Еліптична геометрія (інша назва - геометрія Рімана) — одна з неевклідових геометрій постійної кривини (інші — це геометрія Лобачевського і сферична геометрія). Якщо геометрія Евкліда реалізується у просторі з нульовою гаусовою кривиною, Лобачевського — з від'ємною, то геометрія Рімана реалізується у просторі з постійною додатною кривиною (у двовимірному випадку — на проективної площині і локально на сфері).
В геометрії Рімана пряма визначається двома точками, площина — трьома, дві площини перетинаються по прямій тощо, але в геометрії Рімана немає паралельних прямих. В геометрії Рімана, як і в сферичній геометрії, справедливе твердження: сума кутів трикутника більша від двох прямих, має місце формула де — сума кутів трикутника, — радіус сфери, на якій реалізована геометрія.
Двовимірна геометрія Рімана схожа на сферичну геометрію, але відрізняється тим, що будь-які дві «прямі» мають не дві, як у сферичній, а тільки одну точку перетину. При ототожненні протилежних точок сфери виходить проективна площина, геометрія якої задовольняє аксіомам геометрії Рімана.
Розглянемо сферу з центром в точці у тривимірному просторі . Кожна точка разом з центром сфери визначає деяку пряму , тобто деяку точку проективної площини . Зіставлення визначає відображення , великі кола на (прямі в сферичній геометрії) переходять у прямі на проективній площині , при цьому в одну точку переходять рівно дві точки сфери: разом з точкою і діаметрально протилежна їй точка (див. рисунок). Евклідові рухи простору , що переводять сферу у себе, задають деякі визначені перетворення проективної площини , які є рухами геометрії Рімана. В геометрії Рімана будь-які прямі перетинаються, оскільки це правильно для проективної площини, і таким чином, у ній немає паралельних прямих.
Одне з відмінностей геометрії Рімана від евклідової геометрії до геометрії Лобачевського полягає в тому, що в ній немає природного поняття «точка C лежить між точками A і B» (в сферичній геометрії це поняття також відсутнє). Дійсно, на пряму проективної площини відображається велике коло на сфері , причому дві діаметрально протилежні точки сфери і переходять в одну точку . Аналогічно, точки переходять в одну точку і точки переходять в одну точку . Таким чином, з рівною підставою можна вважати, що точка лежить між і і що вона не лежить між ними.
Література
- Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — М.: Наука, 1990.
- Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М.: УРСС, 2007.
- Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
- Берже М. Геометрия. — Пер. с франц. — в 2 т. — М.: Мир, 1984. — Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
- Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 584 с. — .
- Клейн Ф. Неевклидова геометрия. — Любое издание.
- Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
![]() | Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Eliptichna geometriya insha nazva geometriya Rimana odna z neevklidovih geometrij postijnoyi krivini inshi ce geometriya Lobachevskogo i sferichna geometriya Yaksho geometriya Evklida realizuyetsya u prostori z nulovoyu gausovoyu krivinoyu Lobachevskogo z vid yemnoyu to geometriya Rimana realizuyetsya u prostori z postijnoyu dodatnoyu krivinoyu u dvovimirnomu vipadku na proektivnoyi ploshini i lokalno na sferi V geometriyi Rimana pryama viznachayetsya dvoma tochkami ploshina troma dvi ploshini peretinayutsya po pryamij tosho ale v geometriyi Rimana nemaye paralelnih pryamih V geometriyi Rimana yak i v sferichnij geometriyi spravedlive tverdzhennya suma kutiv trikutnika bilsha vid dvoh pryamih maye misce formula S p S R2 displaystyle Sigma pi S R 2 de S displaystyle Sigma suma kutiv trikutnika R displaystyle R radius sferi na yakij realizovana geometriya Dvovimirna geometriya Rimana shozha na sferichnu geometriyu ale vidriznyayetsya tim sho bud yaki dvi pryami mayut ne dvi yak u sferichnij a tilki odnu tochku peretinu Pri ototozhnenni protilezhnih tochok sferi vihodit proektivna ploshina geometriya yakoyi zadovolnyaye aksiomam geometriyi Rimana Rozglyanemo sferu S displaystyle S z centrom v tochci O displaystyle O u trivimirnomu prostori E displaystyle E Kozhna tochka A S displaystyle A in S razom z centrom sferi O displaystyle O viznachaye deyaku pryamu l E displaystyle l subset E tobto deyaku tochku A displaystyle A proektivnoyi ploshini P displaystyle Pi Zistavlennya A A displaystyle A to A viznachaye vidobrazhennya S P displaystyle S to Pi veliki kola na S displaystyle S pryami v sferichnij geometriyi perehodyat u pryami na proektivnij ploshini P displaystyle Pi pri comu v odnu tochku A P displaystyle A in Pi perehodyat rivno dvi tochki sferi razom z tochkoyu A S displaystyle A in S i diametralno protilezhna yij tochka A S displaystyle A in S div risunok Evklidovi ruhi prostoru E displaystyle E sho perevodyat sferu S displaystyle S u sebe zadayut deyaki viznacheni peretvorennya proektivnoyi ploshini P displaystyle Pi yaki ye ruhami geometriyi Rimana V geometriyi Rimana bud yaki pryami peretinayutsya oskilki ce pravilno dlya proektivnoyi ploshini i takim chinom u nij nemaye paralelnih pryamih Odne z vidminnostej geometriyi Rimana vid evklidovoyi geometriyi do geometriyi Lobachevskogo polyagaye v tomu sho v nij nemaye prirodnogo ponyattya tochka C lezhit mizh tochkami A i B v sferichnij geometriyi ce ponyattya takozh vidsutnye Dijsno na pryamu proektivnoyi ploshini P displaystyle Pi vidobrazhayetsya velike kolo na sferi S displaystyle S prichomu dvi diametralno protilezhni tochki sferi A displaystyle A i A displaystyle A perehodyat v odnu tochku A P displaystyle A in Pi Analogichno tochki B B displaystyle B B perehodyat v odnu tochku B P displaystyle B in Pi i tochki C C displaystyle C C perehodyat v odnu tochku C P displaystyle C in Pi Takim chinom z rivnoyu pidstavoyu mozhna vvazhati sho tochka C displaystyle C lezhit mizh A displaystyle A i B displaystyle B i sho vona ne lezhit mizh nimi LiteraturaAleksandrov A D Necvetaev N Yu Geometriya M Nauka 1990 Aleksandrov P S Chto takoe neevklidova geometriya M URSS 2007 Alekseevskij D V Vinberg E B Solodovnikov A S Geometriya prostranstv postoyannoj krivizny V kn Itogi nauki i tehniki Sovremennye problemy matematiki Fundamentalnye napravleniya M VINITI 1988 T 29 S 1 146 Berzhe M Geometriya Per s franc v 2 t M Mir 1984 Tom II chast V Vnutrennyaya geometriya sfery giperbolicheskaya geometriya prostranstvo sfer Efimov N V Vysshaya geometriya 7 e izd M FIZMATLIT 2003 584 s ISBN 5 9221 0267 2 Klejn F Neevklidova geometriya Lyuboe izdanie Stepanov N N Sfericheskaya trigonometriya L M 1948 Shafarevich I R Remizov A O Linejnaya algebra i geometriya M Fizmatlit 2009 Ce nezavershena stattya z geometriyi Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi