Щільна в собі множина

В топології підмножина A топологічного простору X називається щільною в X, якщо будь-який окіл довільної точки ${\displaystyle x\in X}$ містить хоча б один елемент множини A. Якщо дана властивість виконується не для всіх точок простору X, а для деякої його підмножини B, то множина A називається щільною в B.

Еквівалентні означення

• Підмножина A є щільною в B, якщо замикання A містить B, тобто ${\displaystyle {\bar {A}}\supset B}$. Зокрема, множина A називається скрізь щільною в просторі X, якщо ${\displaystyle {\bar {A}}=X}$
• Підмножина A є щільною в B, якщо множина внутрішніх точок доповнення до A не перетинається з B, тобто ${\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{0}\cap B=\emptyset }$.

Приклади

• Будь-яка множина є щільною сама в собі.
• Множини раціональних і ірраціональних чисел є щільними в множині дійсних чисел.
• Довільний метричний простір є щільним у своєму поповненні.

Див. також

• Ніде не щільна множина
• Сепарабельний простір
• Щільність множини
• Щільний порядок

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)