq 0 Dopovnyuyuchi do povnogo kvadrata otrimayemo f x a x b2a 2 4ac b24a displaystyle f x a left x frac b 2a right 2 frac 4ac b 2 4a sho ye rivnyannyam paraboli iz vissyu x b2a displaystyle x frac b 2a paralelnoyu osi y fokusnoyu vidstannyu 14a displaystyle frac 1 4a i fokalnim parametrom p 12a displaystyle p frac 1 2a vershinoyu V b2a 4ac b24a displaystyle V left frac b 2a frac 4ac b 2 4a right fokusom F b2a 4ac b2 14a displaystyle F left frac b 2a frac 4ac b 2 1 4a right direktrisoyu y 4ac b2 14a displaystyle y frac 4ac b 2 1 4a tochkoyu v yakij parabola peretinaye vis y matime koordinati 0 c displaystyle left 0 c right dotichna v tochci na osi y matime rivnyannya y bx c displaystyle y bx c Parabola yak osoblivij vipadok konichnogo peretinuCej rozdil ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cej rozdil dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno 19 zhovtnya 2023 Konichni peretini iz spilnoyu vershinoyu Rodinu konichnih peretiniv v yakih vis x ye vissyu simetriyi odna vershina znahoditsya v pochatku koordinat 0 0 i yaki mayut odnakove znachennya polovini fokusnogo parametra p displaystyle p mozhna zadati nastupnim rivnyannyam y2 2px e2 1 x2 e 0 displaystyle y 2 2px e 2 1 x 2 qquad e geq 0 de e displaystyle e zadaye Ekscentrisitet Pri e 0 displaystyle e 0 konichnim peretinom ye kolo Pri 0 lt e lt 1 displaystyle 0 lt e lt 1 elips Pri e 1 displaystyle e 1 parabola iz rivnyannyam y2 2px displaystyle y 2 2px i Pri e gt 1 displaystyle e gt 1 bude otrimana giperbola div malyunok Parabola v polyarnih koordinatahRodina konichnih krivih iz spilnim fokusom Yaksho p gt 0 parabola iz rivnyannyam y2 2px displaystyle y 2 2px iz vidritoyu chastinoyu napravlenoyu pravoruch matime polyarni koordinati nastupnogo viglyadu r 2pcos fsin2 f with f p2 p2 0 displaystyle r 2p frac cos varphi sin 2 varphi text with varphi in left tfrac pi 2 tfrac pi 2 right setminus 0 r2 x2 y2 x rcos f displaystyle r 2 x 2 y 2 x r cos varphi Yiyi vershina matime koordinati V 0 0 displaystyle V 0 0 a fokus bude zadanij yak F p2 0 displaystyle F left tfrac p 2 0 right Yaksho v pochatok koordinat rozmistiti fokus tobto F 0 0 displaystyle F 0 0 otrimayemo rivnyannya r p1 cos f with f 2pk displaystyle r frac p 1 cos varphi text with varphi neq 2 pi k Zauvazhennya 1 Shlyahom invertuvannya ciyeyi polyarnoyi formi mozhna pokazati sho parabola ce obernena do kardioyidi Zauvazhennya 2 Druga forma polyarnih koordinat ye osoblivim vipadkom iz rodini konichnih peretiniv iz fokusom F 0 0 displaystyle F 0 0 div zobrazhennya r p1 ecos f displaystyle r frac p 1 e cos varphi e displaystyle e ekscentrisitet Vlastivist vidbivannya promenivCej rozdil ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cej rozdil dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno 19 zhovtnya 2023 Reflektivna vlastivist paraboli Reflektivna vlastivist paraboli oznachaye sho yaksho parabola mozhe vidbivati promeni svitla todi te svitlo sho potraplyaye na neyi i prohodit paralelno osi simetriyi vidbivayetsya v yiyi tochku fokusa Cej visnovok mozhna otrimati iz hvilovoyi prirodi svitla Vin pravilnij ale take obgruntuvannya mozhe buti nedostatnim abi buti matematichnim dokazom V navedenomu dali dokazi fakt sho kozhna tochka paraboli ye rivnoviddalenoyu vid fokusu i direktrisi prijmayetsya yak aksioma Rozglyanemo parabolu y x2 Oskilki vsi paraboli podibni cej prostij vipadok vidpovidatime usim inshim Diagrama pravoruch pokazuye chastinu takoyi paraboli Pobudova i viznachennya Tochka E ye dovilnoyu tochku na paraboli iz koordinatami x x2 Fokus poznacheno yak F a vershinu paraboli yak A znahoditsya u pochatku koordinat a pryama FA vis y ye vissyu simetriyi Pryama EC paralelna osi simetriyi i peretinaye vis x v tochci D Tochka C rozmishena na direktrisi yaka ne pokazana abi sprostiti diagramu Tochka B ye seredinoyu linijnogo vidrizku FC Dedukciya Yaksho vimiryuvati zdovzh osi simetriyi vershina A ye rivnoviddalenoyu vid fokusu F i vid direktrisi Vidpovidno do teoremi Falesa pro proporcijni vidrizki oskilki C znahoditsya na direktrisi y koordinati tochki F i C ye rivnimi za absolyutnim znachennyam ale mayut protilezhnij znak B ye serednoyu tochkoyu vidrizku FC tomu yiyi y koordinata dorivnyuye nulyu tomu vona znahoditsya na osi x Yiyi x koordinata ye polovinoyu vid znachennya koordinati tochok E D i C tobto x 2 Kutovij koeficiyent pryamogo vidrizku BE zadayetsya dovzhinami vidrizkiv ED i BD i stanovit x2 x 2 sho zvoditsya do znachennya 2x Ale 2x ye takozh kutovih koeficiyentom pershoyu pohidnoyu paraboli v tochci E Tomu pryama BE ye dotichnoyu do paraboli v tochci E Vidstani EF i EC ye rivnimi oskilki E ye tochkoyu paraboli F ye tochkoyu fokusu a C direktrisi Tomu oskilki B ye serednoyu tochkoyu vidrizku FC trikutniki FEB i CEB ye kongruentnimi po trom storonam naslidkom chogo ye te sho kuti vidmicheni literoyu a ye takozh kongruentnimi kut nad E ye vertikalno protilezhnim kutom BEC Ce oznachaye sho promin svitla yakij potraplyaye na parabolu i prohodit do tochki E paralelno osi simetriyi bude vidbivatisya vid pryamoyi BE i v rezultati bude sliduvati po pryamij EF sho pokazano chervonim na malyunku pripuskayuchi sho svitlo mozhe vidbivatisya vid pryamih Oskilki BE ye dotichnoyu do paraboli v tochci E tak samo svitlo vidbivatimetsya vid neskinchenno maloyi dilyanki dugi paraboli v tochci E Takim chinom svitlo yake potraplyaye do paraboli i prohodit do tochki E paralelno osi simetriyi paraboli vidbivayetsya paraboloyu v tochku fokusu Tochka E ne maye osoblivih vlastivostej Cej visnovok shodo vidbitogo svitla ye virnim dlya usih tochok paraboli yak pokazano v livij chastini zobrazhennya Ce ye vlastivistyu paraboli Parabolichni formi u prirodi tehnici ta arhitekturiCej rozdil ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cej rozdil dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno 19 zhovtnya 2023 Trayektoriyi deyakih kosmichnih til komet asteroyidiv ta inshih sho prohodyat poblizu zori abo inshogo masivnogo ob yekta na dosit velikij shvidkosti mayut formu paraboli abo giperboli Ci tila vnaslidok svoyeyi velikoyi shvidkosti i maloyi masi ne zahoplyuyutsya gravitacijnim polem zori i prodovzhuyut vilnij polit Ce yavishe vikoristovuyetsya dlya gravitacijnih manevriv kosmichnih korabliv zokrema aparativ Voyadzher Pri vidsutnosti oporu povitrya trayektoriya polotu tila v odnoridnomu gravitacijnomu poli ye paraboloyu Pri obertanni posudini z ridinoyu navkolo vertikalnoyi osi poverhnya ridini v posudini i vertikalna ploshina peretinayutsya po paraboli Vlastivist paraboli fokusuvati puchok promeniv paralelnih osi paraboli vikoristovuyetsya v konstrukciyah prozhektoriv lihtariv far a takozh teleskopiv reflektoriv optichnih infrachervonih radio tosho v konstrukciyi vuzkospryamovanih suputnikovih ta inshih anten neobhidnih dlya peredavannya danih na veliki vidstani sonyachnih elektrostancij i v inshih galuzyah Forma paraboli inodi vikoristovuyetsya v arhitekturi pid chas budivnictva dahiv i kupoliv Parabolichna orbita suputnika Padinnya basketbolnogo m yacha Parabolichna sonyachna elektrostanciya v Kaliforniyi SShA Biblioteka z dahom u formi paraboli norvezke misto Tromso Parabolichna forma poverhni ridini pid chas obertannya Dvi ridini riznoyi gustini povnistyu zapovnyuyut vuzkij prostir mizh dvoma listami prozorogo plastiku Promizhok mizh listami zakrito znizu z bokiv i zverhu Vsya konstrukciya obertayetsya navkolo vertikalnoyi osi sho prohodit cherez centr Div takozhKonichni peretini Elips Giperbola Kolo Lancyugova liniya Kvadratne rivnyannya Sinusoyidalna spiral Trisektrisa Maklorena podera paraboliPosilannyaParabola Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 112 114 594 s Parabola Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 145 ISBN 978 966 7407 83 4 Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2100 s ukr DzherelaVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu ParabolaVikidzherela mistyat tekst iz Encyclopaedia Britannica 1911 stattya Parabola Hazewinkel Michiel red 2001 Parabola Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Weisstein Eric W Parabola angl na sajti Wolfram MathWorld Interactive parabola drag focus see axis of symmetry directrix standard and vertex forms Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at cut the knot Two Tangents to Parabola at cut the knot Parabola As Envelope of Straight Lines at cut the knot Parabolic Mirror at cut the knot Three Parabola Tangents at cut the knot Focal Properties of Parabola at cut the knot Parabola As Envelope II at cut the knot The similarity of parabola at Dynamic Geometry Sketches interactive dynamic geometry sketch Frans van Schooten Mathematische Oeffeningen 1659 ros Bronshtejn I Parabola zhurnal Kvant 4 1975 ros A A Akopyan A V Zaslavskij Geometricheskie svojstva krivyh vtorogo poryadka Moskva Izdatelstvo MCNMO 2007 god ros PrimitkiCan You Really Derive Conic Formulae from a Cone Deriving the Symptom of the Parabola Mathematical Association of America Procitovano 30 veresnya 2016 Wilson Ray N 2004 Reflecting Telescope Optics Basic design theory and its historical development vid 2 Springer s 3 ISBN 3 540 40106 7 Extract of page 3 Stargazer p 115 Stargazer pp 123 and 132 Fitzpatrick Richard 14 lipnya 2007 Spherical Mirrors Electromagnetism and Optics lectures University of Texas at Austin Paraxial Optics Procitovano 5 zhovtnya 2011 Downs J W 2003 Practical Conic Sections Dover Publishing ISBN vidsutnij Sondow Jonathan 2013 The parbelos a parabolic analog of the arbelos American Mathematical Monthly 120 929 935 arXiv 1210 2279 doi 10 4169 amer math monthly 120 10 929 Cya stattya mistit tekst sho ne vidpovidaye enciklopedichnomu stilyu Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu pogodivshi stil vikladu zi stilistichnimi pravilami Vikipediyi Mozhlivo storinka obgovorennya mistit zauvazhennya shodo potribnih zmin 19 zhovtnya 2023