Одиничний вектор

Одини́чний ве́ктор (орт, одиничний вектор нормованого векторного простору) — вектор одиничної довжини; вектор, норма (довжина) якого дорівнює одиниці обраного масштабу.

Радіус-вектор ${\displaystyle {\vec {r}}}$ визначає положення точки ${\displaystyle \mathrm {P} (x,y,z)}$ відносно початку координат O. В декартовій системі координат ${\displaystyle {\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}}$, де ${\displaystyle {\hat {e}}_{i}}$ — одиничні вектори.

Одиничний вектор ${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} }$, колінеарний з заданими ${\displaystyle \mathbf {v} }$, (нормований вектор) визначається за формулою

${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}}$,

де |v| — норма (або довжина) v. Термін нормований вектор інколи використовується, як синонім одиничного вектору.

Як базисні найчастіше обираються саме одиничні вектори, оскільки це спрощує обчислення. Кожен вектор у просторі можна записати як лінійну комбінацію базисних векторів.

За визначенням, у евклідовому просторі скалярний добуток двох одиничних векторів є скалярним значенням, яке дорівнює косинусу меншого утвореного ними кута. У тривимірному евклідовому просторі векторний добуток двох довільних одиничних векторів — це третій вектор, ортогональний до обох з них, який має довжину, яка дорівнює синусу меншого утвореного ними кута.

Ортогональні системи координат

Декартова система координат

Докладніше: Стандартний базис

Одиничні вектори можна використати для представлення осей декартової системи координат. Наприклад, одиничні вектори у напрямку осей x, y та z у тривимірному випадку будуть

${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Див. також

• Базис (математика)
• Напрямні косинуси

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)