В теорії множин (дисципліна математики), числа Алеф — множина чисел, що використовуються для представлення потужності (розміру) нескінченних множин. Названі за символом, що використовується для їх позначення – літери івриту алеф ().
Потужність множини натуральних чисел – (читається «алеф-нуль»), наступне, більше, кардинальне число - , потім - і так далі. Продовжуючи таким чином, можна визначити кардинальне число для кожного порядкового числа α.
Концепція числа сходить до Георга Кантора, який визначив поняття потужності і виявив, що нескінченні множини можуть мати різні потужності.
Числа алеф відрізняються від нескінченності (∞), що часто зустрічається у алгебрі та математичному аналізі. Алеф визначає розмірність нескінченних множин; нескінченність, з іншої сторони, зазвичай, визначається як крайня границя числової прямої (використовується до функцій чи послідовностей, що «розбігаються до нескінченності» або «нескінченно ростуть»), або як крайня точка розширеної числової прямої.
Алеф-нуль
є потужністю усіх натуральних чисел, та є першим нескінченим кардиналом. Множина має потужність тільки якщо це злічена нескінченна множина, яку можна поставити у пряму бієкцію, тобто «один-до-одного», з множиною натуральних чисел. До таких множин відносяться множина простих чисел, множина усіх раціональних чисел, множина алгебраїчних чисел, множина бінарних рядків усіх скінченних довжин і множина усіх скінченних підмножин будь-якої зліченної нескінченної множини.
Потужність зліченної множини є найменшим трансфінітним кардинальним числом. Це означає, що будь-яка нескінченна множина A має принаймні одну зліченну частину (тобто зліченну підмножину).
Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m· та .
Алеф-один
є потужністю множини всіх злічених порядкових чисел, яка називається ω1, або іноді Ω. Ця ω1 сама по собі є порядковим номером, більшим, за всі зліченні множини, тобто ця множина є незліченною. Таким чином відрізняється від . З визначення випливає, що не існує кардинального числа між та .
Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m··^, де m≥1 – ціле.
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Alef znachennya V teoriyi mnozhin disciplina matematiki chisla Alef mnozhina chisel sho vikoristovuyutsya dlya predstavlennya potuzhnosti rozmiru neskinchennih mnozhin Nazvani za simvolom sho vikoristovuyetsya dlya yih poznachennya literi ivritu alef ℵ displaystyle aleph Alef nul najmenshe transfinitne naturalne chislo Potuzhnist mnozhini naturalnih chisel ℵ 0 displaystyle aleph 0 chitayetsya alef nul nastupne bilshe kardinalne chislo ℵ 1 displaystyle aleph 1 potim ℵ 2 displaystyle aleph 2 i tak dali Prodovzhuyuchi takim chinom mozhna viznachiti kardinalne chislo ℵ a displaystyle aleph alpha dlya kozhnogo poryadkovogo chisla a Koncepciya chisla shodit do Georga Kantora yakij viznachiv ponyattya potuzhnosti i viyaviv sho neskinchenni mnozhini mozhut mati rizni potuzhnosti Chisla alef vidriznyayutsya vid neskinchennosti sho chasto zustrichayetsya u algebri ta matematichnomu analizi Alef viznachaye rozmirnist neskinchennih mnozhin neskinchennist z inshoyi storoni zazvichaj viznachayetsya yak krajnya granicya chislovoyi pryamoyi vikoristovuyetsya do funkcij chi poslidovnostej sho rozbigayutsya do neskinchennosti abo neskinchenno rostut abo yak krajnya tochka rozshirenoyi chislovoyi pryamoyi Alef nulℵ 0 displaystyle aleph 0 ye potuzhnistyu usih naturalnih chisel ta ye pershim neskinchenim kardinalom Mnozhina maye potuzhnist ℵ 0 displaystyle aleph 0 tilki yaksho ce zlichena neskinchenna mnozhina yaku mozhna postaviti u pryamu biyekciyu tobto odin do odnogo z mnozhinoyu naturalnih chisel Do takih mnozhin vidnosyatsya mnozhina prostih chisel mnozhina usih racionalnih chisel mnozhina algebrayichnih chisel mnozhina binarnih ryadkiv usih skinchennih dovzhin i mnozhina usih skinchennih pidmnozhin bud yakoyi zlichennoyi neskinchennoyi mnozhini Potuzhnist zlichennoyi mnozhini ℵ 0 displaystyle aleph 0 ye najmenshim transfinitnim kardinalnim chislom Ce oznachaye sho bud yaka neskinchenna mnozhina A maye prinajmni odnu zlichennu chastinu tobto zlichennu pidmnozhinu Dlya bud yakogo skinchennogo chisla m 1 vikonuyutsya rivnosti m ℵ 0 ℵ 0 displaystyle aleph 0 aleph 0 ta ℵ 0 m ℵ 0 displaystyle aleph 0 m aleph 0 Alef odinℵ 1 displaystyle aleph 1 ye potuzhnistyu mnozhini vsih zlichenih poryadkovih chisel yaka nazivayetsya w1 abo inodi W Cya w1 sama po sobi ye poryadkovim nomerom bilshim za vsi zlichenni mnozhini tobto cya mnozhina ye nezlichennoyu Takim chinom ℵ 1 displaystyle aleph 1 vidriznyayetsya vid ℵ 0 displaystyle aleph 0 Z viznachennya viplivaye sho ne isnuye kardinalnogo chisla mizh ℵ 0 displaystyle aleph 0 ta ℵ 1 displaystyle aleph 1 Dlya bud yakogo skinchennogo chisla m 1 vikonuyutsya rivnosti m ℵ 1 ℵ 1 displaystyle aleph 1 aleph 1 ℵ 1 ℵ 1 m ℵ 1 displaystyle aleph 1 aleph 1 m aleph 1 ℵ 0 ℵ 1 displaystyle aleph 0 aleph 1 de m 1 cile Div takozhKardinalne chislo Potuzhnist mnozhini