Відношення порядку

Відно́шення поря́дку в математиці — бінарне відношення, яке є транзитивним та антисиметричним.

діаграма Хаса дільників числа 60,
частково впорядкована за подільністю

${\displaystyle \forall a,b,c:\;\;(aRb\land bRc\Rightarrow aRc)}$ (транзитивність),

${\displaystyle \forall a,b:\;\;(aRb\land bRa\Rightarrow a=b)}$ (антисиметричність).

Відношення порядку називається нестрогим, якщо воно рефлексивне

${\displaystyle \forall a:\;\;(aRa)}$.

І навпаки, відношення строгого порядку є антирефлексивним

${\displaystyle \forall a:\;\;(\lnot aRa)}$.

Відношення порядку називається повним (лінійним), якщо

${\displaystyle \forall a,b:\;\;(aRb\lor bRa)}$ (повне відношення).

Повнота (лінійність) відношення порядку означає його рефлексивність, тому такий порядок завжди нестрогий.

Якщо умова повноти не виконується, і порядок є нестрогим, то відношення називають відношенням часткового порядку.

Зазвичай відношення строгого порядку (повного чи часткового) позначається знаком <, а відношення нестрогого порядку знаком ${\displaystyle \leq }$.

Див.також

• Відношення еквівалентності
• Передпорядок — множина з відношенням передпорядку
• Частково впорядкована множина — множина з відношенням часткового порядку
• Лінійно впорядкована множина
• Цілком впорядкована множина
• Лема Цорна

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)