Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. |
Функтор — відображення однієї категорії в іншу, узгоджене зі структурою категорій. Функтори були вперше введені в алгебраїчній топології, де алгебраїчні структури пов'язуються з топологічними просторами, а їхні гомоморфізми — з неперервними відображеннями. В наш час[] функтори використовуються в багатьох розділах математики для встановлення зв'язків між різними категоріями. Термін «функтор» був взятий математиками з робіт філософа Р. Карнапа.
Визначення
Одномісним коваріантним функтором з категорії у категорію , називається пара відображень що позначаються зазвичай однією і тією ж буквою, наприклад F , та задовольняють умовам:
- для кожного ;
- для будь-яких морфізмів і .
Функтор з категорії , двоїстої категорії , у категорію називається одномісним контраваріантним функтором з у . Таким чином для контраваріантного функтора як і раніше повинна виконуватися умова 1), а замість умови 2) — умова 2*) для будь-яких морфізмів .
n-містним функтором з категорій в категорію , коваріантним за аргументами і контраваріантним за рештою аргументів, називається функтор з декартового добутку категорій у категорію , де при і при інших i. Двомісні функтори, коваріантні за обома аргументами, називаються біфункторами.
Поліноміальний функтор
В алгебрі є ендофунктором у категорії скінченновимірних векторних просторів, що поліноміально не залежить від векторних просторів.
Нехай та - однорідні поліноміальні функтори степенів та відповідно. Тоді - однорідний поліноміальний функтор степеня який відповідає представленню групи
Приклади
- Функтор , що відображає кожен об'єкт категорії в деякий фіксований об'єкт X категорії , а кожен морфізм категорії в одиничний морфізм на об'єкті X називавається сталим функтором.
- Тотожне відображення довільної категорії в себе є одномісним коваріантним функтором, який називається тотожним функтором категорії і позначається .
- Нехай — довільна категорія — категорія множин, А — фіксований об'єкт з . Зіставлення кожному множини і кожному морфізму відображення , де для кожного , є функтором з у . Цей функтор називається основним коваріантним функтором з у з представляючим об'єктом А. За допомогою двоїстості визначається контраваріантний функтор з у з представляючим об'єктом А. Ці функтори позначаються і відповідно. Якщо — категорія векторних просторів над полем K, то функтор задає перехід від простору Е до простору лінійних функціоналів Е*. У категорії топологічних абелевих груп функтор , де Q — факторгрупа групи дійсних чисел по підгрупі цілих чисел, зіставляє кожній групі її групу характерів.
У будь-якій категорії зі скінченними добутками, добуток можна розглядати як n-місний функтор, коваріантний за всіма аргументами, при будь-якому натуральному n. Як правило, конструкції, що визначаються для будь-якого об'єкта категорії або для будь-якої послідовності об'єктів фіксованої довжини незалежно від індивідуальних властивостей об'єктів, є функторами. Такі, наприклад, конструкція вільних алгебр деякого многовиду універсальних алгебр, що однозначно зіставляються кожному об'єктові категорії множин, конструкція фундаментальної групи топологічного простору, конструкції груп гомології і когомології різних розмірностей і т. д.
Будь-який функтор визначає відображення кожної множини в множину зіставляючи морфізму морфізм . функтор F називається унівалентним, якщо всі вказані відображення ін'єктивні, і повним, якщо всі ці відображення сюр'єктивні.
Див. також
Література
- Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985.
- С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — .
- И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi iz chinnimi movnimi standartami Funktor vidobrazhennya odniyeyi kategoriyi v inshu uzgodzhene zi strukturoyu kategorij Funktori buli vpershe vvedeni v algebrayichnij topologiyi de algebrayichni strukturi pov yazuyutsya z topologichnimi prostorami a yihni gomomorfizmi z neperervnimi vidobrazhennyami V nash chas koli funktori vikoristovuyutsya v bagatoh rozdilah matematiki dlya vstanovlennya zv yazkiv mizh riznimi kategoriyami Termin funktor buv vzyatij matematikami z robit filosofa R Karnapa ViznachennyaOdnomisnim kovariantnim funktorom F C D displaystyle mathcal F colon mathcal C to mathcal D z kategoriyi C displaystyle mathcal C u kategoriyu D displaystyle mathcal D nazivayetsya para vidobrazhen F O b O b C O b D displaystyle mathcal F Ob colon Ob mathcal C to Ob mathcal D F H o m H o m C H o m D displaystyle mathcal F mathrm Hom colon mathrm Hom mathcal C to mathrm Hom mathcal D sho poznachayutsya zazvichaj odniyeyu i tiyeyu zh bukvoyu napriklad F ta zadovolnyayut umovam F i d A i d F A displaystyle F id A id F A dlya kozhnogo A O b D displaystyle A in Ob mathcal D F g f F g F f displaystyle F g circ f F g circ F f dlya bud yakih morfizmiv f H o m C A B displaystyle f in mathrm Hom mathcal C A B i g H o m D B C displaystyle g in mathrm Hom mathcal D B C Funktor z kategoriyi C displaystyle mathcal C dvoyistoyi kategoriyi C displaystyle mathcal C u kategoriyu D displaystyle mathcal D nazivayetsya odnomisnim kontravariantnim funktorom z C displaystyle mathcal C u D displaystyle mathcal D Takim chinom dlya kontravariantnogo funktora F C D displaystyle mathcal F colon mathcal C to mathcal D yak i ranishe povinna vikonuvatisya umova 1 a zamist umovi 2 umova 2 F g f F f F g displaystyle F g circ f F f circ F g dlya bud yakih morfizmiv f H o m C A B displaystyle f in mathrm Hom mathcal C A B g H o m D B C displaystyle g in mathrm Hom mathcal D B C n mistnim funktorom z kategorij C 1 C 2 C 3 C n displaystyle mathcal C 1 mathcal C 2 mathcal C 3 mathcal C n v kategoriyu D displaystyle mathcal D kovariantnim za argumentami 1 lt i 1 lt i 2 lt lt i k lt n displaystyle 1 lt i 1 lt i 2 lt lt i k lt n i kontravariantnim za reshtoyu argumentiv nazivayetsya funktor z dekartovogo dobutku kategorij i 1 n C i displaystyle prod i 1 n bar mathcal C i u kategoriyu D displaystyle mathcal D de C i C i displaystyle bar mathcal C i mathcal C i pri i i 1 i 2 i k displaystyle i i 1 i 2 i k i C i C i displaystyle bar mathcal C i mathcal C i pri inshih i Dvomisni funktori kovariantni za oboma argumentami nazivayutsya bifunktorami Polinomialnij funktor V algebri ye endofunktorom u kategoriyi V displaystyle mathcal V skinchennovimirnih vektornih prostoriv sho polinomialno ne zalezhit vid vektornih prostoriv Nehaj E displaystyle E ta F displaystyle F odnoridni polinomialni funktori stepeniv m displaystyle m ta n displaystyle n vidpovidno Todi E F X E X F X displaystyle E otimes F X mapsto E X otimes F X odnoridnij polinomialnij funktor stepenya m n displaystyle m n yakij vidpovidaye predstavlennyu grupi S m n displaystyle S m n PrikladiFunktor F C D displaystyle mathcal F colon mathcal C to mathcal D sho vidobrazhaye kozhen ob yekt kategoriyi C displaystyle mathcal C v deyakij fiksovanij ob yekt X kategoriyi D displaystyle mathcal D a kozhen morfizm kategoriyi C displaystyle mathcal C v odinichnij morfizm na ob yekti X nazivavayetsya stalim funktorom Totozhne vidobrazhennya dovilnoyi kategoriyi C displaystyle mathcal C v sebe ye odnomisnim kovariantnim funktorom yakij nazivayetsya totozhnim funktorom kategoriyi i poznachayetsya I d C displaystyle Id mathcal C Nehaj C displaystyle mathcal C dovilna kategoriya O displaystyle mathcal O kategoriya mnozhin A fiksovanij ob yekt z C displaystyle mathcal C Zistavlennya kozhnomu X O b C displaystyle X in Ob mathcal C mnozhini H o m A X H o m C A X displaystyle mathrm Hom A X mathrm Hom mathcal C A X i kozhnomu morfizmu F X Y displaystyle F colon X to Y vidobrazhennya H o m f A H o m A X H o m A Y displaystyle mathrm Hom f A colon mathrm Hom A X to mathrm Hom A Y de H o m f A g g f displaystyle mathrm Hom f A g gf dlya kozhnogo g H o m A X displaystyle g in mathrm Hom A X ye funktorom z C displaystyle mathcal C u O displaystyle mathcal O Cej funktor nazivayetsya osnovnim kovariantnim funktorom z C displaystyle mathcal C u O displaystyle mathcal O z predstavlyayuchim ob yektom A Za dopomogoyu dvoyistosti viznachayetsya kontravariantnij funktor z C displaystyle mathcal C u O displaystyle mathcal O z predstavlyayuchim ob yektom A Ci funktori poznachayutsya H o m A displaystyle mathrm Hom A i H o m A displaystyle mathrm Hom A vidpovidno Yaksho C displaystyle mathcal C kategoriya vektornih prostoriv nad polem K to funktor H o m K displaystyle mathrm Hom K zadaye perehid vid prostoru E do prostoru linijnih funkcionaliv E U kategoriyi topologichnih abelevih grup funktor H o m Q displaystyle mathrm Hom Q de Q faktorgrupa grupi dijsnih chisel po pidgrupi cilih chisel zistavlyaye kozhnij grupi yiyi grupu harakteriv U bud yakij kategoriyi zi skinchennimi dobutkami dobutok mozhna rozglyadati yak n misnij funktor kovariantnij za vsima argumentami pri bud yakomu naturalnomu n Yak pravilo konstrukciyi sho viznachayutsya dlya bud yakogo ob yekta kategoriyi abo dlya bud yakoyi poslidovnosti ob yektiv fiksovanoyi dovzhini nezalezhno vid individualnih vlastivostej ob yektiv ye funktorami Taki napriklad konstrukciya vilnih algebr deyakogo mnogovidu universalnih algebr sho odnoznachno zistavlyayutsya kozhnomu ob yektovi kategoriyi mnozhin konstrukciya fundamentalnoyi grupi topologichnogo prostoru konstrukciyi grup gomologiyi i kogomologiyi riznih rozmirnostej i t d Bud yakij funktor F C D displaystyle mathcal F colon mathcal C to mathcal D viznachaye vidobrazhennya kozhnoyi mnozhini H o m C A B displaystyle mathrm Hom mathcal C A B v mnozhinu H o m C F A F B displaystyle mathrm Hom mathcal C F A F B zistavlyayuchi morfizmu f A B displaystyle f colon A to B morfizm F f F A F B displaystyle F f colon F A to F B funktor F nazivayetsya univalentnim yaksho vsi vkazani vidobrazhennya in yektivni i povnim yaksho vsi ci vidobrazhennya syur yektivni Div takozhZabutlivij funktor Konkretna kategoriyaLiteraturaMatematicheskaya enciklopediya Pod red I M Vinogradova M Mir 1985 S Maklejn Kategorii dlya rabotayushego matematika M FIZMATLIT 2004 352 s ISBN 5 9221 0400 4 I Bukur A Delyanu Vvedenie v teoriyu kategorij i funktorov M Mir 1972 Calenko M S Shulgejfer E G Osnovy teorii kategorij M Nauka 1974