Точна верхня межа (верхня грань) і точна нижня межа (нижня грань) — узагальнення понять максимуму та мінімуму відповідно.
Використовувані визначення
Мажоранта чи верхня межа множини — число
, таке що
.
Міноранта чи нижня межа множини — число
, таке що
.
Визначення
Точною верхньою гранню, чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини упорядкованої множини
, називається найменший елемент
, котрий дорівнює чи більший за всі елементи множини
. Іншими словами, супремум — це найменша з усіх верхніх граней. Позначається
.
Більш формально:
— множина верхніх граней
, тобто елементів
, рівних чи більших за всі елементи
Точною нижньою гранею, чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини впорядкованої множини
, називається найбільший елемент
, котрий дорівнює чи менший за всі елементи множини
. Іншими словами, інфімум — це найбільша з усіх нижніх граней. Позначається
.
Зауваження
Ці визначення нічого не говорять про те, чи належить й
множині
чи ні.
У випадку , говорять, що
є максимумом (найбільшим елементом)
, позначається
.
У випадку , говорять, що
є мінімумом (найменшим елементом)
, позначається
.
Приклади
- На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум.
такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
- Для множини
;
.
- Множина додатних раціональних чисел
не має точної верхньої грані в
, точна нижня грань
.
- Множина
раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої грані в
, але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то
та
.
Теорема про грані
Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню грань; обмежена знизу - нижню грань. Тобто існує та
такі, що
Властивості
- З теореми про грані, для будь-якої обмеженої зверху підмножини
, існує
.
- З теореми про грані, для будь-якої обмеженої знизу підмножини
, існує
.
- Дійсне число
є
тоді й тільки тоді, коли:
є верхня грань
тобто для всіх елементів
,
;
- Для будь-якого
знайдеться
, такий, що
.(тобто до
можна скільки завгодно «близько підібратися» з множини
)
- Аналогічне твердження справджується для точної нижньої грані.
Див. також
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
- Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Tochna verhnya mezha verhnya gran i tochna nizhnya mezha nizhnya gran uzagalnennya ponyat maksimumu ta minimumu vidpovidno Vikoristovuvani viznachennyaMazhoranta chi verhnya mezha mnozhini X displaystyle X chislo a displaystyle a take sho x X x a displaystyle forall x in X Rightarrow x leqslant a Minoranta chi nizhnya mezha mnozhini X displaystyle X chislo b displaystyle b take sho x X x b displaystyle forall x in X Rightarrow x geqslant b ViznachennyaTochnoyu verhnoyu grannyu chi supremumom lat supremum najvishij pidmnozhini X displaystyle X uporyadkovanoyi mnozhini M displaystyle M nazivayetsya najmenshij element M displaystyle M kotrij dorivnyuye chi bilshij za vsi elementi mnozhini X displaystyle X Inshimi slovami supremum ce najmensha z usih verhnih granej Poznachayetsya supX displaystyle sup X Bilsh formalno SX y M x X x y displaystyle S X y in M mid forall x in X x leqslant y mnozhina verhnih granej X displaystyle X tobto elementiv M displaystyle M rivnih chi bilshih za vsi elementi X displaystyle X s sup X s SX y SX s y displaystyle s sup X iff s in S X land forall y in S X s leqslant y Tochnoyu nizhnoyu graneyu chi infimumom lat infimum najnizhchij pidmnozhini X displaystyle X vporyadkovanoyi mnozhini M displaystyle M nazivayetsya najbilshij element M displaystyle M kotrij dorivnyuye chi menshij za vsi elementi mnozhini X displaystyle X Inshimi slovami infimum ce najbilsha z usih nizhnih granej Poznachayetsya infX displaystyle inf X Zauvazhennya Ci viznachennya nichogo ne govoryat pro te chi nalezhit supX displaystyle sup X j infX displaystyle inf X mnozhini X displaystyle X chi ni U vipadku s supX X displaystyle s sup X in X govoryat sho s displaystyle s ye maksimumom najbilshim elementom X displaystyle X poznachayetsya s maxx Xx displaystyle s max x in X x U vipadku i infX X displaystyle i inf X in X govoryat sho i displaystyle i ye minimumom najmenshim elementom X displaystyle X poznachayetsya i minx Xx displaystyle i min x in X x Div Najbilshij ta najmenshij element PrikladiNa mnozhini vsih racionalnih chisel bilshih p yati ne isnuye minimumu prote isnuye infinum inf displaystyle inf takoyi mnozhini dorivnyuye p yati Infinum ne ye minimumom tak yak p yat ne nalezhit cij mnozhini Yaksho zh viznachiti mnozhinu vsih naturalnih chisel bilshih p yati to u takoyi mnozhini ye minimum i vin dorivnyuye shesti Vzagali kazhuchi u bud yakoyi neporozhnoyi pidmnozhini mnozhini naturalnih chisel isnuye minimum Dlya mnozhini S 1k k N 1 12 13 displaystyle S left frac 1 k mid k in mathbb N right left 1 frac 1 2 frac 1 3 ldots right supS 1 displaystyle sup S 1 infS 0 displaystyle inf S 0 Mnozhina dodatnih racionalnih chisel Q x Q x gt 0 displaystyle mathbb Q x in mathbb Q mid x gt 0 ne maye tochnoyi verhnoyi grani v Q displaystyle mathbb Q tochna nizhnya gran infQ 0 displaystyle inf mathbb Q 0 Mnozhina X x Q x2 lt 2 displaystyle X x in mathbb Q mid x 2 lt 2 racionalnih chisel kvadrat kotrih menshe dvoh ne maye tochnoyi verhnoyi ta nizhnoyi grani v Q displaystyle mathbb Q ale yaksho jogo rozglyadati yak pidmnozhinu mnozhini dijsnih chisel tosupX 2 displaystyle sup X sqrt 2 ta infX 2 displaystyle inf X sqrt 2 Teorema pro graniFormulyuvannya Neporozhnya mnozhina obmezhena zverhu maye verhnyu gran obmezhena znizu nizhnyu gran Tobto isnuye a displaystyle a ta b displaystyle b taki sho b supX x X x b b b lt b x X x gt b 1 1 displaystyle b sup X begin cases forall x in X Rightarrow x leqslant b forall b b lt b Rightarrow exists x in X land x gt b end cases 1 1 a infX x X x a a a gt a x X x lt a 1 2 displaystyle a inf X begin cases forall x in X Rightarrow x geqslant a forall a a gt a Rightarrow exists x in X land x lt a end cases 1 2 VlastivostiZ teoremi pro grani dlya bud yakoyi obmezhenoyi zverhu pidmnozhini R displaystyle mathbb R isnuye sup displaystyle sup Z teoremi pro grani dlya bud yakoyi obmezhenoyi znizu pidmnozhini R displaystyle mathbb R isnuye inf displaystyle inf Dijsne chislo s displaystyle s ye supX displaystyle sup X todi j tilki todi koli s displaystyle s ye verhnya gran X displaystyle X tobto dlya vsih elementiv x X displaystyle x in X x s displaystyle x leqslant s Dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 znajdetsya x X displaystyle x in X takij sho x e gt s displaystyle x varepsilon gt s tobto do s displaystyle s mozhna skilki zavgodno blizko pidibratisya z mnozhini X displaystyle X Analogichne tverdzhennya spravdzhuyetsya dlya tochnoyi nizhnoyi grani Div takozhDvoyistist teoriya poryadku Najbilshij ta najmenshij element Maksimalni ta minimalni elementiDzherelaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2100 s ukr Birkgof G Teoriya reshyotok per s angl V N Salij pod red L A Skornyakova 3 e Moskva Nauka 1984 568 s ros Burbaki N Zagalna topologiya Osnovni strukturi 3 e M Nauka 1968 S 276 Elementi matematiki ros