Пряма́ або пряма́ лінія — одне з основних понять геометрії, введене античними математиками для позначення прямих об'єктів (тобто без кривини) з несуттєвою шириною та глибиною. Прямі є ідеалізаціями таких об'єктів.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemcyTDBaMWJtTnBiMjVNYVc1bFlXd3dNUzV6ZG1jdk1qa3djSGd0Um5WdVkybHZia3hwYm1WaGJEQXhMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Евклід описує пряму, як лінію нескінченної довжини, яка розташована однаково по відношенню до будь-якої своєї точки. Він визначив набір постулатів, як основних властивостей, що приймаються без доведень, а вже з них робляться логічні доведення, які і утворюють всю геометрію, яка зараз називається Евклідовою геометрією. Починаючи з кінці 19 сторіччя в активному вжитку знаходяться й інші геометрії, такі як неевклідові геометрії, проективна та афінна геометрії.
В сучасній математиці, в якій є багато геометричних концепцій, поняття лінії здебільшого залежить від способу, яким геометрія описується. Наприклад, в аналітичній геометрії, пряма визначається як множина точок, координати яких задовольняють лінійне рівняння. В більш абстрактних концепціях, таких, як геометрія інцидентності, пряма може бути незалежним об'єктом, відмінним від тих точок, з яких вона складається.
При аксіоматичному опису геометрії, поняття прямої лінії зазвичай залишається невизначеним, приймається за одне з вихідних понять (так зване неозначуване поняття), яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Перевагою такого підходу є гнучкість у використанні такої геометрії. Так у диференціальній геометрії, пряму можна розуміти як геодезичну лінію (найкоротший шлях між двома точками), а в проективній геометрії пряма є двовимірним векторним простором (всі лінійні комбінації двох незалежних векторів). Така гнучкість корисна не тільки математикам, а й іншим. Наприклад, фізики можуть мислити шлях проходження світла, як пряму лінію.
Визначення і описання
Всі визначення з рештою є [en] за своєю природою, оскільки вони залежать від понять, які також повинні мати визначення, і цей ланцюг залежностей не можна продовжувати нескінченності без повернення назад до початкової точки. Тому, аби уникнути такого зациклювання, певні поняття мають бути прийняти як такі, що не потребують визначення. В геометрії, таким поняттям часто є поняття прямої, що є одним із фундаментальним понять. В тих випадках, коли пряма може бути визначеним поняттям, як у аналітичній геометрії, за фундаментальні поняття обираються якісь інші примітиви. Якщо поняття прямої є фундаментальним невизначеним поняттям, тоді поведінка і властивості прямої визначають за допомогою аксіом, яким вона повинна задовольняти.
При спрощеному або неаксиоматичному трактуванні геометрії, поняття або фундаментальне означення може бути занадто абстрактним, для уявлення. В таких випадках наводять описання або ментальний образ цього первісного поняття, аби сформувати основу для вибудовування поняття, яке формально буде базуватися на (невизначених) аксіомах. Деякі автори можуть наводити таке описання замість визначення, користуючись цим неформальним стилем представлення. Але ці визначення не є вірними, і не можуть використовуватися в формальних виведеннях тверджень. «Визначення» прямої в в математичних трактатах Евкліда підпадає під цю категорію. Навіть, при розгляді певної системи геометрії (наприклад, Евклідової геометрії), між авторами не існує загальноприйнятої згоди, щодо того яким повинно бути неформальне описання прямої, і те що воно не повинно розглядатися формально.
Властивості прямої в евклідовій геометрії
- Через будь-яку точку можна провести нескінченно багато прямих.
- Через будь-які дві незбіжні точки можна провести єдину пряму.
- Дві незбіжні прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є паралельними (випливає з попереднього). У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих.
- У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:
- прямі перетинаються;
- прямі паралельні;
- прямі мимобіжні.
Алгебраїчне визначення
Пряма лінія — алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням першого степеня (лінійне рівняння):
де ,
,
— деякі числа, при чому
або
повинне бути відмінне від нуля. Це рівняння — загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним».
Натомість, канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції:
.
Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину.
Загальне визначення прямої
Загальне рівняння прямої лінії на площині в декартових координатах:
де та
— довільні постійні, причому постійні
и
не дорівнюються нулю одночасно.
При пряма паралельна осі
, при
— паралельна осі
.
Вектор з координатами називається нормальним вектором, він перпендикулярний прямій.
При пряма проходить через початок координат.
Також рівняння можна переписати у вигляді:
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь у точці
і утворює кут
з додатним напрямком осі
:
Коефіцієнт називається кутовим коефіцієнтом прямої.
У цьому виді неможливо уявити пряму, паралельну осі (іноді в цьому випадку формально кажуть, що кутовий коефіцієнт стає нескінченним).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemMzTDFKdmQyNWhibWxsWDI5a1kybHVhMjkzWlM1emRtY3ZNVFV3Y0hndFVtOTNibUZ1YVdWZmIyUmphVzVyYjNkbExuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Рівняння прямої у відрізках
Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь у точці
та вісь
у точці
:
У цьому вигляді неможливо представити пряму, що проходить через початок координат.
Нормальне рівняння прямої
де — довжина перпендикуляра, опущеного на пряму з початку координат, а
— кут між нормальним до прямої вектором та додатним напрямом осі
. Якщо
, то пряма проходить через початок координат, а кут
задає кут нахилу прямої.
Якщо пряма задана загальним рівнянням то відрізки
та
відсікаються нею на осях, кутовий коефіцієнт
відстань від початку координат
та
виражаються через коефіцієнти
,
та
наступним чином:
Щоб уникнути невизначеності знак перед радикалом вибирається так, щоб дотримувалася умова У цьому випадку
та
є напрямними косинусами виражаються нормалі прямої — перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму. Якщо
то пряма проходить через початок координат і вибір позитивного напрямку довільний.
Рівняння прямої, що проходить через дві задані незбіжні точки
Якщо задані дві незбіжні точки з координатами та
, то пряма, що проходить через них задається рівнянням:
або
або у загальному вигляді
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkl6TDB4cGJtVmZhVzVmZG1WamRHOXlYMlp2Y20wbE1rTlNNeTV6ZG1jdk1qVXdjSGd0VEdsdVpWOXBibDkyWldOMGIzSmZabTl5YlNVeVExSXpMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Векторне параметричне рівняння прямої
Векторне параметричне рівняння прямої задається вектором кінець якого лежить на прямій, і напрямним вектором прямої
Параметр
пробігає всі дійсні значення.
Параметричні рівняння прямої можуть бути записані у вигляді
де — довільний параметр
— координати
та
напрямного вектора прямої. При цьому
Сенс параметра аналогічний параметру в векторно-параметричному рівнянні.
Канонічне рівняння прямої
Канонічне рівняння виходить з параметричних рівнянь діленням одного рівняння на інше:
де — координати
та
напрямного вектора прямої,
та
координати точки, що належить прямій.
Рівняння прямої в полярних координатах та
:
або
Рівняння прямої у просторі
Векторне параметричне рівняння прямої в просторі:
де — радіус-вектор деякої фіксованої точки
що лежить на прямій,
— ненульовий вектор, колінеарний цій прямій,
— радіус-вектор довільної точки прямої.
Параметричні рівняння прямої в просторі:
де — координати фіксованої точки
що лежить на прямій;
— координати вектора, колінеарного цій прямій.
Канонічне рівняння прямої в просторі:
де — координати фіксованої точки
що лежить на прямій;
— координати вектора, колінеарного цій прямій.
- Оскільки пряма є перетином двох різних площин заданих відповідно загальними рівняннями:
і
то рівняння прямої можна задати системою цих рівнянь:
Векторне рівняння прямої в просторі :
Рівняння прямої в просторі можна записати у вигляді векторного добутку радіуса-вектора довільної точки цієї прямої на фіксований вектор
прямої
де фіксований вектор , ортогональний до вектора
, можна знайти, підставляючи в це рівняння радіус-вектор якої-небудь однієї відомої точки прямої.
В n-вимірному просторі
Нехай задано вектор в n-вимірному Евклідовому просторі
,
, та
— деякі фіксовані числа. Геометричне місце точок
простору
, координати яких представлено у вигляді:
,
називається прямою в просторі , що проходить через точку
в «напрямі»
.
Частина прямої, що відповідає зміні параметру в деякому відрізку
називається прямолінійним відрізком, а її частина, що відповідає зміні параметру в проміжку
, — променем.
Якщо задано дві точки ,
то рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме вигляд:
.
Узагальнене визначення
- Прямою в афінному просторі
що задається точкою
та відмінним від нуля вектором
називається множина точок
, для яких вектор
колінеарний вектору
, тобто, виконується рівність:
Таким чином, довільна пряма в просторі має властивості афінного простору розмірності 1.
- В метричному просторі під «прямою» розуміють геодезичну лінію, тобто таку лінію, на якій досягається найменша відстань між двома точками.
Властивості
Пряма паралельна площині
тоді та лише тоді, коли в цій площині існує деяка пряма
паралельна прямій
.
Якщо пряма паралельна кожній з площин
та
що перетинаються, то вона паралельна лінії їхнього перетину.
Якщо три площини попарно перетинаються та не мають спільної прямої, то лінії їхнього перетину або паралельні або мають спільну точку.
В проективній геометрії
В багатьох моделях проективної геометрії, представлення прямої рідко відповідає поняттю «прямої лінії», як це є в Евклідовій геометрії. Типовий приклад цього, можна побачити в еліптичній геометрії. У випадку сферичного представлення еліптичної геометрії, прямі представлені як великі кола на сфері із визначеними на них діаметрально протилежними точками. У іншій моделі еліптичної геометрії, прямі задаються Евклідовими площинами, які проходять через початок системи координат. Хоча ці представлення візуально є відмінними, вони задовольняють властивостям проективної геометрії (наприклад, що дві точки визначають лише одну пряму), що роблять їх зручною відповідністю поняття прямої в цій геометрії.
Примітки
- Coxeter, 1969, p. 4
- Faber, 1983, p. 95
- (Постніков, с. 176)
- Кудрявцев Л. Д. Математичний аналіз, т. 1. с. 264.
- Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука».
- Я. П. Понарин (2006). Элементарная Геометрия. т.2. ISBN .
- Faber, Part III, p. 108.
Див. також
- Паралельні прямі
- (Перпендикулярність прямих на площині)
- Лінія Ейлера
- Лінійне рівняння
- Крива
- Кутовий коефіцієнт
- Гіперцикл (геометрія)
Посилання
- Пряма лінія на площині // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 88. — 594 с.
- Пряма лінія в просторі // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 134. — 594 с.
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Pryama abo pryama liniya odne z osnovnih ponyat geometriyi vvedene antichnimi matematikami dlya poznachennya pryamih ob yektiv tobto bez krivini z nesuttyevoyu shirinoyu ta glibinoyu Pryami ye idealizaciyami takih ob yektiv Chervona ta blakitna pryami mayut odnakovij kutovij koeficiyent chervona ta zelena pryami mayut spilnij peretin z vissyu y Evklid opisuye pryamu yak liniyu neskinchennoyi dovzhini yaka roztashovana odnakovo po vidnoshennyu do bud yakoyi svoyeyi tochki Vin viznachiv nabir postulativ yak osnovnih vlastivostej sho prijmayutsya bez doveden a vzhe z nih roblyatsya logichni dovedennya yaki i utvoryuyut vsyu geometriyu yaka zaraz nazivayetsya Evklidovoyu geometriyeyu Pochinayuchi z kinci 19 storichchya v aktivnomu vzhitku znahodyatsya j inshi geometriyi taki yak neevklidovi geometriyi proektivna ta afinna geometriyi V suchasnij matematici v yakij ye bagato geometrichnih koncepcij ponyattya liniyi zdebilshogo zalezhit vid sposobu yakim geometriya opisuyetsya Napriklad v analitichnij geometriyi pryama viznachayetsya yak mnozhina tochok koordinati yakih zadovolnyayut linijne rivnyannya V bilsh abstraktnih koncepciyah takih yak geometriya incidentnosti pryama mozhe buti nezalezhnim ob yektom vidminnim vid tih tochok z yakih vona skladayetsya Pri aksiomatichnomu opisu geometriyi ponyattya pryamoyi liniyi zazvichaj zalishayetsya neviznachenim prijmayetsya za odne z vihidnih ponyat tak zvane neoznachuvane ponyattya yake lishe oposeredkovano viznachayetsya aksiomami geometriyi Perevagoyu takogo pidhodu ye gnuchkist u vikoristanni takoyi geometriyi Tak u diferencialnij geometriyi pryamu mozhna rozumiti yak geodezichnu liniyu najkorotshij shlyah mizh dvoma tochkami a v proektivnij geometriyi pryama ye dvovimirnim vektornim prostorom vsi linijni kombinaciyi dvoh nezalezhnih vektoriv Taka gnuchkist korisna ne tilki matematikam a j inshim Napriklad fiziki mozhut misliti shlyah prohodzhennya svitla yak pryamu liniyu Viznachennya i opisannyaVsi viznachennya z reshtoyu ye en za svoyeyu prirodoyu oskilki voni zalezhat vid ponyat yaki takozh povinni mati viznachennya i cej lancyug zalezhnostej ne mozhna prodovzhuvati neskinchennosti bez povernennya nazad do pochatkovoyi tochki Tomu abi uniknuti takogo zaciklyuvannya pevni ponyattya mayut buti prijnyati yak taki sho ne potrebuyut viznachennya V geometriyi takim ponyattyam chasto ye ponyattya pryamoyi sho ye odnim iz fundamentalnim ponyat V tih vipadkah koli pryama mozhe buti viznachenim ponyattyam yak u analitichnij geometriyi za fundamentalni ponyattya obirayutsya yakis inshi primitivi Yaksho ponyattya pryamoyi ye fundamentalnim neviznachenim ponyattyam todi povedinka i vlastivosti pryamoyi viznachayut za dopomogoyu aksiom yakim vona povinna zadovolnyati Pri sproshenomu abo neaksiomatichnomu traktuvanni geometriyi ponyattya abo fundamentalne oznachennya mozhe buti zanadto abstraktnim dlya uyavlennya V takih vipadkah navodyat opisannya abo mentalnij obraz cogo pervisnogo ponyattya abi sformuvati osnovu dlya vibudovuvannya ponyattya yake formalno bude bazuvatisya na neviznachenih aksiomah Deyaki avtori mozhut navoditi take opisannya zamist viznachennya koristuyuchis cim neformalnim stilem predstavlennya Ale ci viznachennya ne ye virnimi i ne mozhut vikoristovuvatisya v formalnih vivedennyah tverdzhen Viznachennya pryamoyi v v matematichnih traktatah Evklida pidpadaye pid cyu kategoriyu Navit pri rozglyadi pevnoyi sistemi geometriyi napriklad Evklidovoyi geometriyi mizh avtorami ne isnuye zagalnoprijnyatoyi zgodi shodo togo yakim povinno buti neformalne opisannya pryamoyi i te sho vono ne povinno rozglyadatisya formalno Vlastivosti pryamoyi v evklidovij geometriyiCherez bud yaku tochku mozhna provesti neskinchenno bagato pryamih Cherez bud yaki dvi nezbizhni tochki mozhna provesti yedinu pryamu Dvi nezbizhni pryami na ploshini abo peretinayutsya v yedinij tochci abo ye paralelnimi viplivaye z poperednogo U trivimirnomu prostori isnuyut tri varianti vzayemnogo roztashuvannya dvoh pryamih U trivimirnomu prostori isnuyut tri varianti vzayemnogo roztashuvannya dvoh pryamih pryami peretinayutsya pryami paralelni pryami mimobizhni Algebrayichne viznachennyaTri grafiki linij chervona ta sinya mayut odnakovij nahil k a chervona ta zelena mayut odnakovij zsuv b Pryama liniya algebrayichna liniya pershogo poryadku u dekartovij sistemi koordinat pryama liniya zadayetsya na ploshini rivnyannyam pershogo stepenya linijne rivnyannya ax by c 0 displaystyle ax by c 0 de a displaystyle a b displaystyle b c displaystyle c deyaki chisla pri chomu a displaystyle a abo b displaystyle b povinne buti vidminne vid nulya Ce rivnyannya zagalne rivnyannya pryamoyi Jogo takozh nazivayut standartnim Natomist kanonichne rivnyannya pryamoyi sho viplivaye z poperednogo maye viglyad linijnoyi funkciyi y kx b displaystyle y kx b Pryama a takozh para peresichnih pryamih ye virodzhenim prikladom konichnogo peretinu Zagalne viznachennya pryamoyi Zagalne rivnyannya pryamoyi liniyi na ploshini v dekartovih koordinatah Ax By C 0 displaystyle Ax By C 0 de A B displaystyle A B ta C displaystyle C dovilni postijni prichomu postijni A displaystyle A i B displaystyle B ne dorivnyuyutsya nulyu odnochasno Pri A 0 displaystyle A 0 pryama paralelna osi Ox displaystyle Ox pri B 0 displaystyle B 0 paralelna osi Oy displaystyle Oy Vektor z koordinatami A B displaystyle A B nazivayetsya normalnim vektorom vin perpendikulyarnij pryamij Pri C 0 displaystyle C 0 pryama prohodit cherez pochatok koordinat Takozh rivnyannya mozhna perepisati u viglyadi A x x0 B y y0 0 displaystyle A x x 0 B y y 0 0 Rivnyannya pryamoyi z kutovim koeficiyentom Rivnyannya pryamoyi liniyi sho peretinaye vis Oy displaystyle Oy u tochci 0 b displaystyle 0 b i utvoryuye kut f displaystyle varphi z dodatnim napryamkom osi Ox displaystyle Ox y kx b k tgf displaystyle y kx b quad k mathrm tg varphi Koeficiyent k displaystyle k nazivayetsya kutovim koeficiyentom pryamoyi U comu vidi nemozhlivo uyaviti pryamu paralelnu osi inodi v comu vipadku formalno kazhut sho kutovij koeficiyent staye neskinchennim Otrimannya rivnyannya pryamoyi u vidrizkahRivnyannya pryamoyi u vidrizkah Rivnyannya pryamoyi liniyi sho peretinaye vis Ox displaystyle Ox u tochci a 0 displaystyle a 0 ta vis Oy displaystyle Oy u tochci 0 b displaystyle 0 b xa yb 1 a 0 b 0 displaystyle frac x a frac y b 1 quad a neq 0 b neq 0 U comu viglyadi nemozhlivo predstaviti pryamu sho prohodit cherez pochatok koordinat Normalne rivnyannya pryamoyi xcos 8 ysin 8 p 0 displaystyle x cos theta y sin theta p 0 de p displaystyle p dovzhina perpendikulyara opushenogo na pryamu z pochatku koordinat a 8 displaystyle theta kut mizh normalnim do pryamoyi vektorom ta dodatnim napryamom osi Ox displaystyle Ox Yaksho p 0 displaystyle p 0 to pryama prohodit cherez pochatok koordinat a kut 8 f p2 displaystyle theta varphi frac pi 2 zadaye kut nahilu pryamoyi Yaksho pryama zadana zagalnim rivnyannyam Ax By C 0 displaystyle Ax By C 0 to vidrizki a displaystyle a ta b displaystyle b vidsikayutsya neyu na osyah kutovij koeficiyent k displaystyle k vidstan vid pochatku koordinat p displaystyle p cos 8 displaystyle cos theta ta sin 8 displaystyle sin theta virazhayutsya cherez koeficiyenti A displaystyle A B displaystyle B ta C displaystyle C nastupnim chinom a CA b CB k tgf AB f 8 p2 displaystyle a frac C A quad b frac C B quad k mathrm tg varphi frac A B quad varphi theta frac pi 2 p C A2 B2 cos 8 A A2 B2 sin 8 B A2 B2 displaystyle p frac C pm sqrt A 2 B 2 quad cos theta frac A pm sqrt A 2 B 2 quad sin theta frac B pm sqrt A 2 B 2 Shob uniknuti neviznachenosti znak pered radikalom vibirayetsya tak shob dotrimuvalasya umova p gt 0 displaystyle p gt 0 U comu vipadku cos 8 displaystyle cos theta ta sin 8 displaystyle sin theta ye napryamnimi kosinusami virazhayutsya normali pryamoyi perpendikulyara opushenogo z pochatku koordinat na pryamu Yaksho C 0 displaystyle C 0 to pryama prohodit cherez pochatok koordinat i vibir pozitivnogo napryamku dovilnij Rivnyannya pryamoyi sho prohodit cherez dvi zadani nezbizhni tochki Yaksho zadani dvi nezbizhni tochki z koordinatami x1 y1 displaystyle x 1 y 1 ta x2 y2 displaystyle x 2 y 2 to pryama sho prohodit cherez nih zadayetsya rivnyannyam xy1x1y11x2y21 0 displaystyle begin vmatrix x amp y amp 1 x 1 amp y 1 amp 1 x 2 amp y 2 amp 1 end vmatrix 0 abo y y1y2 y1 x x1x2 x1 displaystyle frac y y 1 y 2 y 1 frac x x 1 x 2 x 1 abo u zagalnomu viglyadi y1 y2 x x2 x1 y x1y2 x2y1 0 displaystyle left y 1 y 2 right x left x 2 x 1 right y left x 1 y 2 x 2 y 1 right 0 Otrimannya vektornogo parametrichnogo rivnyannya pryamoyiVektorne parametrichne rivnyannya pryamoyi Vektorne parametrichne rivnyannya pryamoyi zadayetsya vektorom r 0 displaystyle vec r 0 kinec yakogo lezhit na pryamij i napryamnim vektorom pryamoyi u displaystyle vec u Parametr t displaystyle t probigaye vsi dijsni znachennya r r0 tu displaystyle vec r vec r 0 t vec u Parametrichni rivnyannya pryamoyi mozhut buti zapisani u viglyadi x x0 axt y y0 ayt displaystyle begin cases x x 0 a x t y y 0 a y t end cases de t displaystyle t dovilnij parametr ax ay displaystyle a x a y koordinati x displaystyle x ta y displaystyle y napryamnogo vektora pryamoyi Pri comu k ayax a ayx0 axy0ay b axy0 ayx0ax displaystyle k frac a y a x quad a frac a y x 0 a x y 0 a y quad b frac a x y 0 a y x 0 a x p axy0 ayx0 ax2 ay2 cos 8 ax ax2 ay2 sin 8 ay ax2 ay2 displaystyle p frac a x y 0 a y x 0 pm sqrt a x 2 a y 2 quad cos theta frac a x pm sqrt a x 2 a y 2 quad sin theta frac a y pm sqrt a x 2 a y 2 Sens parametra t displaystyle t analogichnij parametru v vektorno parametrichnomu rivnyanni Kanonichne rivnyannya pryamoyi Kanonichne rivnyannya vihodit z parametrichnih rivnyan dilennyam odnogo rivnyannya na inshe x x0y y0 axay x x0ax y y0ay displaystyle frac x x 0 y y 0 frac a x a y Longleftrightarrow frac x x 0 a x frac y y 0 a y de ax ay displaystyle a x a y koordinati x displaystyle x ta y displaystyle y napryamnogo vektora pryamoyi x0 displaystyle x 0 ta y0 displaystyle y 0 koordinati tochki sho nalezhit pryamij Rivnyannya pryamoyi v polyarnih koordinatah r displaystyle rho ta f displaystyle varphi r Acos f Bsin f C 0 displaystyle rho A cos varphi B sin varphi C 0 abo rcos f 8 p displaystyle rho cos varphi theta p Rivnyannya pryamoyi u prostoriVektorne parametrichne rivnyannya pryamoyi v prostori r r 0 ta t displaystyle vec r vec r 0 t vec a quad t in infty infty de r 0 displaystyle vec r 0 radius vektor deyakoyi fiksovanoyi tochki M0 displaystyle M 0 sho lezhit na pryamij a displaystyle vec a nenulovij vektor kolinearnij cij pryamij r displaystyle vec r radius vektor dovilnoyi tochki pryamoyi Parametrichni rivnyannya pryamoyi v prostori x x0 ta y y0 tb z z0 tg t displaystyle x x 0 t alpha y y 0 t beta z z 0 t gamma quad t in infty infty de x0 y0 z0 displaystyle x 0 y 0 z 0 koordinati fiksovanoyi tochki M0 displaystyle M 0 sho lezhit na pryamij a b g displaystyle alpha beta gamma koordinati vektora kolinearnogo cij pryamij Kanonichne rivnyannya pryamoyi v prostori x x0a y y0b z z0g displaystyle frac x x 0 alpha frac y y 0 beta frac z z 0 gamma de x0 y0 z0 displaystyle x 0 y 0 z 0 koordinati fiksovanoyi tochki M0 displaystyle M 0 sho lezhit na pryamij a b g displaystyle alpha beta gamma koordinati vektora kolinearnogo cij pryamij Oskilki pryama ye peretinom dvoh riznih ploshin zadanih vidpovidno zagalnimi rivnyannyami r N 1 D1 0 displaystyle vec r vec N 1 D 1 0 i r N 2 D2 0 displaystyle vec r vec N 2 D 2 0 to rivnyannya pryamoyi mozhna zadati sistemoyu cih rivnyan r N 1 D1 0 r N 2 D2 0 displaystyle begin cases vec r vec N 1 D 1 0 vec r vec N 2 D 2 0 end cases Vektorne rivnyannya pryamoyi v prostori Rivnyannya pryamoyi v prostori mozhna zapisati u viglyadi vektornogo dobutku radiusa vektora dovilnoyi tochki ciyeyi pryamoyi r displaystyle vec r na fiksovanij vektor a displaystyle vec a pryamoyi r a M displaystyle vec r vec a vec M de fiksovanij vektor M displaystyle vec M ortogonalnij do vektora a displaystyle vec a mozhna znajti pidstavlyayuchi v ce rivnyannya radius vektor yakoyi nebud odniyeyi vidomoyi tochki pryamoyi V n vimirnomu prostori Nehaj zadano vektor k displaystyle k v n vimirnomu Evklidovomu prostori En displaystyle E n k ki En displaystyle k k i in E n ta a1 an displaystyle alpha 1 dots alpha n deyaki fiksovani chisla Geometrichne misce tochok x xi displaystyle x x i prostoru En displaystyle E n koordinati yakih predstavleno u viglyadi xi ki ait lt t lt i 1 n displaystyle x i k i alpha i t qquad infty lt t lt infty quad i 1 dots n nazivayetsya pryamoyu v prostori En displaystyle E n sho prohodit cherez tochku k displaystyle k v napryami a1 an displaystyle alpha 1 dots alpha n Chastina pryamoyi sho vidpovidaye zmini parametru t displaystyle t v deyakomu vidrizku a b displaystyle a b nazivayetsya pryamolinijnim vidrizkom a yiyi chastina sho vidpovidaye zmini parametru v promizhku t a displaystyle t geq a promenem Yaksho zadano dvi tochki xi displaystyle x i xi displaystyle x i to rivnyannya pryamoyi sho prohodit cherez ci tochki matime viglyad xi xi xi xi t lt t lt i 1 n displaystyle x i x i x i x i t qquad infty lt t lt infty i 1 dots n Uzagalnene viznachennyaPryamoyu v afinnomu prostori A displaystyle mathcal A sho zadayetsya tochkoyu M0 displaystyle M 0 ta vidminnim vid nulya vektorom a V displaystyle mathbf a in mathcal V nazivayetsya mnozhina tochok M displaystyle M dlya yakih vektor M0M displaystyle overrightarrow M 0 M kolinearnij vektoru a displaystyle mathbf a tobto vikonuyetsya rivnist M0M la displaystyle overrightarrow M 0 M l mathbf a Takim chinom dovilna pryama v prostori A displaystyle mathcal A maye vlastivosti afinnogo prostoru rozmirnosti 1 V metrichnomu prostori pid pryamoyu rozumiyut geodezichnu liniyu tobto taku liniyu na yakij dosyagayetsya najmensha vidstan mizh dvoma tochkami VlastivostiPryama m displaystyle m paralelna ploshini a displaystyle alpha todi ta lishe todi koli v cij ploshini isnuye deyaka pryama p displaystyle p paralelna pryamij m displaystyle m Yaksho pryama m displaystyle m paralelna kozhnij z ploshin a displaystyle alpha ta b displaystyle beta sho peretinayutsya to vona paralelna liniyi yihnogo peretinu Yaksho tri ploshini poparno peretinayutsya ta ne mayut spilnoyi pryamoyi to liniyi yihnogo peretinu abo paralelni abo mayut spilnu tochku V proektivnij geometriyiDokladnishe Proektivna geometriya V bagatoh modelyah proektivnoyi geometriyi predstavlennya pryamoyi ridko vidpovidaye ponyattyu pryamoyi liniyi yak ce ye v Evklidovij geometriyi Tipovij priklad cogo mozhna pobachiti v eliptichnij geometriyi U vipadku sferichnogo predstavlennya eliptichnoyi geometriyi pryami predstavleni yak veliki kola na sferi iz viznachenimi na nih diametralno protilezhnimi tochkami U inshij modeli eliptichnoyi geometriyi pryami zadayutsya Evklidovimi ploshinami yaki prohodyat cherez pochatok sistemi koordinat Hocha ci predstavlennya vizualno ye vidminnimi voni zadovolnyayut vlastivostyam proektivnoyi geometriyi napriklad sho dvi tochki viznachayut lishe odnu pryamu sho roblyat yih zruchnoyu vidpovidnistyu ponyattya pryamoyi v cij geometriyi PrimitkiCoxeter 1969 p 4 Faber 1983 p 95 Postnikov s 176 Kudryavcev L D Matematichnij analiz t 1 s 264 Postnikov M M 1979 Analiticheskaya geometriya Nauka Ya P Ponarin 2006 Elementarnaya Geometriya t 2 ISBN 5 94057 223 5 Faber Part III p 108 Div takozhPortal Matematika Paralelni pryami Perpendikulyarnist pryamih na ploshini Liniya Ejlera Linijne rivnyannya Kriva Kutovij koeficiyent Gipercikl geometriya PosilannyaPryama liniya na ploshini Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 88 594 s Pryama liniya v prostori Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 134 594 s Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi