У математиці неявне рівняння — це [en] вигляду
де — функція кількох змінних (часто многочлен).
Неявна функція — це функція, яка визначається неявним рівнянням, яке пов'язує одну зі змінних, що розглядається як [en] функції, з іншими, які розглядаються як аргументи.
Наприклад, рівняння одиничного кола
визначає змінну як неявну функцію змінної , якщо , і обмежує невід'ємними значеннями.
Теорема про неявну функцію забезпечує умови, за яких деякі типи співвідношень визначають неявну функцію, а саме, співвідношення визначені як характеристична функція нульової множини деякої неперервно диференційованої функції багатьох змінних.
Приклади
Обернені функції
Поширеним типом неявної функції є обернена функція. Не всі функції мають єдину обернену функцію. Якщо є функцією змінної , яка має єдину обернену, тоді функція обернена до функції , яку позначають , є єдиною функцією, що є розв'язком рівняння
для змінної у термінах змінної . Цей розв'язок можна записати як
Визначення функції як оберненої до функції є неявним означенням. Для деяких функцій , функцію можна явно записати як співвідношення у замкненій формі. Наприклад, якщо , то . Однак це часто неможливо або можливо лише шляхом введення нового позначення (як для -функції Ламберта нижче).
Інтуїтивно, обернену функцію можна отримати з функції , коли поміняти місцями залежну та незалежну змінні.
Приклад: -функція Ламберта є неявною функцією, що задає розв'язок рівняння .
Алгебрична функція
Основна стаття: алгебрична функція
Алгебрична функція — це функція, яка задовольняє поліноміальне рівняння, коефіцієнти якого самі є многочленами. Наприклад, алгебрична функція для одної змінної є розв'язком для рівняння
де коефіцієнти є поліноміальними функціями змінної . Цю алгебричну функцію можна записати як праву частину для розв'язку рівняння . Якщо функцію записати таким чином, то є багатозначною неявною функцією.
Алгебричні функції відіграють важливу роль у математичному аналізі та алгебричній геометрії. Простий приклад алгебричної функції можна отримати з лівої частини рівняння одиничного кола:
Розв'язавши відносно , отримуємо явний розв'язок рівняння
Але навіть не вказуючи цей явний розв'язок, можна посилатися на неявний розв'язок рівняння одиничного кола як , де — багатозначна неявна функція.
Хоча явні розв'язки можна знайти для рівнянь другого, третього та четвертого степенів відносно змінної , але це у загальному випадку не справедливо для рівнянь п'ятого і вище степенів таких як
Тим не менш, все ще можна посилатися на неявний розв'язок , що включає багатозначну неявну функцію .
Застереження
Не кожне рівняння визначає графік однозначної функції, одним із яскравих прикладів є рівняння кола. Іншим прикладом є неявна функція, що задається рівнянням , де — кубічний многочлен, і яка на своєму графіку має "горб". Таким чином, щоб неявна функція була справжньою (однозначною) функцією, може знадобитися використання лише частини графіка. Неявну функцію іноді можна успішно визначити як справжню функцію лише після "збільшення масштабу" певної частини осі і "відрізання" деяких небажаних гілок функції. Тоді можна записати рівняння, що виражає як неявну функцію інших змінних.
Визначальне рівняння також може мати інші патології. Наприклад, рівняння взагалі не визначає функцію , що дає розв'язки для всіх ; це вертикальна лінія. Щоб уникнути подібної проблеми, часто накладаються різні обмеження на допустимі види рівнянь, або на область визначення. Теорема про неявну функцію забезпечує універсальний спосіб обробки подібних патологій.
Диференціювання неявної функції
У диференціальному та інтегральному численні метод, який називається неявним диференціюванням, використовують правило ланцюжка для диференціювання неявно заданих функцій.
Щоб продиференціювати неявну функцію , яка задана рівнянням , у загальному випадку неможливо розв'язати її явно відносно , а потім провести диференціювання. Замість цього можна знайти повну похідну виразу відносно змінних та , а потім розв'язати отримане лінійне рівняння відносно , щоб отримати похідну у явному вигляді у термінах змінних та . Навіть, якщо можна явно розв'язати початкове рівняння, то формула, отримана в результаті повного диференціювання, загалом набагато простіша і зручніша у використанні.
Приклади
Приклад 1
Розглянемо
Це рівняння легко розв'язати відносно :
де права частина — явний вигляд функції . Після диференціювання отримаємо
З іншої сторони можна обчислити повну похідну для початкового рівняння
Розв'язавши відносно , отримаємо
така ж відповідь, що й отримали раніше.
Приклад 2
Прикладом неявної функції для якої неявне диференціювання простіше ніж використання явного диференціювання є функція , яка визначена рівнянням
Для того, щоб продиференціювати явно відносно , треба спочатку знайти
а потім продиференціювати цю функцію. Звідси отримаємо дві похідні: одну для та іншу для .
Суттєво простіше неявне диференціювання початкового рівняння:
Отже,
Приклад 3
Часто важко або неможливо розв'язати початкове рівняння відносно , а неявне диференціювання є єдиним можливим методом диференціювання. Прикладом є рівняння
Неможливо явно алгебраїчно виразити як функцію від змінної , а тому неможливо знайти шляхом явного диференціювання. Використовуючи неявний метод, можна отримати шляхом диференціювання початкового рівняння:
де . Після того як винесемо за дужки отримаємо рівняння виду
яке у результаті дає
і є визначеним для
Загальна формула для похідної неявної функції
Якщо , то похідна неявної функції визначається як
де і — частинні похідні функції відносно змінних і .
Наведена вище формула отримується після застосування узагальненого ланцюгового правила для знаходження повної похідної відносно змінної до обох частин рівняння :
Отже,
і після розв'язування відносно отримуємо потрібну формулу.
Теорема про неявну функцію
Основна стаття: Теорема про неявну функцію
Нехай — диференційовна функція двох змінних, — пара дійсних чисел таких, що . Якщо , то умова визначає неявну функцію, яка диференційовна в достатньо малому околі точки . Іншими словами, існує диференційовна функція , яка визначена і диференційовна в деякому околі точки , така, що для значень з цього околу.
Умова означає, що є регулярною точкою неявної кривої, що задається неявним рівнянням , для якої дотична не є вертикальною.
На менш технічній мові, неявні функції існують і можуть бути диференційовні, якщо крива не має вертикальної дотичної.
В алгебричній геометрії
Розглянемо [en] виду , де — многочлен багатьох змінних. Множина значень змінних, які задовольняють це співвідношення, називається неявною кривою у випадку, коли і неявною поверхнею у випадку, коли . Неявні рівняння є основою алгебричної геометрії, основним предметом вивчення якої є сумісні розв'язки кількох неявних рівнянь, ліві частини яких є многочленами. Такі множини сумісних розв'язків називаються [en].
У диференціальних рівняннях
Розв'язки диференціальних рівнянь зазвичай задаються за допомогою неявних функцій.
Застосування в економіці
Гранична норма заміщення
В економіці, коли множина рівня умови є кривою байдужості для величин і двох товарів, що споживаються, абсолютне значення неявної похідної інтерпретується як гранична норма заміщення двох товарів: скільки більше потрібно отримати товару , щоб бути байдужим до втрати однієї одиниці товару .
Гранична норма технічного заміщення
Аналогічно, іноді множина рівнів є ізоквантою, що показує різні комбінації використаних величин праці і реального капіталу , кожна з яких призведе до виробництва однієї і тієї ж заданої кількості продукції певного товару. У цьому випадку абсолютне значення неявної похідної трактується як [en] між двома факторами виробництва: на скільки більше капіталу фірма повинна використовувати для виробництва, щоб виробити такий самий об'єм продукції з меншими витратами на одну одиницю праці.
Оптимізація
Основна стаття: Математична економіка § Математична оптимізація
Часто в економічній теорії, деякі функції, такі як функція корисності або функція прибутку, повинні бути максимізовані відносно вектора вибору , навіть, якщо об'єктивна функція не обмежена будь-якою конкретною функціональною формою. Теорема про неявну функцію гарантує, що [en] визначають неявну функцію для кожного елемента оптимального вектора заданого вектора вибору . Коли максимізується прибуток, то як правило отримані неявні функції є функцією [en] та (функціями пропозиції) різних товарів. Коли максимізується корисність, то зазвичай отримані неявні функції є функцією [en] та функціями попиту на різні товари.
При цьому вплив параметрів задачі на — частинні похідні від неявної функції — можна виразити через повні похідні системи умов першого порядку, що знаходяться за допомогою повного диференціювання.
Див. також
Примітки
Додаткова література
- Binmore, K. G. (1983). Implicit Functions. Calculus. New York: Cambridge University Press. с. 198—211. ISBN .
- Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis Boston: McGraw-Hill. рр. 223-228. .
- Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). Implicit Functions and Their Derivatives. Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton. с. 334—371. ISBN .
Зовнішні посилання
- Archived at Ghostarchive and the : Implicit Differentiation, What's Going on Here?. 3Blue1Brown. Essence of Calculus. 3 травня 2017 — через YouTube.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici neyavne rivnyannya ce en viglyadu R x 1 x n 0 displaystyle R x 1 dots x n 0 de R displaystyle R funkciya kilkoh zminnih chasto mnogochlen Neyavna funkciya ce funkciya yaka viznachayetsya neyavnim rivnyannyam yake pov yazuye odnu zi zminnih sho rozglyadayetsya yak en funkciyi z inshimi yaki rozglyadayutsya yak argumenti 204 206 Napriklad rivnyannya odinichnogo kola x 2 y 2 1 0 displaystyle x 2 y 2 1 0 viznachaye zminnu y displaystyle y yak neyavnu funkciyu zminnoyi x displaystyle x yaksho 1 x 1 displaystyle 1 leq x leq 1 i obmezhuye y displaystyle y nevid yemnimi znachennyami Teorema pro neyavnu funkciyu zabezpechuye umovi za yakih deyaki tipi spivvidnoshen viznachayut neyavnu funkciyu a same spivvidnoshennya viznacheni yak harakteristichna funkciya nulovoyi mnozhini deyakoyi neperervno diferencijovanoyi funkciyi bagatoh zminnih PrikladiOberneni funkciyi Poshirenim tipom neyavnoyi funkciyi ye obernena funkciya Ne vsi funkciyi mayut yedinu obernenu funkciyu Yaksho g displaystyle g ye funkciyeyu zminnoyi x displaystyle x yaka maye yedinu obernenu todi funkciya obernena do funkciyi g displaystyle g yaku poznachayut g 1 displaystyle g 1 ye yedinoyu funkciyeyu sho ye rozv yazkom rivnyannya y g x displaystyle y g x dlya zminnoyi x displaystyle x u terminah zminnoyi y displaystyle y Cej rozv yazok mozhna zapisati yak x g 1 y displaystyle x g 1 y Viznachennya funkciyi g 1 displaystyle g 1 yak obernenoyi do funkciyi g displaystyle g ye neyavnim oznachennyam Dlya deyakih funkcij g displaystyle g funkciyu g 1 y displaystyle g 1 y mozhna yavno zapisati yak spivvidnoshennya u zamknenij formi Napriklad yaksho g x 2 x 1 displaystyle g x 2x 1 to g 1 y 1 2 y 1 displaystyle g 1 y dfrac 1 2 y 1 Odnak ce chasto nemozhlivo abo mozhlivo lishe shlyahom vvedennya novogo poznachennya yak dlya W displaystyle W funkciyi Lamberta nizhche Intuyitivno obernenu funkciyu mozhna otrimati z funkciyi g displaystyle g koli pominyati miscyami zalezhnu ta nezalezhnu zminni Priklad W displaystyle W funkciya Lamberta ye neyavnoyu funkciyeyu sho zadaye rozv yazok rivnyannya y x e x 0 displaystyle y x rm e x 0 Algebrichna funkciya Osnovna stattya algebrichna funkciya Algebrichna funkciya ce funkciya yaka zadovolnyaye polinomialne rivnyannya koeficiyenti yakogo sami ye mnogochlenami Napriklad algebrichna funkciya dlya odnoyi zminnoyi x displaystyle x ye rozv yazkom dlya y displaystyle y rivnyannya a n x y n a n 1 x y n 1 a 0 x 0 displaystyle a n x y n a n 1 x y n 1 cdots a 0 x 0 de koeficiyenti a i x displaystyle a i x ye polinomialnimi funkciyami zminnoyi x displaystyle x Cyu algebrichnu funkciyu mozhna zapisati yak pravu chastinu dlya rozv yazku rivnyannya y f x displaystyle y f x Yaksho funkciyu zapisati takim chinom to f displaystyle f ye bagatoznachnoyu neyavnoyu funkciyeyu Algebrichni funkciyi vidigrayut vazhlivu rol u matematichnomu analizi ta algebrichnij geometriyi Prostij priklad algebrichnoyi funkciyi mozhna otrimati z livoyi chastini rivnyannya odinichnogo kola x 2 y 2 1 0 displaystyle x 2 y 2 1 0 Rozv yazavshi vidnosno y displaystyle y otrimuyemo yavnij rozv yazok rivnyannya y 1 x 2 displaystyle y pm sqrt 1 x 2 Ale navit ne vkazuyuchi cej yavnij rozv yazok mozhna posilatisya na neyavnij rozv yazok rivnyannya odinichnogo kola yak y f x displaystyle y f x de f displaystyle f bagatoznachna neyavna funkciya Hocha yavni rozv yazki mozhna znajti dlya rivnyan drugogo tretogo ta chetvertogo stepeniv vidnosno zminnoyi y displaystyle y ale ce u zagalnomu vipadku ne spravedlivo dlya rivnyan p yatogo i vishe stepeniv takih yak y 5 2 y 4 7 y 3 3 y 2 6 y x 0 displaystyle y 5 2y 4 7y 3 3y 2 6y x 0 Tim ne mensh vse she mozhna posilatisya na neyavnij rozv yazok y f x displaystyle y f x sho vklyuchaye bagatoznachnu neyavnu funkciyu f displaystyle f ZasterezhennyaNe kozhne rivnyannya R x y 0 displaystyle R x y 0 viznachaye grafik odnoznachnoyi funkciyi odnim iz yaskravih prikladiv ye rivnyannya kola Inshim prikladom ye neyavna funkciya sho zadayetsya rivnyannyam x C y 0 displaystyle x C y 0 de C displaystyle C kubichnij mnogochlen i yaka na svoyemu grafiku maye gorb Takim chinom shob neyavna funkciya bula spravzhnoyu odnoznachnoyu funkciyeyu mozhe znadobitisya vikoristannya lishe chastini grafika Neyavnu funkciyu inodi mozhna uspishno viznachiti yak spravzhnyu funkciyu lishe pislya zbilshennya masshtabu pevnoyi chastini osi x displaystyle x i vidrizannya deyakih nebazhanih gilok funkciyi Todi mozhna zapisati rivnyannya sho virazhaye y displaystyle y yak neyavnu funkciyu inshih zminnih Viznachalne rivnyannya R x y 0 displaystyle R x y 0 takozh mozhe mati inshi patologiyi Napriklad rivnyannya x 0 displaystyle x 0 vzagali ne viznachaye funkciyu f x displaystyle f x sho daye rozv yazki dlya vsih y displaystyle y ce vertikalna liniya Shob uniknuti podibnoyi problemi chasto nakladayutsya rizni obmezhennya na dopustimi vidi rivnyan abo na oblast viznachennya Teorema pro neyavnu funkciyu zabezpechuye universalnij sposib obrobki podibnih patologij Diferenciyuvannya neyavnoyi funkciyiU diferencialnomu ta integralnomu chislenni metod yakij nazivayetsya neyavnim diferenciyuvannyam vikoristovuyut pravilo lancyuzhka dlya diferenciyuvannya neyavno zadanih funkcij Shob prodiferenciyuvati neyavnu funkciyu y x displaystyle y x yaka zadana rivnyannyam R x y 0 displaystyle R x y 0 u zagalnomu vipadku nemozhlivo rozv yazati yiyi yavno vidnosno y displaystyle y a potim provesti diferenciyuvannya Zamist cogo mozhna znajti povnu pohidnu virazu R x y 0 displaystyle R x y 0 vidnosno zminnih x displaystyle x ta y displaystyle y a potim rozv yazati otrimane linijne rivnyannya vidnosno d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x shob otrimati pohidnu u yavnomu viglyadi u terminah zminnih x displaystyle x ta y displaystyle y Navit yaksho mozhna yavno rozv yazati pochatkove rivnyannya to formula otrimana v rezultati povnogo diferenciyuvannya zagalom nabagato prostisha i zruchnisha u vikoristanni Prikladi Priklad 1 Rozglyanemo y x 5 0 displaystyle y x 5 0 Ce rivnyannya legko rozv yazati vidnosno y displaystyle y y x 5 displaystyle y x 5 de prava chastina yavnij viglyad funkciyi y x displaystyle y x Pislya diferenciyuvannya otrimayemo d y d x 1 displaystyle frac rm d y rm d x 1 Z inshoyi storoni mozhna obchisliti povnu pohidnu dlya pochatkovogo rivnyannya d y d x d x d x d d x 5 0 d y d x 1 0 0 displaystyle begin aligned amp frac rm d y rm d x frac rm d x rm d x frac rm d rm d x 5 0 amp frac rm d y rm d x 1 0 0 end aligned Rozv yazavshi vidnosno d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x otrimayemo d y d x 1 displaystyle frac rm d y rm d x 1 taka zh vidpovid sho j otrimali ranishe Priklad 2 Prikladom neyavnoyi funkciyi dlya yakoyi neyavne diferenciyuvannya prostishe nizh vikoristannya yavnogo diferenciyuvannya ye funkciya y x displaystyle y x yaka viznachena rivnyannyam x 4 2 y 2 8 displaystyle x 4 2y 2 8 Dlya togo shob prodiferenciyuvati yavno vidnosno x displaystyle x treba spochatku znajti y x 8 x 4 2 displaystyle y x pm sqrt frac 8 x 4 2 a potim prodiferenciyuvati cyu funkciyu Zvidsi otrimayemo dvi pohidni odnu dlya y 0 displaystyle y geq 0 ta inshu dlya y 0 displaystyle y leq 0 Suttyevo prostishe neyavne diferenciyuvannya pochatkovogo rivnyannya 4 x 3 4 y d y d x 0 displaystyle 4x 3 4y frac rm d y rm d x 0 Otzhe d y d x 4 x 3 4 y x 3 y displaystyle frac rm d y rm d x frac 4x 3 4y frac x 3 y Priklad 3 Chasto vazhko abo nemozhlivo rozv yazati pochatkove rivnyannya vidnosno y displaystyle y a neyavne diferenciyuvannya ye yedinim mozhlivim metodom diferenciyuvannya Prikladom ye rivnyannya y 5 y x displaystyle y 5 y x Nemozhlivo yavno algebrayichno viraziti y displaystyle y yak funkciyu vid zminnoyi x displaystyle x a tomu nemozhlivo znajti d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x shlyahom yavnogo diferenciyuvannya Vikoristovuyuchi neyavnij metod d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x mozhna otrimati shlyahom diferenciyuvannya pochatkovogo rivnyannya 5 y 4 d y d x d y d x d x d x displaystyle 5y 4 frac rm d y rm d x frac rm d y rm d x frac rm d x rm d x de d x d x 1 displaystyle displaystyle frac rm d x rm d x 1 Pislya togo yak vinesemo za duzhki d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x otrimayemo rivnyannya vidu 5 y 4 1 d y d x 1 displaystyle left 5y 4 1 right frac rm d y rm d x 1 yake u rezultati daye d y d x 1 5 y 4 1 displaystyle frac rm d y rm d x frac 1 5y 4 1 i ye viznachenim dlya y 1 5 4 i y i 5 4 displaystyle y neq pm frac 1 sqrt 4 5 quad text i quad y neq pm frac rm i sqrt 4 5 Zagalna formula dlya pohidnoyi neyavnoyi funkciyi Yaksho R x y 0 displaystyle R x y 0 to pohidna neyavnoyi funkciyi y x displaystyle y x viznachayetsya yak 11 5 d y d x R x R y R x R y displaystyle frac rm d y rm d x frac dfrac partial R partial x dfrac partial R partial y frac R x R y de R x displaystyle R x i R y displaystyle R y chastinni pohidni funkciyi R displaystyle R vidnosno zminnih x displaystyle x i y displaystyle y Navedena vishe formula otrimuyetsya pislya zastosuvannya uzagalnenogo lancyugovogo pravila dlya znahodzhennya povnoyi pohidnoyi vidnosno zminnoyi x displaystyle x do oboh chastin rivnyannya R x y 0 displaystyle R x y 0 R x d x d x R y d y d x 0 displaystyle frac partial R partial x frac rm d x rm d x frac partial R partial y frac rm d y rm d x 0 Otzhe R x R y d y d x 0 displaystyle frac partial R partial x frac partial R partial y frac rm d y rm d x 0 i pislya rozv yazuvannya vidnosno d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x otrimuyemo potribnu formulu Teorema pro neyavnu funkciyuOsnovna stattya Teorema pro neyavnu funkciyu Nehaj R x y displaystyle R x y diferencijovna funkciya dvoh zminnih a b displaystyle a b para dijsnih chisel takih sho R a b 0 displaystyle R a b 0 Yaksho R y 0 displaystyle displaystyle frac partial R partial y neq 0 to umova R x y 0 displaystyle R x y 0 viznachaye neyavnu funkciyu yaka diferencijovna v dostatno malomu okoli tochki a b displaystyle a b Inshimi slovami isnuye diferencijovna funkciya f displaystyle f yaka viznachena i diferencijovna v deyakomu okoli tochki a displaystyle a taka sho R x f x 0 displaystyle R x f x 0 dlya znachen x displaystyle x z cogo okolu Umova R y 0 displaystyle displaystyle frac partial R partial y neq 0 oznachaye sho a b displaystyle a b ye regulyarnoyu tochkoyu neyavnoyi krivoyi sho zadayetsya neyavnim rivnyannyam R x y 0 displaystyle R x y 0 dlya yakoyi dotichna ne ye vertikalnoyu Na mensh tehnichnij movi neyavni funkciyi isnuyut i mozhut buti diferencijovni yaksho kriva ne maye vertikalnoyi dotichnoyi 11 5V algebrichnij geometriyiRozglyanemo en vidu R x 1 x n 0 displaystyle R x 1 dots x n 0 de R displaystyle R mnogochlen bagatoh zminnih Mnozhina znachen zminnih yaki zadovolnyayut ce spivvidnoshennya nazivayetsya neyavnoyu krivoyu u vipadku koli n 2 displaystyle n 2 i neyavnoyu poverhneyu u vipadku koli n 3 displaystyle n 3 Neyavni rivnyannya ye osnovoyu algebrichnoyi geometriyi osnovnim predmetom vivchennya yakoyi ye sumisni rozv yazki kilkoh neyavnih rivnyan livi chastini yakih ye mnogochlenami Taki mnozhini sumisnih rozv yazkiv nazivayutsya en U diferencialnih rivnyannyahRozv yazki diferencialnih rivnyan zazvichaj zadayutsya za dopomogoyu neyavnih funkcij Zastosuvannya v ekonomiciGranichna norma zamishennya V ekonomici koli mnozhina rivnya umovi R x y 0 displaystyle R x y 0 ye krivoyu bajduzhosti dlya velichin x displaystyle x i y displaystyle y dvoh tovariv sho spozhivayutsya absolyutne znachennya neyavnoyi pohidnoyi d y d x displaystyle displaystyle frac rm d y rm d x interpretuyetsya yak granichna norma zamishennya dvoh tovariv skilki bilshe potribno otrimati tovaru y displaystyle y shob buti bajduzhim do vtrati odniyeyi odinici tovaru x displaystyle x Granichna norma tehnichnogo zamishennya Analogichno inodi mnozhina rivniv R L K displaystyle R L K ye izokvantoyu sho pokazuye rizni kombinaciyi vikoristanih velichin praci L displaystyle L i realnogo kapitalu K displaystyle K kozhna z yakih prizvede do virobnictva odniyeyi i tiyeyi zh zadanoyi kilkosti produkciyi pevnogo tovaru U comu vipadku absolyutne znachennya neyavnoyi pohidnoyi d K d L displaystyle displaystyle frac rm d K rm d L traktuyetsya yak en mizh dvoma faktorami virobnictva na skilki bilshe kapitalu firma povinna vikoristovuvati dlya virobnictva shob virobiti takij samij ob yem produkciyi z menshimi vitratami na odnu odinicyu praci Optimizaciya Osnovna stattya Matematichna ekonomika Matematichna optimizaciya Chasto v ekonomichnij teoriyi deyaki funkciyi taki yak funkciya korisnosti abo funkciya pributku povinni buti maksimizovani vidnosno vektora viboru x displaystyle x navit yaksho ob yektivna funkciya ne obmezhena bud yakoyu konkretnoyu funkcionalnoyu formoyu Teorema pro neyavnu funkciyu garantuye sho en viznachayut neyavnu funkciyu dlya kozhnogo elementa optimalnogo vektora x displaystyle x ast zadanogo vektora viboru x displaystyle x Koli maksimizuyetsya pributok to yak pravilo otrimani neyavni funkciyi ye funkciyeyu en ta funkciyami propoziciyi riznih tovariv Koli maksimizuyetsya korisnist to zazvichaj otrimani neyavni funkciyi ye funkciyeyu en ta funkciyami popitu na rizni tovari Pri comu vpliv parametriv zadachi na x displaystyle x ast chastinni pohidni vid neyavnoyi funkciyi mozhna viraziti cherez povni pohidni sistemi umov pershogo poryadku sho znahodyatsya za dopomogoyu povnogo diferenciyuvannya Div takozhNeyavna kriva Funkcionalne rivnyannya Mnozhina rivnya Izoliniya Izopoverhnya Granichna norma zamishennya Teorema pro neyavnu funkciyu en en en PrimitkiChiang Alpha C 1984 Fundamental Methods of Mathematical Economics vid Third New York McGraw Hill ISBN 0 07 010813 7 Stewart James 1998 Calculus Concepts And Contexts Brooks Cole Publishing Company ISBN 0 534 34330 9 Kaplan Wilfred 2003 Advanced Calculus Boston Addison Wesley ISBN 0 201 79937 5 Dodatkova literaturaBinmore K G 1983 Implicit Functions Calculus New York Cambridge University Press s 198 211 ISBN 0 521 28952 1 Rudin Walter 1976 Principles of Mathematical Analysis Boston McGraw Hill rr 223 228 ISBN 0 07 054235 X Simon Carl P Blume Lawrence 1994 Implicit Functions and Their Derivatives Mathematics for Economists New York W W Norton s 334 371 ISBN 0 393 95733 0 Zovnishni posilannyaArchived at Ghostarchive and the Implicit Differentiation What s Going on Here 3Blue1Brown Essence of Calculus 3 travnya 2017 cherez YouTube