Теорія категорій — розділ математики, що вивчає властивості відношень між математичними структурами, незалежно від внутрішньої будови структур; абстрагується від множин та функцій до діаграм, де об'єкти сполучені морфізмами (стрілками).
Теорія категорій посідає центральне місце в сучасній математиці, а також має застосування в інформатиці та теоретичній фізиці. Сучасне викладання алгебричної геометрії та гомологічної алгебри основане на теорії категорії. Поняття теорії категорій використане в мові функційного програмування Haskell.
Історія
Поняття категорія було введено в 1945 році. Своїм походженням теорія категорій завдячує алгебраїчній топології. Подальші дослідження виявили об'єднувальну та уніфікувальну роль поняття категорія і пов'язаного з ним поняття функтора для багатьох розділів математики.
Теоретико-категорний аналіз основ теорії гомології привів до виділення у середині 50-х рр. 20 ст. так званих абелевих категорій, в рамках яких виявилося можливим здійснити основні побудови гомологічної алгебри. У 60-і рр. 20 ст. позначилася дедалі більша цікавість до неабелевих категорій, спонуканий задачами логіки, загальної алгебри, топології і алгебраїчної геометрії. Інтенсивний розвиток універсальної алгебри і аксіоматична побудова теорії гомотопій поклали початок різним напрямам досліджень: категорному дослідженню многовидів універсальної алгебри, теорії ізоморфізмів прямих розкладів, теорії зв'язаних функторів і теорії двоїстості функторів. Подальший розвиток виявив істотний взаємозв'язок між цими дослідженнями. Завдяки виникненню теорії відносних категорій, що широко використовує техніку зв'язаних функторів і , була встановлена двоїстість між теорією гомотопій і теорією універсальних алгебр, заснована на інтерпретації категорних визначень моноїда і комоноїда у відповідних функторів. Інший спосіб введення додаткових структур в категоріях пов'язаний із заданням в категоріях топології і побудові категорії пучків над топологічною категорією (так зв. топоси).
Визначення
Категорія
Категорія складається з
, елементи якого називаються об'єктами категорії, та класу
, елементи якого називаються морфізмами категорії. Ці класи повинні задовольняти наступним умовам:
- Кожній впорядкованій парі об'єктів А, В зіставлено клас
; якщо
, то А називається початком, або областю визначення морфізму f, а В — кінець, або область значень f.
- Кожен морфізм категорії належить одному і лише одному класу
.
- У класі
заданий частковий закон множення: добуток морфізмів
та
визначено тоді і тільки тоді, коли В=С, він позначається
і належить класу
.
- Справедливий закон асоціативності:
для будь-яких морфізмів, для яких дані добутки визначені.
- У кожному класі
визначений такий морфізм
, що
для
; морфізми
називаються одиничними, тотожними, або одиницями.
- Замітка: клас об'єктів звичайно не є множиною в сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія, в якій об'єкти складають множину, називається малою. Крім того, у принципі можливо (з невеликим виправленням визначення) розглядати категорії, в яких морфізми між будь-якими двома об'єктами також утворюють клас, або навіть велику структуру.
Приклади категорій
- Set — категорія множин. Об'єктами є множини, морфізмами — відображення множин, а множення збігається з послідовним виконанням відображень.
- Top — категорія топологічних просторів. Об'єктами є топологічні простори, морфізмами — всі неперервні відображення топологічних просторів, а множення знову збігається з послідовним виконанням відображень.
- Group — . Об'єктами є групи, морфізмами — всі гомоморфізми груп, а множення збігається з послідовним виконанням гомоморфізмів. За аналогією можна ввести категорію кілець і т. д.
- VectK — категорія векторних просторів над полем K. Морфізми — лінійні відображення векторних просторів.
- Rel — категорія бінарних відношень множини; клас об'єктів цієї категорії збігається з класом об'єктів Set, а морфізмами множини А в множину В є бінарні відношення цих множин, тобто всілякі підмножини декартового добутку А×В; множення збігається з множенням бінарних відношень.
- Моноїд є категорією з одним об'єктом, навпаки, кожна категорія, що складається з одного об'єкта, є моноїдом.
- Для будь-якої частково впорядкованої множини можна побудувати малу категорію, об'єктами якої є елементи множини, причому між елементами x і y існує єдиний морфізм тоді і тільки тоді, коли x≤y (зрозуміло, слід відрізняти цю категорію від категорії частково впорядкованих множин).
Всі перераховані вище категорії допускають ізоморфне вкладення в категорію множин. Категорії з такою властивістю називаються конкретними. Не всяка категорія є конкретною, наприклад, категорія, об'єктами якої є всі топологічні простори, а морфізмами — класи гомотопних відображень.
Комутативні діаграми
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlZtTDBOdmJXMTFkR0YwYVhabFgyUnBZV2R5WVcxZlptOXlYMjF2Y25Cb2FYTnRMbk4yWnk4eE5UQndlQzFEYjIxdGRYUmhkR2wyWlY5a2FXRm5jbUZ0WDJadmNsOXRiM0p3YUdsemJTNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Стандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Комутативна діаграма — це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізми або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від вибраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм:
Двоїстість
Для категорії можна визначити двоїсту категорію
, у якій:
- об'єкти збігаються з об'єктами початкової категорії;
- морфізми одержуються «обертанням стрілок»:
Взагалі, для будь-якого твердження теорії категорій можна сформулювати подвійне твердження за допомогою звернення стрілок. Часто подвійне явище позначається тим же терміном з приставкою ко- (див. приклади далі).
Справедливий принцип двоїстості: твердження р істинно в теорії категорій тоді і тільки тоді, коли в цій теорії істинно двоїсте твердження р*. Багато понять і результатів в математиці виявилися двоїстими один одному з точки зору понять теорії категорій: ін'єктивність і сюр'єктивність, многовиди і радикали в алгебрі і т. д.
Морфізми
- Морфізм
називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм
, що
та
. Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.
- Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Множина ендоморфізмів
є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом
.
- Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаються автоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів
по композиції.
- Мономорфізм — це морфізм
такий, що для будь-яких
з
випливає, що
.
Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.
- Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких
з
слідує
.
- Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.
Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно.
Універсальні об'єкти
Початковий (універсально відштовхуючий) об'єкт категорії — це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт.
Якщо початкові об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні.
Двоїстим чином визначається термінальний (універсально притягуючий) об'єкт — це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкта.
- Приклад: У категорії Set ініціальним об'єктом є порожня множина
, термінальним — множина з одного елементу
.
- Приклад: У категорії Group ініціальний і термінальний об'єкт збігаються — це група з одного елементу.
Добуток і сума об'єктів
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemc1TDBOaGRHVm5iM0pwWTJGc1VISnZaSFZqZEMwd015NXpkbWN2TWpRd2NIZ3RRMkYwWldkdmNtbGpZV3hRY205a2RXTjBMVEF6TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekppTDBOdmNISnZaSFZqZEMwd015NXpkbWN2TWpRd2NIZ3RRMjl3Y205a2RXTjBMVEF6TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
- Добуток об'єктів
та
— це об'єкт
з морфізмами
та
такими, що для будь-якого об'єкта
з морфізмами
та
існує єдиний морфізм
такий, що
.
Морфізми та
називаються проєкціями.
- Дуально визначається кодобуток (пряма сума):
об'єктів
і
. Відповідні морфізми
та
називаються вкладеннями. Не зважаючи на свою назву, в загальному випадку вони можуть і не бути мономорфізмами.
Якщо добуток і кодобуток існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.
Приклади
- У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин
, а пряма сума — диз'юнктне об'єднання
.
- У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток
, а прямий добуток — сума кілець
.
- У категорії VectK прямий добуток і пряма сума ізоморфні — це сума векторних просторів
.
Фактор-категорія
Фактор-категорія — конструкція, яка є аналогічною конструкції фактор-множини або фактор-алгебри. Нехай — довільна категорія, у класі морфізмів
задане відношення еквівалентності
яке задовільняє наступним умовам
- якщо
то кінці морфізмів
та
співпадають;
- якщо
та добуток
визначений, то
Через позначається клас еквівалентності морфізму
Фактор-категорією категорії
по відношенню еквівалентності називається категорія
у якої ті самі об'єкти, що й у
а для будь-якої пари об'єктів
множина морфізмів
складається з класів еквівалентності
де
у
добуток морфізмів
визначається формулою
Усяка мала категорія є фактор-категорії шляхів над підходячим орієнтованим графом.
Ядерна пара морфізму — узагальнення поняття еквівалентности, індукованого відображенням однієї множини у іншу. Морфізми категорії
є ядерною парою морфізму
якщо
та якщо для пари довільних морфізмів
для якої
існує такий єдиний морфізм
що
та
Функтори
Функтори — відображення категорій, що зберігають структуру. Точніше
- (Коваріантний) функтор
ставить у відповідність кожному об'єктові категорії
об'єкт категорії
і кожному морфізму
морфізм
так, що
і
.
- Контраваріантний функтор, або кофунктор — це функтор з
у
, тобто «функтор, що перевертає стрілки».
Мала категорія
Клас об'єктів не обов'язково є множиною у сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія , у якій об'єкти
є множиною та морфізми
є множиною, називається малою.
Нехай — функтор з малої категорії у довільну. Шаром
функтора
над
є категорія, об'єктами якої є пари
об'єктів
та морфізмів
категорії
, а морфізмами
між парами — трійки
морфізмів
таких, що
Двоїсто, ко-шаром
називається категорія, яка складається з пар
об'єктів
та морфізмів
у якій морфізмами
є трійки
які задовільняють співвідношенню
Функтор
(або, відповідно,
), який діє як
на об'єктах й як
на морфізмах, називається забуваючим функтором.
Тензорна категорія
Нехай категорія та нехай
— функтор, які називаються тензорним добутком. Категорія називається тензорною, якщо виконуються наступні умови:
- Заданий деякий ізоморфізм функторів
Це значить, що для
є ізоморфізм.
- Виконується аксіома п'ятикутника:
- Є об'єкт
для якого задані натуральні ізоморфізми
та
- Виконується аксіома трикутника:
Наприклад, для трійок та
є такий ізоморфізм
, що діаграма
є комутативною.
Категорія Дрінфельда
Володимир Гершонович Дрінфельд визначив квазі-трикутну моноїдальну категорію. Нехай — категорія, об'єктами якої є
-модулі, а
Це —
-лінійна адитивна категорія. Тепер нехай
Розгляньмо гомоморфізм
який визначається формулою
, і
Тут
є морфізмом асоціативності (асоціатором Дрінфельда). Через
позначений елемент Казіміра. Через
позначені співвідношення шестикутника. Для довільних
має місце тензорний добуток
Морфізм асоціативності
є елементом
Для
визначмо також скручення
формулою
де
є перестановкою. Морфізми
визначають структуру квазі-трикутної категорії на
Функтор Сера
Функтором Сера триангульованої -лінійної
-скінченної категорії
є коваріантний адитивний функтор
який комутує із зсувами, якщо має місце автоеквівалентність
така, що мають місце біфункторіальні ізоморфізми
де Якщо функтор Сера існує, то він єдиний з точністю до ізоморфізму.
Для гладкого проективного многовиду розмірності
й канонічного пучка
класична двоїстість Сера
де є наслідком того, що
є функтором Сера на довільній категорії обмежених комплексів когерентних пучків
Якщо на триангульованій
-лінійній
-скінченній категорії
є функтор Сера, то така категорія є категорією із двоїстістю Сера.
Нехай — скінченновимірна алгебра над
яка має скінченну гомологічну розмірність,
— довільна категорія скінченновимірних лівих
-модулів. Наявні два функтори дуалізації, які переводять
у
(праві моулі), й навпаки:
Тут — категорія скінченнопороджених модулів над скінченновимірною
-алгеброю
глобальної розмірності. Композиція
називається функтором Накаями й є функтором Сера у категорії
Тріагнульована -лінійна
-скінченна категорія
називається категорією Калабі-Яу, якщо триангульований
-кратний функтор зсуву
є функтором Сера. Найменше
називається розмірністю Калабі-Яу категорії
й позначається
Якщо категорія
не є категорією Калабі-Яу, то
Триангульовані категорії із двоїстістю Сера представляють інтерес тому, що на спадкових абелевих категоріях Нетер є двоїстість Сера.
Мультикатегорія
Мультикатегорією є набір об'єктів стрілок
операція композиції визначається як у звичайній категорії. У звичайній категорії область визначення
— одиничний об'єкт, тоді як у мультикатегорії це скінченна множина об'єктів. Іншими словами, для звичайної категорії
тоді як у мультикатегорії
Примітки
- Хелемский, А. Я. (2004). Лекции по функциональному анализу (рос.). Москва: МЦНМО. ISBN .
- D.E. Rydeheard, R.M. Burstall Computational Category Theory, — New York: Prentice Hall. — в 1988. — XIII, 257 р. — .
- . Архів оригіналу за 5 березня 2010. Процитовано 15 березня 2010.
- Топоси для фізики. [ 5 грудня 2008 у Wayback Machine.] {ref-en}
- J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker Abstract and concrete categories: The joy of cats [ 25 березня 2010 у Wayback Machine.], — New York: John Wiley and Sons, — 1990.
- Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
- (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 28 лютого 2020.
- В. Г. Дринфельд, О квазитреугольных квазихопфовых алгебрах и одной группе, тесно связанной с Gal(Q/Q), Алгебра и анализ, 1990, том 2, выпуск 4, 149–181.
- А. И. Бондал, М. М. Капранов, Представимые функторы, функторы Серра и перестройки, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1989, том 53, выпуск 6, 1183–1205.
Див. також
Література
- С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — .
- И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
- Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and concrete categories. John Wiley & Sons. .
- Awodey, Steven (2006). Category Theory (Oxford Logic Guides 49). Oxford University Press.
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter (2004). Categorical foundations. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97. Cambridge University Press.
Посилання
- Категорій теорія [ 19 квітня 2016 у Wayback Machine.] // Енциклопедія сучасної України / ред. кол.: І. М. Дзюба [та ін.] ; НАН України, НТШ. — К. : Інститут енциклопедичних досліджень НАН України, 2001–2023. — .
- Category Theory and Haskell [ 13 грудня 2017 у Wayback Machine.]
- Category Theory for Programmers [ 27 червня 2018 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teoriya kategorij rozdil matematiki sho vivchaye vlastivosti vidnoshen mizh matematichnimi strukturami nezalezhno vid vnutrishnoyi budovi struktur abstraguyetsya vid mnozhin ta funkcij do diagram de ob yekti spolucheni morfizmami strilkami Teoriya kategorij posidaye centralne misce v suchasnij matematici a takozh maye zastosuvannya v informatici ta teoretichnij fizici Suchasne vikladannya algebrichnoyi geometriyi ta gomologichnoyi algebri osnovane na teoriyi kategoriyi Ponyattya teoriyi kategorij vikoristane v movi funkcijnogo programuvannya Haskell IstoriyaPonyattya kategoriya bulo vvedeno v 1945 roci Svoyim pohodzhennyam teoriya kategorij zavdyachuye algebrayichnij topologiyi Podalshi doslidzhennya viyavili ob yednuvalnu ta unifikuvalnu rol ponyattya kategoriya i pov yazanogo z nim ponyattya funktora dlya bagatoh rozdiliv matematiki Teoretiko kategornij analiz osnov teoriyi gomologiyi priviv do vidilennya u seredini 50 h rr 20 st tak zvanih abelevih kategorij v ramkah yakih viyavilosya mozhlivim zdijsniti osnovni pobudovi gomologichnoyi algebri U 60 i rr 20 st poznachilasya dedali bilsha cikavist do neabelevih kategorij sponukanij zadachami logiki zagalnoyi algebri topologiyi i algebrayichnoyi geometriyi Intensivnij rozvitok universalnoyi algebri i aksiomatichna pobudova teoriyi gomotopij poklali pochatok riznim napryamam doslidzhen kategornomu doslidzhennyu mnogovidiv universalnoyi algebri teoriyi izomorfizmiv pryamih rozkladiv teoriyi zv yazanih funktoriv i teoriyi dvoyistosti funktoriv Podalshij rozvitok viyaviv istotnij vzayemozv yazok mizh cimi doslidzhennyami Zavdyaki viniknennyu teoriyi vidnosnih kategorij sho shiroko vikoristovuye tehniku zv yazanih funktoriv i bula vstanovlena dvoyistist mizh teoriyeyu gomotopij i teoriyeyu universalnih algebr zasnovana na interpretaciyi kategornih viznachen monoyida i komonoyida u vidpovidnih funktoriv Inshij sposib vvedennya dodatkovih struktur v kategoriyah pov yazanij iz zadannyam v kategoriyah topologiyi i pobudovi kategoriyi puchkiv nad topologichnoyu kategoriyeyu tak zv toposi ViznachennyaKategoriya Kategoriya C displaystyle mathcal C skladayetsya z ObC displaystyle text Ob mathcal C elementi yakogo nazivayutsya ob yektami kategoriyi ta klasu MorC displaystyle text Mor mathcal C elementi yakogo nazivayutsya morfizmami kategoriyi Ci klasi povinni zadovolnyati nastupnim umovam Kozhnij vporyadkovanij pari ob yektiv A V zistavleno klas HomC A B displaystyle text Hom mathcal C A B yaksho f HomC A B displaystyle f in text Hom mathcal C A B to A nazivayetsya pochatkom abo oblastyu viznachennya morfizmu f a V kinec abo oblast znachen f Kozhen morfizm kategoriyi nalezhit odnomu i lishe odnomu klasu HomC A B displaystyle text Hom mathcal C A B U klasi MorC displaystyle Mor mathcal C zadanij chastkovij zakon mnozhennya dobutok morfizmiv f Hom A B displaystyle f in text Hom A B ta g Hom C D displaystyle g in text Hom C D viznacheno todi i tilki todi koli V S vin poznachayetsya g f displaystyle g circ f i nalezhit klasu Hom A D displaystyle text Hom A D Spravedlivij zakon asociativnosti h g f h g f displaystyle h circ g circ f h circ g circ f dlya bud yakih morfizmiv dlya yakih dani dobutki viznacheni U kozhnomu klasi Hom A A displaystyle text Hom A A viznachenij takij morfizm idA displaystyle id A sho f idA idB f f displaystyle f circ id A id B circ f f dlya f Hom A B displaystyle f in text Hom A B morfizmi idA displaystyle id A nazivayutsya odinichnimi totozhnimi abo odinicyami Zamitka klas ob yektiv zvichajno ne ye mnozhinoyu v sensi aksiomatichnoyi teoriyi mnozhin Kategoriya v yakij ob yekti skladayut mnozhinu nazivayetsya maloyu Krim togo u principi mozhlivo z nevelikim vipravlennyam viznachennya rozglyadati kategoriyi v yakih morfizmi mizh bud yakimi dvoma ob yektami takozh utvoryuyut klas abo navit veliku strukturu Prikladi kategorij Set kategoriya mnozhin Ob yektami ye mnozhini morfizmami vidobrazhennya mnozhin a mnozhennya zbigayetsya z poslidovnim vikonannyam vidobrazhen Top kategoriya topologichnih prostoriv Ob yektami ye topologichni prostori morfizmami vsi neperervni vidobrazhennya topologichnih prostoriv a mnozhennya znovu zbigayetsya z poslidovnim vikonannyam vidobrazhen Group Ob yektami ye grupi morfizmami vsi gomomorfizmi grup a mnozhennya zbigayetsya z poslidovnim vikonannyam gomomorfizmiv Za analogiyeyu mozhna vvesti kategoriyu kilec i t d VectK kategoriya vektornih prostoriv nad polem K Morfizmi linijni vidobrazhennya vektornih prostoriv Rel kategoriya binarnih vidnoshen mnozhini klas ob yektiv ciyeyi kategoriyi zbigayetsya z klasom ob yektiv Set a morfizmami mnozhini A v mnozhinu V ye binarni vidnoshennya cih mnozhin tobto vsilyaki pidmnozhini dekartovogo dobutku A V mnozhennya zbigayetsya z mnozhennyam binarnih vidnoshen Monoyid ye kategoriyeyu z odnim ob yektom navpaki kozhna kategoriya sho skladayetsya z odnogo ob yekta ye monoyidom Dlya bud yakoyi chastkovo vporyadkovanoyi mnozhini mozhna pobuduvati malu kategoriyu ob yektami yakoyi ye elementi mnozhini prichomu mizh elementami x i y isnuye yedinij morfizm todi i tilki todi koli x y zrozumilo slid vidriznyati cyu kategoriyu vid kategoriyi chastkovo vporyadkovanih mnozhin Vsi pererahovani vishe kategoriyi dopuskayut izomorfne vkladennya v kategoriyu mnozhin Kategoriyi z takoyu vlastivistyu nazivayutsya konkretnimi Ne vsyaka kategoriya ye konkretnoyu napriklad kategoriya ob yektami yakoyi ye vsi topologichni prostori a morfizmami klasi gomotopnih vidobrazhen Komutativni diagrami Kategoriya z ob yektami X Y Z ta morfizmami f g Standartnim sposobom opisu tverdzhen teoriyi kategorij ye komutativni diagrami Komutativna diagrama ce oriyentovanij graf u vershinah yakogo znahodyatsya ob yekti a strilkami ye morfizmi abo funktori prichomu rezultat kompoziciyi strilok ne zalezhit vid vibranogo shlyahu Napriklad aksiomi teoriyi kategorij mozhna zapisati za dopomogoyu diagram Dvoyistist Dlya kategoriyi C displaystyle mathcal C mozhna viznachiti dvoyistu kategoriyu Cop displaystyle mathcal C op u yakij ob yekti zbigayutsya z ob yektami pochatkovoyi kategoriyi morfizmi oderzhuyutsya obertannyam strilok HomCop B A HomC A B displaystyle text Hom mathcal C op B A simeq text Hom mathcal C A B Vzagali dlya bud yakogo tverdzhennya teoriyi kategorij mozhna sformulyuvati podvijne tverdzhennya za dopomogoyu zvernennya strilok Chasto podvijne yavishe poznachayetsya tim zhe terminom z pristavkoyu ko div prikladi dali Spravedlivij princip dvoyistosti tverdzhennya r istinno v teoriyi kategorij todi i tilki todi koli v cij teoriyi istinno dvoyiste tverdzhennya r Bagato ponyat i rezultativ v matematici viyavilisya dvoyistimi odin odnomu z tochki zoru ponyat teoriyi kategorij in yektivnist i syur yektivnist mnogovidi i radikali v algebri i t d Morfizmi Morfizm f Hom A B displaystyle f in text Hom A B nazivayetsya izomorfizmom yaksho isnuye takij morfizm g Hom B A displaystyle g in text Hom B A sho g f idA displaystyle g circ f id A ta f g idB displaystyle f circ g id B Dva ob yekti mizh yakimi isnuye izomorfizm nazivayutsya izomorfnimi Zokrema totozhnij morfizm ye izomorfizmom tomu bud yakij ob yekt izomorfnij sam sobi Morfizmi v yakih pochatok i kinec zbigayutsya nazivayut endomorfizmami Mnozhina endomorfizmiv End A Hom A A displaystyle text End A text Hom A A ye monoyidom shodo operaciyi kompoziciyi z odinichnim elementom idA displaystyle id A Endomorfizmi yaki odnochasno ye izomorfizmami nazivayutsya avtomorfizmami Avtomorfizmi bud yakogo ob yekta utvoryuyut grupu avtomorfizmiv Aut A displaystyle text Aut A po kompoziciyi Monomorfizm ce morfizm f Hom A B displaystyle f in text Hom A B takij sho dlya bud yakih g1 g2 Hom X A displaystyle g 1 g 2 in text Hom X A z f g1 f g2 displaystyle f circ g 1 f circ g 2 viplivaye sho g1 g2 displaystyle g 1 g 2 Kompoziciya monomorfizmiv ye monomorfizmom Epimorfizm ce takij morfizm sho dlya bud yakih g1 g2 Hom B X displaystyle g 1 g 2 in text Hom B X z g1 f g2 f displaystyle g 1 circ f g 2 circ f sliduye g1 g2 displaystyle g 1 g 2 Bimorfizm ce morfizm sho ye odnochasno monomorfizmom i epimorfizmom Bud yakij izomorfizm ye bimorfizmom zvorotne vzagali kazhuchi virno ne dlya vsih kategorij Monomorfizm epimorfizm i bimorfizm ye uzagalnennyami ponyat in yektivnogo syur yektivnogo i biyektivnogo vidobrazhennya vidpovidno Universalni ob yekti Dokladnishe Pochatkovij ta terminalnij ob yekti Pochatkovij universalno vidshtovhuyuchij ob yekt kategoriyi ce takij ob yekt z yakogo isnuye yedinij morfizm v bud yakij inshij ob yekt Yaksho pochatkovi ob yekti v kategoriyi isnuyut to vsi voni izomorfni Dvoyistim chinom viznachayetsya terminalnij universalno prityaguyuchij ob yekt ce takij ob yekt v yakij isnuye yedinij morfizm z bud yakogo inshogo ob yekta Priklad U kategoriyi Set inicialnim ob yektom ye porozhnya mnozhina displaystyle emptyset terminalnim mnozhina z odnogo elementu displaystyle cdot Priklad U kategoriyi Group inicialnij i terminalnij ob yekt zbigayutsya ce grupa z odnogo elementu Dobutok i suma ob yektiv dobutokkodobutok pryama suma Dobutok ob yektiv X1 displaystyle X 1 taX2 displaystyle X 2 ce ob yekt X1 X2 displaystyle X 1 times X 2 z morfizmami p1 X1 X2 X1 displaystyle pi 1 X 1 times X 2 to X 1 ta p2 X1 X2 X2 displaystyle pi 2 X 1 times X 2 to X 2 takimi sho dlya bud yakogo ob yekta Y displaystyle Y z morfizmami f1 Y X1 displaystyle f 1 Y to X 1 ta f2 Y X2 displaystyle f 2 Y to X 2 isnuye yedinij morfizm f Y X1 X2 displaystyle f Y to X 1 times X 2 takij sho f p1 f1 f p2 f2 displaystyle f circ pi 1 f 1 quad f circ pi 2 f 2 Morfizmi p1 X1 X2 X1 displaystyle pi 1 X 1 times X 2 to X 1 ta p2 X1 X2 X2 displaystyle pi 2 X 1 times X 2 to X 2 nazivayutsya proyekciyami Dualno viznachayetsya kodobutok pryama suma X1 X2 displaystyle X 1 X 2 ob yektiv X1 displaystyle X 1 i X2 displaystyle X 2 Vidpovidni morfizmi i1 X1 X1 X2 displaystyle i 1 X 1 to X 1 X 2 ta i2 X2 X1 X2 displaystyle i 2 X 2 to X 1 X 2 nazivayutsya vkladennyami Ne zvazhayuchi na svoyu nazvu v zagalnomu vipadku voni mozhut i ne buti monomorfizmami Yaksho dobutok i kodobutok isnuyut to voni viznachayutsya odnoznachno z tochnistyu do izomorfizmu Prikladi U kategoriyi Set pryamij dobutok A i B ce dobutok v sensi teoriyi mnozhin A B displaystyle A times B a pryama suma diz yunktne ob yednannya A B displaystyle A sqcup B U kategoriyi Ring pryama suma ce tenzornij dobutok A B displaystyle A otimes B a pryamij dobutok suma kilec A B displaystyle A oplus B U kategoriyi VectK pryamij dobutok i pryama suma izomorfni ce suma vektornih prostoriv A B displaystyle A oplus B Faktor kategoriyaFaktor kategoriya konstrukciya yaka ye analogichnoyu konstrukciyi faktor mnozhini abo faktor algebri Nehaj R displaystyle R dovilna kategoriya u klasi morfizmiv MorR displaystyle mathrm Mor R zadane vidnoshennya ekvivalentnosti displaystyle sim yake zadovilnyaye nastupnim umovam yaksho a b displaystyle alpha sim beta to kinci morfizmiv a displaystyle alpha ta b displaystyle beta spivpadayut yaksho a b g d displaystyle alpha sim beta gamma sim delta ta dobutok ag displaystyle alpha gamma viznachenij to ag bd displaystyle alpha gamma sim beta delta Cherez a displaystyle alpha poznachayetsya klas ekvivalentnosti morfizmu a displaystyle alpha Faktor kategoriyeyu kategoriyi R displaystyle mathcal R po vidnoshennyu ekvivalentnosti nazivayetsya kategoriya R displaystyle mathcal R sim u yakoyi ti sami ob yekti sho j u R displaystyle mathcal R a dlya bud yakoyi pari ob yektiv A B displaystyle A B mnozhina morfizmiv Mor A B R displaystyle mathrm Mor A B in mathcal R sim skladayetsya z klasiv ekvivalentnosti a displaystyle alpha de a A B displaystyle alpha A rightarrow B u R displaystyle R dobutok morfizmiv a b displaystyle alpha beta viznachayetsya formuloyu a b ab displaystyle alpha beta alpha beta Usyaka mala kategoriya ye faktor kategoriyi shlyahiv nad pidhodyachim oriyentovanim grafom Yaderna para morfizmu uzagalnennya ponyattya ekvivalentnosti indukovanogo vidobrazhennyam odniyeyi mnozhini u inshu Morfizmi ϑ1 ϑ2 R A displaystyle vartheta 1 vartheta 2 R rightarrow A kategoriyi R displaystyle mathcal R ye yadernoyu paroyu morfizmu a A B displaystyle alpha A rightarrow B yaksho ϑ1a ϑ2a displaystyle vartheta 1 alpha vartheta 2 alpha ta yaksho dlya pari dovilnih morfizmiv f ps X A displaystyle varphi psi X rightarrow A dlya yakoyi fa psa displaystyle varphi alpha psi alpha isnuye takij yedinij morfizm g X R displaystyle gamma X rightarrow R sho f gϑ1 displaystyle varphi gamma vartheta 1 ta ps gϑ2 displaystyle psi gamma vartheta 2 FunktoriFunktori vidobrazhennya kategorij sho zberigayut strukturu Tochnishe Kovariantnij funktor F C D displaystyle mathcal F mathcal C to mathcal D stavit u vidpovidnist kozhnomu ob yektovi kategoriyi C displaystyle mathcal C ob yekt kategoriyi D displaystyle mathcal D i kozhnomu morfizmu f A B displaystyle f A to B morfizm F f F A F B displaystyle F f F A to F B tak sho F idA idF A displaystyle F id A id F A i F g F f F g f displaystyle F g circ F f F g circ f Kontravariantnij funktor abo kofunktor ce funktor z C displaystyle mathcal C u Dop displaystyle mathcal D op tobto funktor sho perevertaye strilki Mala kategoriyaKlas ob yektiv ne obov yazkovo ye mnozhinoyu u sensi aksiomatichnoyi teoriyi mnozhin Kategoriya C displaystyle mathcal C u yakij ob yekti ObC displaystyle mathrm Ob mathcal C ye mnozhinoyu ta morfizmi Mor C displaystyle Mor mathcal C ye mnozhinoyu nazivayetsya maloyu Nehaj F C D displaystyle mathcal F mathbb C rightarrow mathbb D funktor z maloyi kategoriyi u dovilnu Sharom F d displaystyle mathcal F d funktora F displaystyle mathcal F nad a ObD displaystyle a in mathrm Ob mathbb D ye kategoriya ob yektami yakoyi ye pari a a displaystyle a alpha ob yektiv a ObC displaystyle a in mathrm Ob mathbb C ta morfizmiv a Sa d displaystyle alpha Sa rightarrow d kategoriyi D displaystyle mathbb D a morfizmami a a b b displaystyle a alpha rightarrow b beta mizh parami trijki f a b displaystyle f alpha beta morfizmiv f C a b a D Sa d b D Sb b displaystyle f in mathbb C a b a in mathbb D Sa d beta in mathbb D Sb beta takih sho b Sf a displaystyle beta circ Sf alpha Dvoyisto ko sharom d S displaystyle d S nazivayetsya kategoriya yaka skladayetsya z par a a displaystyle a alpha ob yektiv a ObC displaystyle a in mathrm Ob mathbb C ta morfizmiv a d Sa displaystyle alpha d rightarrow Sa u yakij morfizmami a a b b displaystyle a alpha rightarrow b beta ye trijki f a b a b displaystyle f a rightarrow b alpha beta yaki zadovilnyayut spivvidnoshennyu Sf a b displaystyle Sf circ alpha beta Funktor Hd d S C displaystyle mathcal H d d S rightarrow mathbb C abo vidpovidno Hd S d C displaystyle mathcal H d S d rightarrow mathbb C yakij diye yak a a a displaystyle a alpha mapsto a na ob yektah j yak f a b f displaystyle f alpha beta mapsto f na morfizmah nazivayetsya zabuvayuchim funktorom Tenzorna kategoriyaNehaj C displaystyle mathcal C kategoriya ta nehaj C C C displaystyle otimes mathcal C times mathcal C rightarrow mathcal C funktor yaki nazivayutsya tenzornim dobutkom Kategoriya nazivayetsya tenzornoyu yaksho vikonuyutsya nastupni umovi Zadanij deyakij izomorfizm funktoriv a 1 1 displaystyle a otimes otimes times 1 rightarrow 1 times otimes Ce znachit sho dlya U V W X C displaystyle U V W X in mathcal C ye izomorfizm Vikonuyetsya aksioma p yatikutnika U V W X CaU V W X aU V W X 1U aV W X aU V W X aU V W 1X displaystyle forall U V W X in mathcal C quad quad a U V W otimes X circ a U otimes V W X 1 U otimes a V W X circ a U V otimes W X circ a U V W otimes 1 X Ye ob yekt I displaystyle I dlya yakogo zadani naturalni izomorfizmi l I 1 1 displaystyle l otimes I times 1 rightarrow 1 ta r 1 I 1 displaystyle r otimes 1 times I rightarrow 1 Vikonuyetsya aksioma trikutnika V W C 1V lW aV I W rV 1W displaystyle V W in mathcal C quad quad 1 V otimes l W circ a V I W r V otimes 1 W Napriklad dlya trijok U V W C displaystyle U V W in mathcal C ta f g h MorC displaystyle f g h in mathrm Mor mathcal C ye takij izomorfizm aU V W U V W U V W displaystyle a U V W U otimes V otimes W rightarrow U otimes V otimes W sho diagrama ye komutativnoyu Kategoriya DrinfeldaVolodimir Gershonovich Drinfeld viznachiv kvazi trikutnu monoyidalnu kategoriyu Nehaj C displaystyle mathfrak C kategoriya ob yektami yakoyi ye g displaystyle mathfrak g moduli a HomC U W Homg U W n displaystyle mathrm Hom mathfrak C U W mathrm Hom mathfrak g U W n Ce C displaystyle C linijna aditivna kategoriya Teper nehaj V1 V2 V3 C displaystyle V 1 V 2 V 3 in mathfrak C Rozglyanmo gomomorfizm 8 T3 ℏ End V1 V2 V3 displaystyle theta T 3 hbar rightarrow End V 1 otimes V 2 otimes V 3 yakij viznachayetsya formuloyu 8 tij Wij displaystyle theta t ij Omega ij i FV1V2V3 8 F displaystyle Phi V 1 V 2 V 3 theta Phi Tut F displaystyle Phi ye morfizmom asociativnosti asociatorom Drinfelda Cherez W displaystyle Omega poznachenij element Kazimira Cherez T3 ℏ displaystyle T 3 hbar poznacheni spivvidnoshennya shestikutnika Dlya dovilnih V1 V2 C displaystyle V 1 V 2 in mathfrak C maye misce tenzornij dobutok V1 V2 displaystyle V 1 otimes V 2 Morfizm asociativnosti FV1V2V3 displaystyle Phi V 1 V 2 V 3 ye elementom HomC V1 V2 V3 V1 V2 V3 displaystyle mathrm Hom mathfrak C V 1 otimes V 2 otimes V 3 V 1 otimes V 2 otimes V 3 Dlya V1 V2 C displaystyle V 1 V 2 in mathfrak C viznachmo takozh skruchennya SV1V2 V1 V2 V2 V1 displaystyle mathfrak S V 1 V 2 V 1 otimes V 2 rightarrow V 2 otimes V 1 formuloyu SV1V2 s exp ℏW 2 displaystyle mathfrak S V 1 V 2 s circ exp hbar Omega 2 de s displaystyle s ye perestanovkoyu Morfizmi FV1V2V3 SV1V2 displaystyle Phi V 1 V 2 V 3 mathfrak S V 1 V 2 viznachayut strukturu kvazi trikutnoyi kategoriyi na S displaystyle mathfrak S Funktor SeraFunktorom Sera triangulovanoyi C displaystyle C linijnoyi Hom displaystyle mathrm Hom skinchennoyi kategoriyi A displaystyle mathcal A ye kovariantnij aditivnij funktor F A A displaystyle F mathcal A rightarrow mathcal A yakij komutuye iz zsuvami yaksho maye misce avtoekvivalentnist F A A displaystyle F mathcal A rightarrow mathcal A taka sho mayut misce bifunktorialni izomorfizmi HomA E G DHomA G F E displaystyle mathrm Hom mathcal A E G cong D mathrm Hom mathcal A G F E de D HomC k E G ObA displaystyle D mathrm Hom C k E G in mathrm Ob mathcal A Yaksho funktor Sera isnuye to vin yedinij z tochnistyu do izomorfizmu Dlya gladkogo proektivnogo mnogovidu M displaystyle M rozmirnosti n displaystyle n j kanonichnogo puchka wM nWM displaystyle omega M land n Omega M klasichna dvoyistist Sera Hi M F DExtn i F wM displaystyle H i M mathfrak F cong D mathrm Ext n i mathfrak F omega M de F coh M displaystyle mathfrak F in mathrm coh M ye naslidkom togo sho F wM n displaystyle F otimes omega M n ye funktorom Sera na dovilnij kategoriyi obmezhenih kompleksiv kogerentnih puchkiv Db coh M displaystyle D b mathrm coh M Yaksho na triangulovanij C displaystyle C linijnij Hom displaystyle mathrm Hom skinchennij kategoriyi A displaystyle mathcal A ye funktor Sera to taka kategoriya ye kategoriyeyu iz dvoyististyu Sera Nehaj A displaystyle A skinchennovimirna algebra nad C displaystyle C yaka maye skinchennu gomologichnu rozmirnist A Db A mod displaystyle mathcal A D b A mathrm mod dovilna kategoriya skinchennovimirnih livih A displaystyle A moduliv Nayavni dva funktori dualizaciyi yaki perevodyat Db A mod displaystyle D b A mathrm mod u Db mor A displaystyle D b mathrm mor A pravi mouli j navpaki Db A mod dDb mod A dDb A mod displaystyle D b A mathrm mod overset delta rightarrow D b mathrm mod A overset d rightarrow D b A mathrm mod d M RHomA M A d M HomC M C displaystyle delta M R mathrm Hom A M A quad quad d M mathrm Hom C M C Tut mod A displaystyle mathrm mod A kategoriya skinchennoporodzhenih moduliv nad skinchennovimirnoyu C displaystyle C algebroyu A displaystyle A globalnoyi rozmirnosti Kompoziciya F d d displaystyle F d circ delta nazivayetsya funktorom Nakayami j ye funktorom Sera u kategoriyi A Db A mod displaystyle mathcal A D b A mathrm mod Triagnulovana C displaystyle C linijna Hom displaystyle mathrm Hom skinchenna kategoriya A displaystyle mathcal A nazivayetsya kategoriyeyu Kalabi Yau yaksho triangulovanij n displaystyle n kratnij funktor zsuvu n displaystyle n ye funktorom Sera Najmenshe n 0 displaystyle n geq 0 nazivayetsya rozmirnistyu Kalabi Yau kategoriyi A displaystyle mathcal A j poznachayetsya CYdim A displaystyle mathrm CYdim mathcal A Yaksho kategoriya A displaystyle mathcal A ne ye kategoriyeyu Kalabi Yau to CYdim A displaystyle mathrm CYdim mathcal A infty Triangulovani kategoriyi iz dvoyististyu Sera predstavlyayut interes tomu sho na spadkovih abelevih kategoriyah A displaystyle mathbb A Neter ye dvoyistist Sera MultikategoriyaMultikategoriyeyu ye nabir ob yektiv a b displaystyle a b strilok f1 f2 displaystyle f 1 f 2 operaciya kompoziciyi viznachayetsya yak u zvichajnij kategoriyi U zvichajnij kategoriyi oblast viznachennya domf displaystyle mathrm dom f odinichnij ob yekt todi yak u multikategoriyi ce skinchenna mnozhina ob yektiv Inshimi slovami dlya zvichajnoyi kategoriyi a b displaystyle a rightarrow b todi yak u multikategoriyi a1a2 ak b k N displaystyle begin bmatrix a 1 a 2 a k end bmatrix rightarrow b quad k in mathbb N PrimitkiHelemskij A Ya 2004 Lekcii po funkcionalnomu analizu ros Moskva MCNMO ISBN 5 94057 065 8 D E Rydeheard R M Burstall Computational Category Theory New York Prentice Hall v 1988 XIII 257 r ISBN 0 13 162736 8 Arhiv originalu za 5 bereznya 2010 Procitovano 15 bereznya 2010 Toposi dlya fiziki 5 grudnya 2008 u Wayback Machine ref en J Adamek H Herrlich G E Strecker Abstract and concrete categories The joy of cats 25 bereznya 2010 u Wayback Machine New York John Wiley and Sons 1990 Matematicheskaya enciklopediya M Sovetskaya enciklopediya I M Vinogradov 1977 1985 PDF Arhiv originalu PDF za 28 lyutogo 2020 V G Drinfeld O kvazitreugolnyh kvazihopfovyh algebrah i odnoj gruppe tesno svyazannoj s Gal Q Q Algebra i analiz 1990 tom 2 vypusk 4 149 181 A I Bondal M M Kapranov Predstavimye funktory funktory Serra i perestrojki Izv AN SSSR Ser matem 1989 tom 53 vypusk 6 1183 1205 Div takozhKategoriya Teoriya grup Lyambda chislennya Kategoriya dobutku Teoriya toposivLiteraturaS Maklejn Kategorii dlya rabotayushego matematika M FIZMATLIT 2004 352 s ISBN 5 9221 0400 4 I Bukur A Delyanu Vvedenie v teoriyu kategorij i funktorov M Mir 1972 Calenko M S Shulgejfer E G Osnovy teorii kategorij M Nauka 1974 Adamek Jiri Herrlich Horst Strecker George E 1990 Abstract and concrete categories John Wiley amp Sons ISBN 0 471 60922 6 Awodey Steven 2006 Category Theory Oxford Logic Guides 49 Oxford University Press Pedicchio Maria Cristina Tholen Walter 2004 Categorical foundations Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97 Cambridge University Press PosilannyaKategorij teoriya 19 kvitnya 2016 u Wayback Machine Enciklopediya suchasnoyi Ukrayini red kol I M Dzyuba ta in NAN Ukrayini NTSh K Institut enciklopedichnih doslidzhen NAN Ukrayini 2001 2023 ISBN 966 02 2074 X Category Theory and Haskell 13 grudnya 2017 u Wayback Machine Category Theory for Programmers 27 chervnya 2018 u Wayback Machine