Ірраціональні числа

Ірраціональні числа (позначення для множини — ${\displaystyle \mathbb {I} }$) — це всі дійсні числа, що не є раціональними: ${\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$, — тобто не можуть бути записані як відношення цілих чисел ${\displaystyle {\frac {z}{n}}}$ (${\displaystyle z\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$), а лише нескінченними неперіодичними десятковими дробами.

Математична константа пі (π) є ірраціональним числом.

Число ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ є ірраціональним числом.

Уперше І. ч. постали в геометрії під час вивчення довжин відрізків піфагорцями, які, як стверджує легенда^[], виявили неспівмірність з одиницями вимірювання деяких геометричних величин. Оскільки це суперечило їхній філософії (цілком побудованій на натуральних числах), відкриття якнайсуворіше приховували, навіть покаравши на смерть одного зі своїх братів — Гіппаса Метапонтського, який (за різними джерелами) чи то першим знайшов, чи то розголосив цей факт.

Відмінності записування дійсних чисел

Десятковий дріб будь-якого раціонального числа має періодично повторювану частину (зокрема це можуть бути нулі, як у скінченних дробів і цілих чисел), н-д:

• ${\displaystyle {\frac {1}{3}}={}.{\overline {3}}}$, що означає «нуль цілих і три в періоді» (довжина періоду — один), тобто ${\displaystyle 3}$ повторюється нескінчену кількість разів;
• ${\displaystyle {\frac {22}{7}}=3.{\overline {142857}}}$, що означає «три цілих і сто сорок дві тисячі вісімсот п'ятдесят сім у періоді» (довжина періоду — шість), тобто ${\displaystyle 142857}$ повторюється нескінчену кількість разів;
• ${\displaystyle {\frac {265}{132}}=2.00{\overline {75}}}$, що означає «дві цілих, нуль сотих і сімдесят п'ять у періоді» (довжина періоду — два), тобто ${\displaystyle 75}$ повторюється нескінчену кількість разів;
• ${\displaystyle {\frac {5}{2}}=2.5\equiv 2.5{\overline {0}}}$, скінченний дріб «дві цілих, п'ять десятих», тобто ${\displaystyle 0}$ повторюється нескінчену кількість разів;
• ${\displaystyle {\frac {3}{1}}=3.{}\equiv 2.{\overline {9}}}$, ціле число «три еквівалентне двом цілим і дев'ять у періоді», тобто ${\displaystyle 9}$ повторюється нескінчену кількість разів.

Періодичність дробу можна вважати критерієм приналежності числа до множини раціональних чисел.

Розкладання І. ч. у десятковий дріб не позначається такою періодичністю. Наприклад, відомо, що число пі — ірраціональне та навіть трансцендентне, тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та їх комбінації повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Інший спосіб записування додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. Відмінність полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а І. ч. — нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

Приклади

Квадратні корені

Квадратний корінь з двох — це перше число, ірраціональність якого було доведено. Іншим відомим ірраціональним числом є золотий перетин. Квадратні корені усіх натуральних чисел, які не є квадратними числами, є ірраціональними.

Приклади

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{16}}}},}$ — скінченний;

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ldots }}}}}}=[1;2,2,2\ldots ]=[1;(2)]}$ — з періодом довжини один;

${\displaystyle {\sqrt {3}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\ldots }}}}}}}}=[1;1,2,1,2\ldots ]=[1;(1,2)]}$ — з періодом довжини два;

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+\ldots }}}}}}}}=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\ldots ]}$ (A001203 в енциклопедії цілих послідовностей [ 5 березня 2007 у Wayback Machine.]) — неперіодичний.

Філософське значення

Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (перше знайдене І. ч.).

Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків про Всесвіт як місце гармонії, яку власне можна описати відношеннями натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональним числом, дає приємне для вуха звучання.

З'ясування того, що ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1{,}4142135}$ не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики, яка полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можливо відобразити числами, а лише через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилася від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

Властивості

• Будь-яке дійсне число можна записати нескінченним десятковим дробом, проте тільки І. ч. записують неперіодичними десятковими дробами.
• Сума двох додатних І. ч. може бути раціональним числом.
• Кожне І. ч. визначає такий переріз Дедекінда у множині раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому — найменшого числа.
• Кожне І. ч. є або алгебраїчним, або трансцендентним. Кожне дійсне трансцендентне — ірраціональним.
• Множина І. ч. скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними числами є І. ч. (і навіть нескінченно багато).
• Порядок на множині І. ч. — ізоморфний порядку на множині дійсних трансцендентних чисел.
• Множина І. ч. є незліченною, другої категорії.

Топологічні властивості ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

• є евклідового простору ${\displaystyle \mathbb {R} }$;
• є G_δ-множиною, але не F_σ-множиною в ${\displaystyle \mathbb {R} }$, фактично: ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\bigcap _{\alpha \in \mathbb {Q} }(\mathbb {R} \setminus \{\alpha \})}$;
• є метричним простором, і паракомпактним;
• є повним простором другої категорії;
• є сепарабельним простором;
• задовольняє другу аксіому зліченності;
• не є і ;
• є ;
• є щільним у собі;
• не є ;
• є нульвимірним.

Див. також

• Міра ірраціональності

Примітки

1. Тут використано англійську систему записування дробів без нулів. У пострадянських країнах для розділення цілої частини від дробної використовують кому замість крапки, а для позначення повторюваної частини — дужки замість верхньої риски.
2. Десяткові дроби є нескінченними за побудовою, тому зрозуміло, що після певного десяткового знаку можуть стояти самі нулі (${\displaystyle a_{0},a_{1}...a_{n}000...}$), відкиданням яких отримують скінченні дроби.
3. Можемо записати як нескінченний періодичний дріб, оскільки з означення маємо, що ${\displaystyle 2+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+...=3}$.
   Докладніше: 0,(9)

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• ; (1995) [1978], (вид. reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 0507446