В теорії категорій унівалентним функтором (відповідно Повним функтором) називається функтор, який є ін'ективним (відповідно сюр'єктивним) на кожній множині морфізмів із фіксованими образом і прообразом.
Більш точно, нехай C і D — локально малі категорії і нехай F: C → D — функтор з C у D. Цей функтор індукує функцію
для кожної пари об'єктів X і Y з C. Функтор F називається
- Унівалентним (або строгим), якщо функція F X, Y є ін'єктивною
- Повним, якщо F X, Y є сюр'єктивною
- Цілком унівалентним (або повним і унівалентним), якщо FX, Y є бієктивною
для кожних X і Y в C.
Властивості
- Унівалентний функтор не обов'язково є ін'єктивним на об'єктах категорії C, тому образ цілком унівалентного функтора може не бути категорією, ізоморфною C. Аналогічно, повний функтор не обов'язково є сюр'єктивним на об'єктах. Однак цілком унівалентний функтор є ін'єктивним на об'єктах з точністю до ізоморфізму, тобто якщо F: C → D є цілком унівалентним і , то (в цьому випадку говорять, що функтор F відображає ізоморфізми).
- Для будь-якого унівалентного функтора , якщо є епіморфізмом (мономорфізмом), то теж є епіморфізмом (мономорфізмом).
- Дійсно якщо — морфізми для яких , то з означення функтора випливає, що Оскільки є епіморфізмом то . Оскільки є унівалентним, то Твердження для мономорфізмів доводиться аналогічно.
Приклади
- Функтор U: Grp → Set, що переводить кожну групу у відповідну множину без групової структури є унівалентним, оскільки гомоморфізм груп однозначно визначається функцією на множинах-носіях. Категорія з унівалентним функтором у Set називається конкретною категорією.
- Функтор, який вкладає Ab в Grp є цілком унівалентим.
Див. Також
Література
- Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — Москва : Мир.
- Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V teoriyi kategorij univalentnim funktorom vidpovidno Povnim funktorom nazivayetsya funktor yakij ye in ektivnim vidpovidno syur yektivnim na kozhnij mnozhini morfizmiv iz fiksovanimi obrazom i proobrazom Bilsh tochno nehaj C i D lokalno mali kategoriyi i nehaj F C D funktor z C u D Cej funktor indukuye funkciyu FX Y HomC X Y HomD F X F Y displaystyle F X Y colon mathrm Hom mathcal C X Y rightarrow mathrm Hom mathcal D F X F Y dlya kozhnoyi pari ob yektiv X i Y z C Funktor F nazivayetsya Univalentnim abo strogim yaksho funkciya F X Y ye in yektivnoyu Povnim yaksho F X Y ye syur yektivnoyu Cilkom univalentnim abo povnim i univalentnim yaksho FX Y ye biyektivnoyu dlya kozhnih X i Y v C VlastivostiUnivalentnij funktor ne obov yazkovo ye in yektivnim na ob yektah kategoriyi C tomu obraz cilkom univalentnogo funktora mozhe ne buti kategoriyeyu izomorfnoyu C Analogichno povnij funktor ne obov yazkovo ye syur yektivnim na ob yektah Odnak cilkom univalentnij funktor ye in yektivnim na ob yektah z tochnistyu do izomorfizmu tobto yaksho F C D ye cilkom univalentnim i F x F y displaystyle F x cong F y to x y displaystyle x cong y v comu vipadku govoryat sho funktor F vidobrazhaye izomorfizmi Dlya bud yakogo univalentnogo funktora F C D displaystyle F colon mathcal C longrightarrow mathcal D yaksho F f F x F y displaystyle F f colon F x longrightarrow F y ye epimorfizmom monomorfizmom to f x y displaystyle f colon x longrightarrow y tezh ye epimorfizmom monomorfizmom Dijsno yaksho g h y z displaystyle g h colon y longrightarrow z morfizmi dlya yakih g f h f displaystyle g circ f h circ f to z oznachennya funktora viplivaye sho F g F f F h F f displaystyle F g circ F f F h circ F f Oskilki F f displaystyle F f ye epimorfizmom to F g F h displaystyle F g F h Oskilki F displaystyle F ye univalentnim to g h displaystyle g h Tverdzhennya dlya monomorfizmiv dovoditsya analogichno PrikladiFunktor U Grp Set sho perevodit kozhnu grupu u vidpovidnu mnozhinu bez grupovoyi strukturi ye univalentnim oskilki gomomorfizm grup odnoznachno viznachayetsya funkciyeyu na mnozhinah nosiyah Kategoriya z univalentnim funktorom u Set nazivayetsya konkretnoyu kategoriyeyu Funktor yakij vkladaye Ab v Grp ye cilkom univalentim Div TakozhPovna kategoriyaLiteraturaBukur I Delyanu A Vvedenie v teoriyu kategorij i funktorov Moskva Mir Leinster Tom 2014 Basic Category Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics T 143 Cambridge University Press ISBN 978 1 107 04424 1