Лінійно впорядкована множина (ланцюг) — частково впорядкована множина (множина на якій задане відношення нестрогого порядку), в якій для будь-яких двох елементів і виконується чи
Тобто, для вимога рефлексивності посилена до вимоги повноти.
Частковий випадок лінійно впорядкованої множини — цілком впорядкована множина. Іншими словами: лінійний порядок = частковий порядок з умовою повноти.
Лінійний порядок використовується в
Ланцюг
Термін ланцюг іноді є синонімом лінійно впорядкованої множини, проте може також використовуватись для означення підмножини деякої множини з частковим порядком. Останнє означення має критичне значення у лемі Цорна.
Хай множина всіх підмножин множини цілих, частково впорядкована за відношенням підмножини (). Тоді множина , де In - множина натуральних чисел менших за n — ланцюг, лінійно впорядокований за : .
Приклади
- Кардинальні та порядкові числа є лінійно впорядкованими (точніше цілком впорядкованими).
- Множина дійсних чисел зі звичайним відношенням порядку є лінійно впорядкованою множиною. Це — надзвичайно важлива властивість дійсних чисел. Виявляється, що існування відношення порядку сумісного з арифметичними операціями й задовільняючого певним додатковим вимогам може буде застосовано для визначення (або характеризації) поля дійсних чисел.
- Натуральні числа, цілі числа, раціональні числа, алгебраїчні числа, ірраціональні числа тощо всі є підмножинами дійсних чисел, тому утворюють лінійно впорядковані множини зі звичайним відношенням порядку. Кожна з цих множин є єдиним прикладом найменшої лінійно впорядкованої множини, що має деяку додаткову властивість:
- Натуральні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має верхньої межі.
- Цілі числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі.
- Раціональні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі та є щільною.
- Дійсні числа — найменша лінійно впорядкована множина, що не має ні верхньої, ні нижньої межі та є зв'язною.
Джерела
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Linijno vporyadkovana mnozhina lancyug chastkovo vporyadkovana mnozhina mnozhina na yakij zadane displaystyle leqslant vidnoshennya nestrogogo poryadku v yakij dlya bud yakih dvoh elementiv a displaystyle a i b displaystyle b vikonuyetsya a b displaystyle a leqslant b chi b a displaystyle b leqslant a Tobto dlya displaystyle leqslant vimoga refleksivnosti posilena do vimogi povnoti Chastkovij vipadok linijno vporyadkovanoyi mnozhini cilkom vporyadkovana mnozhina Inshimi slovami linijnij poryadok chastkovij poryadok z umovoyu povnoti Linijnij poryadok vikoristovuyetsya v teoriyi gratok teoriyi poryadku teoriyi kategorij LancyugTermin lancyug inodi ye sinonimom linijno vporyadkovanoyi mnozhini prote mozhe takozh vikoristovuvatis dlya oznachennya pidmnozhini deyakoyi mnozhini z chastkovim poryadkom Ostannye oznachennya maye kritichne znachennya u lemi Corna Haj mnozhina vsih pidmnozhin mnozhini cilih chastkovo vporyadkovana za vidnoshennyam pidmnozhini displaystyle subset Todi mnozhina I n n N displaystyle I n n in mathbb N de In mnozhina naturalnih chisel menshih za n lancyug linijno vporyadokovanij za displaystyle subset n k I n I k displaystyle n leq k Rightarrow I n subset I k PrikladiKardinalni ta poryadkovi chisla ye linijno vporyadkovanimi tochnishe cilkom vporyadkovanimi Mnozhina R displaystyle mathbb R dijsnih chisel zi zvichajnim vidnoshennyam poryadku ye linijno vporyadkovanoyu mnozhinoyu Ce nadzvichajno vazhliva vlastivist dijsnih chisel Viyavlyayetsya sho isnuvannya vidnoshennya poryadku sumisnogo z arifmetichnimi operaciyami j zadovilnyayuchogo pevnim dodatkovim vimogam mozhe bude zastosovano dlya viznachennya abo harakterizaciyi polya dijsnih chisel Naturalni chisla cili chisla racionalni chisla algebrayichni chisla irracionalni chisla tosho vsi ye pidmnozhinami dijsnih chisel tomu utvoryuyut linijno vporyadkovani mnozhini zi zvichajnim vidnoshennyam poryadku Kozhna z cih mnozhin ye yedinim prikladom najmenshoyi linijno vporyadkovanoyi mnozhini sho maye deyaku dodatkovu vlastivist Naturalni chisla najmensha linijno vporyadkovana mnozhina sho ne maye verhnoyi mezhi Cili chisla najmensha linijno vporyadkovana mnozhina sho ne maye ni verhnoyi ni nizhnoyi mezhi Racionalni chisla najmensha linijno vporyadkovana mnozhina sho ne maye ni verhnoyi ni nizhnoyi mezhi ta ye shilnoyu Dijsni chisla najmensha linijno vporyadkovana mnozhina sho ne maye ni verhnoyi ni nizhnoyi mezhi ta ye zv yaznoyu DzherelaHausdorf F Teoriya mnozhestv Moskva Leningrad 1937 304 s ISBN 978 5 382 00127 2 ros Kuratovskij K Mostovskij A Teoriya mnozhestv Set Theory Teoria mnogosci M Mir 1970 416 s ros Aleksandrov P S Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshuyu topologiyu Moskva Nauka 1977 368 s ISBN 5354008220 ros