Монотонна послідовність

Монотонно спадною (зростаючою, неспадною, незростаючою) називають послідовність в якій кожен член ${\displaystyle x_{n}}$ є меншим (більшим, не меншим, не більшим) за член послідовності ${\displaystyle x_{n-1}}$.

Визначення

Нехай є множина ${\displaystyle X}$, на якій введено відношення порядку. Послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ елементів множини ${\displaystyle X}$ називається неспадною, якщо кожен елемент цієї послідовності не перевищує наступного за ним.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — неспадна ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1}}$

Послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ елементів множини ${\displaystyle X}$ називається незростаючою, якщо кожен наступний елемент цієї послідовності не перевищує попереднього.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — незростаюча ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1}}$

Послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ елементів множини ${\displaystyle X}$ називається зростаючою , якщо кожен наступний елемент цієї послідовності перевищує попередній.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — зростаюча ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1}}$

Послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ елементів множини ${\displaystyle X}$ називається спадною, якщо кожен елемент цієї послідовності перевищує наступний за ним.

${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — спадною ${\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1}}$

Послідовність називається монотонною, якщо вона є неспадною або незростаючою.

Послідовність називається строго монотонною, якщо вона є зростаючою або спадною.

Очевидно, що строго монотонна послідовність є монотонною.

Іноді використовується варіант термінології, в якому термін «зростаюча послідовність» розглядається як синонім терміну «неспадна послідовність», а термін «спадна послідовність» - як синонім терміну «незростаюча послідовність». У такому випадку зростаючі і спадні послідовності з вищенаведеного визначення називаються «строго зростаючими» і «строго спадними», відповідно.

Проміжки монотонності

Може виявитися, що вищевказані умови виконуються не для всіх номерів ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, а лише для номерів із деякого діапазону.

${\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}}$

Тут допускається звернення правої межі ${\displaystyle N_{+}}$ у нескінченність. У цьому випадку послідовність називається монотонною на проміжку I, а сам діапазон I є проміжком монотонності послідовності.

Приклади

• Послідовність натуральних чисел.
  • ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=n}$.
  • Початкові відрізки:${\displaystyle (1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots )}$.
  • Зростаюча послідовність.
  • Складається з натуральних чисел.
  • Обмежена знизу, зверху не обмежена.
• Послідовність Фібоначчі
  • ${\displaystyle x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{n-1}+x_{n-2},&n\geqslant 3\end{cases}}}$
  • Початкові відрізки: ${\displaystyle (1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots )}$.
  • Не спадна послідовність.
  • Складається з натуральних чисел.
  • Обмежена знизу, зверху не обмежена.
• Геометрична прогресія з основою ${\displaystyle 1/2}$.
  • ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}}$.
  • Початкові відрізки: ${\displaystyle (1,1/2,1/4,1/8,1/16,\cdots )}$.
  • Зростаюча послідовність.
  • Складається з раціональних чисел.
  • Обмежена з обох сторін.

• Послідовність, що сходиться до числа e.
  • ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$.
  • Початкові відрізки:${\displaystyle (2,9/4,64/27,625/256,\cdots )}$.
  • Зростаюча послідовність.
  • Складається з раціональних чисел, але сходиться до трансцендентного числа.
  • Обмежена з обох сторін.
• Послідовність раціональних чисел виду ${\displaystyle x_{n}=\,\!(n-5)^{2}}$ не є монотонною. Тим не менш, вона (строго) спадає на відрізку ${\displaystyle \{1,\,\!2,3,4\}}$ і (строго) зростає на проміжку ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid n\geqslant 5\}}$.

Властивості

• Обмеженість.
  • Будь-яка неспадна послідовність обмежена знизу.
  • Будь-яка незростаюча послідовність обмежена зверху.
  • Будь-яка монотонна послідовність обмежена принаймні з одного боку.
• Монотонна послідовність сходиться тоді і тільки тоді, коли вона обмежена з обох сторін. (Теорема Вейєрштрасса про обмежені монотонних послідовностей)
  • Збіжна неспадна послідовність обмежена зверху своєю межею.
  • Збіжна незростаюча послідовність обмежена знизу своєю межею.

Джерела

• Заблоцький М., Сторож О., Тарасюк С,. Монотонні послідовністі // Математичний аналіз. — Львів : «Знання», 2008. — С. 47. — .
• Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: Физматлит, 2001. — 672 с.