Теоре ма Віє та формули названі на честь Франсуа Вієта що виражають коефіцієнти многочлена через його корені Ці формули

Теорема Вієта

Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

Формули

Якщо $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ — корені многочлена $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}$ (кожен корінь присутній відповідно до його кратності),
то коефіцієнти $a_{1},\ldots ,a_{n}$ є елементарними симетричними многочленами від коренів, а саме:

{\begin{matrix}a_{1}&=&-(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})\\a_{2}&=&x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n}\\a_{3}&=&-(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\ldots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n})\\\cdots &&\cdots \\a_{n-1}&=&(-1)^{n-1}(x_{1}x_{2}\ldots x_{n-1}+x_{1}x_{2}\ldots x_{n-2}x_{n}+\ldots +x_{2}x_{3}...x_{n})\\a_{n}&=&(-1)^{n}x_{1}x_{2}\ldots x_{n}\end{matrix}}.

Іншими словами $(-1)^{k}a_{k}$ дорівнює сумі всіх можливих $k$ -добутків із коренів.

Якщо старший коефіцієнт многочлена $a_{0}\neq 1$ , то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на $a_{0}$ .

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

Доведення

Доведення використовує рівність

x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n})

.

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після розкриття дужок, коефіцієнти при однакових степенях x повинні бути однаковими в обох частинах рівності, з чого слідують формули Вієта.

Приклади

Якщо $x_{1},x_{2}$ корені квадратного рівняння $ax^{2}+bx+c=0$ то

x_{1}+x_{2}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}

.

В частковому випадку при $a=1$ (квадратне рівняння $x^{2}+px+q=0$ ), то

\ x_{1}+x_{2}=-p,\qquad x_{1}x_{2}=q

.

Якщо $x_{1},x_{2},x_{3}$ корені кубічного рівняння $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ то

x_{1}+x_{2}+x_{3}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\qquad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}

.

В частковому випадку (кубічне рівняння $x^{3}+px+q=0$ ), то

x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=p,\qquad x_{1}x_{2}x_{3}=-q

.

Якщо $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ корені рівняння четвертого степеня $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ то

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}={\frac {c}{a}},

x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-{\frac {d}{a}},\qquad x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}={\frac {e}{a}}

.

В частковому випадку (рівняння $x^{4}+px^{2}+qx+r=0$ ), то

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=p,

x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-q,\qquad x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=r

.

Див. також

Основна теорема алгебри

Джерела

Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М. : Наука, 1968. — 331 с.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Teore ma Viye ta formuli nazvani na chest Fransua Viyeta sho virazhayut koeficiyenti mnogochlena cherez jogo koreni Ci formuli zruchno vikoristovuvati dlya perevirki pravilnosti znahodzhennya koreniv ta dlya zadannya mnogochlena z viznachenimi vlastivostyami FormuliYaksho x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 ldots x n koreni mnogochlena x n a 1 x n 1 a 2 x n 2 a n displaystyle x n a 1 x n 1 a 2 x n 2 a n kozhen korin prisutnij vidpovidno do jogo kratnosti to koeficiyenti a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n ye elementarnimi simetrichnimi mnogochlenami vid koreniv a same a 1 x 1 x 2 x n a 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x n x 2 x 3 x n 1 x n a 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x n 2 x n 1 x n a n 1 1 n 1 x 1 x 2 x n 1 x 1 x 2 x n 2 x n x 2 x 3 x n a n 1 n x 1 x 2 x n displaystyle begin matrix a 1 amp amp x 1 x 2 ldots x n a 2 amp amp x 1 x 2 x 1 x 3 ldots x 1 x n x 2 x 3 ldots x n 1 x n a 3 amp amp x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 ldots x n 2 x n 1 x n cdots amp amp cdots a n 1 amp amp 1 n 1 x 1 x 2 ldots x n 1 x 1 x 2 ldots x n 2 x n ldots x 2 x 3 x n a n amp amp 1 n x 1 x 2 ldots x n end matrix Inshimi slovami 1 k a k displaystyle 1 k a k dorivnyuye sumi vsih mozhlivih k displaystyle k dobutkiv iz koreniv Yaksho starshij koeficiyent mnogochlena a 0 1 displaystyle a 0 neq 1 to dlya zastosuvannya formuli Viyeta neobhidno rozdiliti vsi koeficiyenti na a 0 displaystyle a 0 Iz ostannoyi formuli Viyeta viplivaye sho yaksho koreni mnogochlena ye cilimi to voni ye dilnikami jogo vilnogo chlena yakij takozh ye cilim DovedennyaDovedennya vikoristovuye rivnist x n a 1 x n 1 a 2 x n 2 a n x x 1 x x 2 x x n displaystyle x n a 1 x n 1 a 2 x n 2 ldots a n x x 1 x x 2 ldots x x n Prava chastina predstavlyaye mnogochlen rozkladenij na mnozhniki Pislya rozkrittya duzhok koeficiyenti pri odnakovih stepenyah x povinni buti odnakovimi v oboh chastinah rivnosti z chogo sliduyut formuli Viyeta PrikladiYaksho x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 koreni kvadratnogo rivnyannya a x 2 b x c 0 displaystyle ax 2 bx c 0 to x 1 x 2 b a x 1 x 2 c a displaystyle x 1 x 2 frac b a qquad x 1 x 2 frac c a V chastkovomu vipadku pri a 1 displaystyle a 1 kvadratne rivnyannya x 2 p x q 0 displaystyle x 2 px q 0 to x 1 x 2 p x 1 x 2 q displaystyle x 1 x 2 p qquad x 1 x 2 q Yaksho x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 koreni kubichnogo rivnyannya a x 3 b x 2 c x d 0 displaystyle ax 3 bx 2 cx d 0 to x 1 x 2 x 3 b a x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 c a x 1 x 2 x 3 d a displaystyle x 1 x 2 x 3 frac b a qquad x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 frac c a qquad x 1 x 2 x 3 frac d a V chastkovomu vipadku kubichne rivnyannya x 3 p x q 0 displaystyle x 3 px q 0 to x 1 x 2 x 3 0 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 p x 1 x 2 x 3 q displaystyle x 1 x 2 x 3 0 qquad x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 p qquad x 1 x 2 x 3 q Yaksho x 1 x 2 x 3 x 4 displaystyle x 1 x 2 x 3 x 4 koreni rivnyannya chetvertogo stepenya a x 4 b x 3 c x 2 d x e 0 displaystyle ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0 to x 1 x 2 x 3 x 4 b a x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 c a displaystyle x 1 x 2 x 3 x 4 frac b a qquad x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 frac c a x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 1 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 d a x 1 x 2 x 3 x 4 e a displaystyle x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 1 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 frac d a qquad x 1 x 2 x 3 x 4 frac e a V chastkovomu vipadku rivnyannya x 4 p x 2 q x r 0 displaystyle x 4 px 2 qx r 0 to x 1 x 2 x 3 x 4 0 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 p displaystyle x 1 x 2 x 3 x 4 0 qquad x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 p x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 1 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 q x 1 x 2 x 3 x 4 r displaystyle x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 1 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 q qquad x 1 x 2 x 3 x 4 r Div takozhOsnovna teorema algebriDzherelaKurosh A G Kurs vysshej algebry M Nauka 1968 331 s

Дата публікації: Червень 26, 2024, 11:13 am