Квадратний корінь з числа 2 — дійсне число більше нуля, яке при множенні саме на себе дає число 2. Позначення: Приведемо значення кореня з 2 з 65 знаками після коми:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkUyTDFOeGRXRnlaVjl5YjI5MFgyOW1YekpmZEhKcFlXNW5iR1V1YzNabkx6SXdNSEI0TFZOeGRXRnlaVjl5YjI5MFgyOW1YekpmZEhKcFlXNW5iR1V1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
- 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…
Геометричний корінь з 2 можливо представити як довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 (це слідує з теореми Піфагора). Можливо, це було перше відоме в історії математики ірраціональне число (тобто число, яке неможливо точно представити у вигляді дробу).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekJsTDBSbFpHVnJhVzVrWDJOMWRDMWZjM0YxWVhKbFgzSnZiM1JmYjJaZmRIZHZMbkJ1Wnk4eU1EQndlQzFFWldSbGEybHVaRjlqZFhRdFgzTnhkV0Z5WlY5eWIyOTBYMjltWDNSM2J5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Гарним і часто використовуваним наближенням до є дріб . Незважаючи на те, що чисельник і знаменник дробу лише двозначні цілі, воно відрізняється від реального значення менше, ніж на 1/10000.
Ірраціональне число √2 | |
Система числення | Запис числа √2 |
---|---|
Двійкова | 1.0110101000001001111… |
Десяткова | 1.4142135623730950488… |
Шістнадцяткова | 1.6A09E667F3BCC908B2F… |
Ланцюговий дріб |
Історія
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekJpTDFsaVl6Y3lPRGt0WW5jdWFuQm5Mekl3TUhCNExWbGlZemN5T0RrdFluY3VhbkJuLmpwZw==.jpg)
Вавилонська глиняна табличка (1900 до н. е. — 1650 до н. е.) дає найточніше наближене значення при записі в чотирьох шістдесяткових цифрах, що після округлення становить 6 точних десяткових цифр:
Інше раннє наближення цього числа в давньоіндійському математичному тексті, (бл. 800–200 до н. е.) дається наступним чином:
Піфагорійці виявили, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною, або сучасною мовою, що квадратний корінь з двох є ірраціональним. Мало що відомо з певністю про час і обставини цього видатного відкриття, але традиційно його авторство приписується Гіппасу Метапонтському, якого за це відкриття, за різними варіантами легенди, піфагорійці не то вбили, не то вигнали, поставивши йому в провину руйнування головної піфагорейської доктрини про те, що «все є натуральне число». Тому квадратний корінь з 2 іноді називають постійною Піфагора, через те, що саме піфагорійці довели його ірраціональність, тим самим відкривши існування ірраціональних чисел.
Алгоритми обчислення
Існує безліч алгоритмів для обчислення значення квадратного кореня з двох. В результаті алгоритму виходить приблизне значення у вигляді звичайної або десяткового дробу. Найпопулярніший алгоритм для цього, який використовується в багатьох комп'ютерах і калькуляторах, це вавилонський метод обчислення квадратних коренів. Він полягає в наступному:
Чим більше повторень в алгоритмі (тобто, чим більше «n»), тим краще наближення квадратного кореня з двох. Кожне повторення приблизно подвоює кількість правильних цифр. Наведемо кілька перших наближень:
- 3/2 = 1.5
- 17/12 = 1.416…
- 577/408 = 1.414215…
- 665857/470832 = 1.4142135623746…
У 1997 році Ясумаса Канада вирахував значення √2 до 137 438 953 444 десяткових знаків після коми. У лютому 2007 року рекорд був побитий: Сігеру Кондо вирахував 200 мільярдів десяткових знаків після коми протягом 13 днів і 14 годин, використовуючи процесор з частотою 3,6 ГГц і 16 гігабайт оперативної пам'яті. Серед математичних констант тільки було обчислено більш точно.
Властивості квадратного кореня з двох
Половина √2 приблизно дорівнює 0.70710 67811 86548; ця величина дає в геометрії та тригонометрії координати одиничного вектора, який утворює кут 45° з координатними осями:
Одна з цікавих властивостей √2 полягає в наступному:
. Тому що
Це є результатом властивості срібного перетину.
Друга цікава властивість √2:
Квадратний корінь з двох може бути виражений в уявних одиницях , використовуючи тільки квадратні корені і арифметичні операції:
і
Квадратний корінь з 2 є єдиним числом, відмінним від 1, чия нескінченна тетрація дорівнює його квадрату.
Квадратний корінь з двох може бути також використаний для наближення :
З точки зору вищої алгебри, є коренем многочлена
і тому є цілим алгебраїчним числом. Множина чисел виду
, де
— раціональне число, створює алгебраїчне поле. Воно позначається
і є підполем поля дійсних чисел.
Доказ ірраціональності
Застосуємо доказ від протилежного: нехай, раціональний, тобто представляється у вигляді дробу
, де
і
— цілі числа. Піднесемо рівність в квадрат:
.
Так як m2 містить парне число двійок, а 2n2 — непарне число двійок, отже рівність m2=2n2 неможлива. Це означає, що вихідне припущення було невірним, і — ірраціональне число.
Ланцюговий дріб
Квадратний корінь з двох може бути представлений у вигляді ланцюгового дробу:
Відповідні дроби даного ланцюгового дробу дають наближені значення, швидко сходяться до точного квадратного кореня з двох. Спосіб їх обчислення простий: якщо позначити попередній відповідний дріб , то подальший має вигляд
. Швидкість збіжності тут менше, ніж у методу Ньютона, але обчислення набагато простіше. Випишемо декілька перших наближень:
Квадрат останнього наведеного дробу дорівнює (округлено) 2,000000177.
Розмір паперу
Квадратний корінь з двох є пропорцією формату паперу ISO 216. Співвідношення сторін таке, що при розрізанні аркуша навпіл, паралельно його короткій стороні, вийдуть два аркуша тієї ж пропорції. Це дозволяє нумерувати такі, найуживаніші формати паперу, одним числом, згідно з геометричним зменшенням площі листа (відповідно числу розрізів) — А0, А1, А2, А3, А4,…
Див. також
Примітки
- . Архів оригіналу за 13 Серпня 2012. Процитовано 12 Січня 2014.
- Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, London: Oxford University Press, с. 124
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kvadratnij korin z chisla 2 dijsne chislo bilshe nulya yake pri mnozhenni same na sebe daye chislo 2 Poznachennya 2 displaystyle sqrt 2 Privedemo znachennya korenya z 2 z 65 znakami pislya komi Kvadratnij korin z 2 dorivnyuye dovzhini gipotenuzi v pryamokutnomu trikutniku z dovzhinoyu katetiv 1 1 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99 Geometrichnij korin z 2 mozhlivo predstaviti yak dovzhinu diagonali kvadrata zi storonoyu 1 ce sliduye z teoremi Pifagora Mozhlivo ce bulo pershe vidome v istoriyi matematiki irracionalne chislo tobto chislo yake nemozhlivo tochno predstaviti u viglyadi drobu Kvadratnij korin z 2 Garnim i chasto vikoristovuvanim nablizhennyam do 2 displaystyle sqrt 2 ye drib 99 70 displaystyle tfrac 99 70 Nezvazhayuchi na te sho chiselnik i znamennik drobu lishe dvoznachni cili vono vidriznyayetsya vid realnogo znachennya menshe nizh na 1 10000 Irracionalne chislo 2 Sistema chislennya Zapis chisla 2 Dvijkova 1 0110101000001001111 Desyatkova 1 4142135623730950488 Shistnadcyatkova 1 6A09E667F3BCC908B2F Lancyugovij drib 1 1 2 1 2 1 2 1 2 displaystyle 1 cfrac 1 2 cfrac 1 2 cfrac 1 2 cfrac 1 2 ddots IstoriyaVavilonska glinyana tablichka z maksimalno tochnim zaznachennyam dovzhini diagonali odinichnogo kvadrata chotiriznachnim shistdesyatkovim chislom Vavilonska glinyana tablichka 1900 do n e 1650 do n e daye najtochnishe nablizhene znachennya 2 displaystyle sqrt 2 pri zapisi v chotiroh shistdesyatkovih cifrah sho pislya okruglennya stanovit 6 tochnih desyatkovih cifr 1 24 60 51 60 2 10 60 3 1 41421 296 displaystyle 1 frac 24 60 frac 51 60 2 frac 10 60 3 1 41421 overline 296 Inshe rannye nablizhennya cogo chisla v davnoindijskomu matematichnomu teksti bl 800 200 do n e dayetsya nastupnim chinom 1 1 3 1 3 4 1 3 4 34 577 408 1 414215686 displaystyle 1 frac 1 3 frac 1 3 cdot 4 frac 1 3 cdot 4 cdot 34 frac 577 408 approx 1 414215686 Pifagorijci viyavili sho diagonal kvadrata neporivnyanna z jogo storonoyu abo suchasnoyu movoyu sho kvadratnij korin z dvoh ye irracionalnim Malo sho vidomo z pevnistyu pro chas i obstavini cogo vidatnogo vidkrittya ale tradicijno jogo avtorstvo pripisuyetsya Gippasu Metapontskomu yakogo za ce vidkrittya za riznimi variantami legendi pifagorijci ne to vbili ne to vignali postavivshi jomu v provinu rujnuvannya golovnoyi pifagorejskoyi doktrini pro te sho vse ye naturalne chislo Tomu kvadratnij korin z 2 inodi nazivayut postijnoyu Pifagora cherez te sho same pifagorijci doveli jogo irracionalnist tim samim vidkrivshi isnuvannya irracionalnih chisel Algoritmi obchislennyaIsnuye bezlich algoritmiv dlya obchislennya znachennya kvadratnogo korenya z dvoh V rezultati algoritmu vihodit priblizne znachennya 2 displaystyle sqrt 2 u viglyadi zvichajnoyi abo desyatkovogo drobu Najpopulyarnishij algoritm dlya cogo yakij vikoristovuyetsya v bagatoh komp yuterah i kalkulyatorah ce vavilonskij metod obchislennya kvadratnih koreniv Vin polyagaye v nastupnomu a n 1 a n 2 a n 2 a n 2 1 a n displaystyle a n 1 frac a n frac 2 a n 2 frac a n 2 frac 1 a n Chim bilshe povtoren v algoritmi tobto chim bilshe n tim krashe nablizhennya kvadratnogo korenya z dvoh Kozhne povtorennya priblizno podvoyuye kilkist pravilnih cifr Navedemo kilka pershih nablizhen 3 2 1 5 17 12 1 416 577 408 1 414215 665857 470832 1 4142135623746 U 1997 roci Yasumasa Kanada virahuvav znachennya 2 do 137 438 953 444 desyatkovih znakiv pislya komi U lyutomu 2007 roku rekord buv pobitij Sigeru Kondo virahuvav 200 milyardiv desyatkovih znakiv pislya komi protyagom 13 dniv i 14 godin vikoristovuyuchi procesor z chastotoyu 3 6 GGc i 16 gigabajt operativnoyi pam yati Sered matematichnih konstant tilki p displaystyle pi bulo obchisleno bilsh tochno Vlastivosti kvadratnogo korenya z dvohPolovina 2 priblizno dorivnyuye 0 70710 67811 86548 cya velichina daye v geometriyi ta trigonometriyi koordinati odinichnogo vektora yakij utvoryuye kut 45 z koordinatnimi osyami 2 2 1 2 1 2 cos 45 sin 45 displaystyle frac sqrt 2 2 sqrt frac 1 2 frac 1 sqrt 2 cos 45 circ sin 45 circ Odna z cikavih vlastivostej 2 polyagaye v nastupnomu 1 2 1 2 1 displaystyle 1 over sqrt 2 1 sqrt 2 1 Tomu sho 2 1 2 1 2 1 1 displaystyle sqrt 2 1 sqrt 2 1 2 1 1 Ce ye rezultatom vlastivosti sribnogo peretinu Druga cikava vlastivist 2 2 2 2 2 displaystyle sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 cdots 2 Kvadratnij korin z dvoh mozhe buti virazhenij v uyavnih odinicyah i displaystyle i vikoristovuyuchi tilki kvadratni koreni i arifmetichni operaciyi i i i i displaystyle frac sqrt i i sqrt i i i i i i i displaystyle frac sqrt i i sqrt i i Kvadratnij korin z 2 ye yedinim chislom vidminnim vid 1 chiya neskinchenna tetraciya dorivnyuye jogo kvadratu 2 2 2 2 displaystyle sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 cdot cdot cdot 2 Kvadratnij korin z dvoh mozhe buti takozh vikoristanij dlya nablizhennya p displaystyle pi 2 m 2 2 2 2 p m displaystyle 2 m sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 cdots sqrt 2 to pi m to infty Z tochki zoru vishoyi algebri 2 displaystyle sqrt 2 ye korenem mnogochlena x 2 2 displaystyle x 2 2 i tomu ye cilim algebrayichnim chislom Mnozhina chisel vidu a b 2 displaystyle a b sqrt 2 de a b displaystyle a b racionalne chislo stvoryuye algebrayichne pole Vono poznachayetsya Q 2 displaystyle mathbb Q sqrt 2 i ye pidpolem polya dijsnih chisel Dokaz irracionalnostiZastosuyemo dokaz vid protilezhnogo nehaj 2 displaystyle sqrt 2 racionalnij tobto predstavlyayetsya u viglyadi drobu m n displaystyle frac m n de m displaystyle m i n displaystyle n cili chisla Pidnesemo rivnist v kvadrat 2 m n 2 m 2 n 2 m 2 2 n 2 displaystyle sqrt 2 frac m n Rightarrow 2 frac m 2 n 2 Rightarrow m 2 2n 2 Tak yak m2mistit parne chislo dvijok a 2n2 neparne chislo dvijok otzhe rivnist m2 2n2 nemozhliva Ce oznachaye sho vihidne pripushennya bulo nevirnim i 2 displaystyle sqrt 2 irracionalne chislo Lancyugovij dribKvadratnij korin z dvoh mozhe buti predstavlenij u viglyadi lancyugovogo drobu 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 displaystyle sqrt 2 1 cfrac 1 2 cfrac 1 2 cfrac 1 2 cfrac 1 2 ddots Vidpovidni drobi danogo lancyugovogo drobu dayut nablizheni znachennya shvidko shodyatsya do tochnogo kvadratnogo korenya z dvoh Sposib yih obchislennya prostij yaksho poznachiti poperednij vidpovidnij drib m n displaystyle frac m n to podalshij maye viglyad m 2 n m n displaystyle frac m 2n m n Shvidkist zbizhnosti tut menshe nizh u metodu Nyutona ale obchislennya nabagato prostishe Vipishemo dekilka pershih nablizhen 3 2 7 5 17 12 41 29 99 70 239 169 577 408 1393 985 3363 2378 displaystyle frac 3 2 frac 7 5 frac 17 12 frac 41 29 frac 99 70 frac 239 169 frac 577 408 frac 1393 985 frac 3363 2378 dots Kvadrat ostannogo navedenogo drobu dorivnyuye okrugleno 2 000000177 Rozmir paperuKvadratnij korin z dvoh ye proporciyeyu formatu paperu ISO 216 Spivvidnoshennya storin take sho pri rozrizanni arkusha navpil paralelno jogo korotkij storoni vijdut dva arkusha tiyeyi zh proporciyi Ce dozvolyaye numeruvati taki najuzhivanishi formati paperu odnim chislom zgidno z geometrichnim zmenshennyam ploshi lista vidpovidno chislu rozriziv A0 A1 A2 A3 A4 Div takozhIrracionalnist Teorema ViyetaPrimitki Arhiv originalu za 13 Serpnya 2012 Procitovano 12 Sichnya 2014 Courant Richard Robbins Herbert 1941 What is mathematics An Elementary Approach to Ideas and Methods London Oxford University Press s 124