Відрізок

Відрізок — частина прямої, обмежена двома точками.

Геометричне визначення замкненого лінійного відрізка: перетин усіх точок праворуч від A з усіма точками лівіше від B, включаючи самі точки A і B

Історичне зображення — малювання лінійного відрізка (1699)

Визначення

Якщо ${\displaystyle V\,\!}$ векторний простір над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$, і ${\displaystyle L\,\!}$ це підмножина ${\displaystyle V,\,\!}$ тоді ${\displaystyle L\,\!}$ відрізок якщо ${\displaystyle L\,\!}$ може бути заданий як

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}}$

для деякого вектора ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!}$, в такому випадку вектори ${\displaystyle \mathbf {u} }$ та ${\displaystyle \mathbf {u+v} }$ називаються кінцевими точками відрізка ${\displaystyle L.\,\!}$

Іноді нам потрібно розрізняти «відкриті» та «закриті» відрізки. Тоді закритий відрізок визначається як було вказано вище, а відкритий відрізок як підмножина ${\displaystyle L\,\!}$, параметризована як

${\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}}$

для деяких векторів ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!}$.

Альтернативне визначення таке: Відрізок (замкнутий) це опукла оболонка двох точок.

Відрізок числової прямої

Відрізок числової (координатної) прямої (числовій відрізок, сегмент) — множина дійсних чисел ${\displaystyle x~}$, таких що задовольняють нерівності ${\displaystyle a\leq x\leq b}$, де заздалегідь завдані дійсні числа ${\displaystyle a~}$ і ${\displaystyle b~}$ ${\displaystyle (a<b)~}$ називаються кінцями відрізка. На противагу до них, інші числа ${\displaystyle x~}$, що задовольняють нерівності ${\displaystyle a<x<b~}$, називаються внутрішніми точками відрізка.

Відрізок зазвичай позначається ${\displaystyle [a,b]}$:

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$.

Відрізок є замкнутим проміжком.

Число ${\displaystyle b-a\,}$ називається довжиною числового відрізка ${\displaystyle [a,b]}$.

Стяжна система сегментів

Система сегментів — нескінченна послідовність елементів множини відрізків на числовій прямій ${\displaystyle \{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}}$.

Система сегментів позначається ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$. Мається на увазі, що кожному натуральному числу ${\displaystyle ~n}$ зіставлений у відповідність відрізок ${\displaystyle ~[a_{n},b_{n}]}$.

Система сегментів ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$ називається стяжною, якщо

• кожний наступний відрізок міститься в попередньому;

  ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]}$

• відповідна послідовність довжин відрізків нескінченно мала.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0}$

В будь-якій стяжній системі сегментів існує єдина точка, що належить всім сегментам системи.

${\displaystyle \forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}]}$

Цей факт випливає з властивостей монотонної послідовності.

Див. також

• Проміжок
• Пряма
• Промінь
• Інтервал
• Напівінтервал
• Віддаль між двома точками

Література

• Harry F. Davis & Arthur David Snider (1988) Introduction to Vector Analysis, 5th edition, page 1, Wm. C. Brown Publishers
• Matiur Rahman & Isaac Mulolani (2001) Applied Vector Analysis, pages 9 & 10, CRC Press
• Eutiquio C. Young (1978) Vector and Tensor Analysis, pages 2 & 3, Marcel Dekker