Кардинальні числа

Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини ${\displaystyle A}$ позначається як ${\displaystyle |A|}$ або ${\displaystyle card(A)}$.

Кардинальне число
Формула	${\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots }$
Підтримується Вікіпроєктом
Є кількістю	елемент
Кардинальне число у Вікісховищі

Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку". Для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини.

Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

1. Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.
2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не більша від потужності множини B і записують |A|≤|B|.
3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' ⊆ B і B~A' ⊆ A. За теоремою Кантора — Бернштейна, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.
4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|≤|B| або |B|≤|A|. Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.

Операції над кардинальними числами

Додавання

Нехай а та b два кардинальні числа. Їх сумою a+b називається кардинальне число множини A ∪ B, де А та В — довільні множини, що не перетинаються такі, що a=|A|, b=|B|. Очевидно, що операція додавання комутативна і асоціативна.

Множення

Добутком ${\displaystyle a\cdot b}$ двох кардинальних чисел а та b називається кардинальне число множини ${\displaystyle A\times B}$, де a=|A|, b=|B|, А та В — довільні множини. Операція множення комутативна та асоціативна.

Піднесення до степеня

Степенем ${\displaystyle a^{b}}$ кардинального числа а з показником b називається кардинальне число множини ${\displaystyle A^{B}}$, де a=|A|, b=|B|.

Арифметика кардинальних чисел

Додавання та множення кардинальних чисел є операціями асоціативними та комутативними, тобто:

${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$

${\displaystyle a+b=b+a}$

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

Множення дистрибутивне відносно додавання,тобто:

${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

Мають місце рівності:

${\displaystyle 1^{a}=1}$

${\displaystyle a^{1}=a}$

${\displaystyle 0\cdot a=0}$

${\displaystyle a+0=a}$

${\displaystyle a^{b+k}=a^{b}\cdot a^{k}}$

${\displaystyle (a^{b})^{k}=a^{b\cdot k}}$

${\displaystyle (a\cdot b)^{k}=a^{k}\cdot b^{k}}$

Істинні наступні твердження:

1) якщо ${\displaystyle a\leq b}$ і ${\displaystyle b\leq c}$, то ${\displaystyle a\leq c}$

2) якщо ${\displaystyle a\leq b}$, то ${\displaystyle a+c\leq b+c}$

3) якщо ${\displaystyle a\leq b}$, то ${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c}$

4) якщо ${\displaystyle a\leq b}$, то ${\displaystyle a^{k}\leq b^{k}}$

Теорема 1.

${\displaystyle [P(A)]=2^{[A]}}$ для будь-якої множини А.

Теорема 2.(Г.Кантор)

${\displaystyle 2^{a}>a}$ для будь-якого кардинального числа а.

Приклади кардинальних чисел

Докладніше: Числа алеф

• 0 (нуль) та натуральні числа — ними записуються потужності скінченних множин. Наприклад, порожня множина ∅ має потужність 0, а множина ${\displaystyle \{{\text{коза}},{\text{порося}},{\text{собака}}\}}$ — очевидно 3.
• ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (алеф-нуль) — потужність множини ${\displaystyle \mathbb {N} }$, тобто множини всіх натуральних чисел. Це найменше нескінченне кардинальне число. Множину з потужністю ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (тобто множину, рівнопотужну множині натуральних чисел) називають зліченною, прикладами зліченних множин є:
  • ${\displaystyle \mathbb {N} }$ — множина всіх натуральних чисел (очевидно);
  • будь-яка нескінченна підмножина з ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (вона нескінченна, тому її кардинальне число нескінченне, але водночас вона вкладена в ${\displaystyle \mathbb {N} }$, тому її потужність не перевищує ${\displaystyle \aleph _{0}}$);
  • ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — множина всіх цілих чисел (їх можна перелічити, наприклад, отак: 0, −1, 1, −2, 2, …);
  • ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$ (множина пар натуральних чисел), а також ${\displaystyle \mathbb {N} ^{3}}$ і будь-яка множина ${\displaystyle \mathbb {N} ^{k}}$ при ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ (елементи таких множин можна пронумерувати натуральними числами);
  • ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — множина всіх раціональних чисел (${\displaystyle |\mathbb {N} |\leq |\mathbb {Q} |\leq |\mathbb {N} ^{2}|}$).
• ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ — кардинальне число множини ${\displaystyle \mathbb {R} }$, тобто множини всіх дійсних чисел. Можна довести, що ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$ (при цьому за теоремою Кантора з цього випливає ${\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{0}}$). Множину з потужністю ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ (тобто множину, рівнопотужну множині дійсних чисел) називають континуумом або континуальною множиною (водночас саме число ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ теж називають словом континуум), прикладами континуальних множин є:
  • ${\displaystyle \mathbb {R} }$ — множина всіх дійсних чисел (очевидно);
  • будь-який проміжок ненульової довжини з ${\displaystyle \mathbb {R} }$, наприклад: ${\displaystyle [0,1)}$, ${\displaystyle (0,\infty )}$ чи ${\displaystyle [8,{\frac {100}{3}}]}$ (довільно малий інтервал можна співставити всій множині дійсних чисел певною функцією, наприклад тангенсом);
  • ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (множина пар дійсних чисел), ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ й інші ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} )}$.
• ${\displaystyle \aleph _{1},\aleph _{2},\dots }$ (алеф-один, алеф-два тощо) — наступні після ${\displaystyle \aleph _{0}}$ у порядку зростання кардинальні числа. Якщо приймати континуум-гіпотезу, то ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$; інакше можна лише сказати, що ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{1}}$. Кантор довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
• ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$, де ${\displaystyle \alpha }$ — довільний ординал. Приклади для нескінченних ординалів: ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$, ${\displaystyle \aleph _{\omega +1}}$, ${\displaystyle \aleph _{\omega \cdot 2}}$, ${\displaystyle \aleph _{\omega ^{2}}}$ тощо.

Гіпотеза континуума

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує множини, кардинальне число ${\displaystyle \kappa }$ якої розташоване між ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (кардиналом множини натуральних чисел) та ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ (кардиналом множини дійсних чисел), тобто ${\displaystyle \aleph _{0}<\kappa <{\mathfrak {c}}}$.

Якщо приймати континуум-гіпотезу, то ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$; інакше можна лише сказати, що ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{1}}$.

Див. також

• Потужність множини
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум-гіпотеза
• Великі кардинальні числа

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)