Ба́зисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору називається впорядкований набір векторів , якщо кожний вектор із можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemxoTDBKaGMybHpYMmR5WVhCb1h5VXlPRzV2WDJ4aFltVnNKVEk1TG5OMlp5ODFNREJ3ZUMxQ1lYTnBjMTluY21Gd2FGOGxNamh1YjE5c1lXSmxiQ1V5T1M1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Коефіцієнти кільця називаються координатами вектора відносно базису . Ця рівність зазвичай записується скорочено:
. Тобто так само, як і для запису матриць.
Якщо та - деяке дійсне число, то
Таким чином, кожний вектор простору повністю визначається своїми координатами, тобто впорядкованою трійкою дійсних чисел,а операції над векторами простору зводяться до операцій над впорядкованими трійками дійсних чисел. Таким чином, з алгебричної точки зору вектори простору можна вважати впорядкованими трійками чисел.
Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.
Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається Існують простори як із скінченним, так й нескінченним базисом. Наприклад, n-вимірний еквлідовий простір.
Вектори базису є лінійно незалежними.
Обертання
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlV5TDBOaGNuUmxjMmxoYmw5amIyOXlaR2x1WVhSbFgzTjVjM1JsYlY5b1lXNWtaV1J1WlhOekxuTjJaeTh6TkRod2VDMURZWEowWlhOcFlXNWZZMjl2Y21ScGJtRjBaVjl6ZVhOMFpXMWZhR0Z1WkdWa2JtVnpjeTV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Набір лінійно незалежних векторів можна неперервно перетворювати, тому ні у якій проміжній конфігурації об'єм не перетвориться на нуль, або до набору (правий базис), або до набору
(лівий базис). Зокрема, перетворення здійснюється як поворот у площині, натягнутій на вектори
на кут
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemN4TDBkM1oyVjNZMlZqTWpFdWRHbG1MMnh2YzNONUxYQmhaMlV4TFRVM01IQjRMVWQzWjJWM1kyVmpNakV1ZEdsbUxtcHdadz09LmpwZw==.jpg)
Знак у формулі, наведеній під малюнком, визначається парністю перестановки.
Існує застереження щодо складання обертань: трьохвимірні обертання не комутують.
Приклад
Вектори ei = (0, …, 1, …, 0), 1 ≤ i ≤ n утворюють базис в .
Нескінченовимірні простори
Цей розділ потребує доповнення. (грудень 2013) |
Див. також
Примітки
- А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
- С.Т.Завало, В.Н.Костарчук, Б.И.Хацет - Алгебра и теория чисел.
- М.Г.Иванов - Механика и теория поля.
- Moti Ben-Ari - A Tutorial on Euler Angles and Quaternions.
Джерела
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
- Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (грудень 2013) |
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ba zisom dav gr basis osnova vektornogo prostoru V displaystyle V nazivayetsya vporyadkovanij nabir vektoriv e1 en displaystyle e 1 e n yaksho kozhnij vektor iz V displaystyle V mozhna odnoznachno predstaviti u viglyadi linijnoyi kombinaciyi Ilyustraciya standartnogo bazisu v R2 Blakitnij i pomaranchevij vektori ye elementami bazisu zelenij vektor mozhe buti predstavlenij cherez bazisni vektori vin linijno zalezhit vid nih U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Bazis v i 1naiei ai K displaystyle v sum i 1 n a i e i quad a i in mathbb K Koeficiyenti ai displaystyle a i kilcya K displaystyle mathbb K nazivayutsya koordinatami vektora v displaystyle v vidnosno bazisu ei displaystyle e i Cya rivnist zazvichaj zapisuyetsya skorocheno a a1 a2 an displaystyle a alpha 1 alpha 2 alpha n Tobto tak samo yak i dlya zapisu matric Yaksho a a1 a2 a3 displaystyle a alpha 1 alpha 2 alpha 3 b b1 b2 b3 displaystyle b beta 1 beta 2 beta 3 ta l displaystyle lambda deyake dijsne chislo to a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 la la1 la2 la3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 displaystyle a b Leftrightarrow alpha 1 beta 1 land alpha 2 beta 2 land alpha 3 beta 3 quad quad lambda a lambda alpha 1 lambda alpha 2 lambda alpha 3 quad quad a b alpha 1 beta 1 alpha 2 beta 2 alpha 3 beta 3 Takim chinom kozhnij vektor prostoru povnistyu viznachayetsya svoyimi koordinatami tobto vporyadkovanoyu trijkoyu dijsnih chisel a operaciyi nad vektorami prostoru zvodyatsya do operacij nad vporyadkovanimi trijkami dijsnih chisel Takim chinom z algebrichnoyi tochki zoru vektori prostoru mozhna vvazhati vporyadkovanimi trijkami chisel Predstavlennya vektora u viglyadi linijnoyi kombinaciyi bazisnih vektoriv nazivayetsya rozkladannyam vektora po danomu bazisu Kilkist vektoriv bazisu ne zalezhit vid viboru bazisnih vektoriv i dorivnyuye rozmirnosti prostoru i poznachayetsya dim V displaystyle dim V Isnuyut prostori yak iz skinchennim tak j neskinchennim bazisom Napriklad n vimirnij ekvlidovij prostir Vektori bazisu ye linijno nezalezhnimi ObertannyaLiva ta prava sistemi koordinat u trohvimirnomu prostori Bazisom ye trijka vektoriv e1 e2 e3 kozhnij z yakih spryamovanij uzdovzh yakoyis iz osej Nabir linijno nezalezhnih vektoriv mozhna neperervno peretvoryuvati tomu ni u yakij promizhnij konfiguraciyi ob yem ne peretvoritsya na nul abo do naboru e1 e2 en displaystyle e 1 e 2 e n pravij bazis abo do naboru e1 e2 en displaystyle e 1 e 2 e n livij bazis Zokrema peretvorennya zdijsnyuyetsya yak povorot u ploshini natyagnutij na vektori e1 e2 displaystyle e 1 e 2 na kut p2 displaystyle frac pi 2 e1 e2 en e1 e2 en displaystyle e 1 e 2 e n rightarrow e 1 e 2 e n Znak u formuli navedenij pid malyunkom viznachayetsya parnistyu perestanovki Isnuye zasterezhennya shodo skladannya obertan trohvimirni obertannya ne komutuyut PrikladVektori ei 0 1 0 1 i n utvoryuyut bazis v Kn displaystyle mathbb K n Neskinchenovimirni prostoriCej rozdil potrebuye dopovnennya gruden 2013 Div takozhPortal Matematika Lema Stejnica pro zaminu Ortonormovanij bazis Reper matematika Tenzor Bazis ciklivPrimitkiA I Kostrikin Yu I Manin Linejnaya algebra i geometriya S T Zavalo V N Kostarchuk B I Hacet Algebra i teoriya chisel M G Ivanov Mehanika i teoriya polya Moti Ben Ari A Tutorial on Euler Angles and Quaternions DzherelaGelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Malcev A I Osnovy linejnoj algebry 3 e izd Novosibirsk Nauka 1970 400 s ros Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno gruden 2013 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi