Епіморфізм у категорії ― морфізм , для якого із будь-якої рівності випливає, що (тобто є скорочуваним справа).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekJrTDBWd2FXMXZjbkJvYVhOdFgzTmpaVzVoY21sdmN5NXpkbWN2TWpJd2NIZ3RSWEJwYlc5eWNHaHBjMjFmYzJObGJtRnlhVzl6TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
У категорії множин роль епіморфізмів відіграють сюр'єкції, у загальній алгебрі ― сюр'єктивні гомоморфізми.
Двоїстим до поняття епіморфізм є поняття мономорфізму. Багато авторів в абстрактній та універсальній алгебрі визначають епіморфізм просто як сюр'єктивний гомоморфізм.
Властивості
Приклади
Кожен морфізм у конкретній категорії, якому відповідає сюр'єктивна функція є епіморфізмом. Наприклад, сюр'єктивний гомоморфізм груп або графів. У багатьох категоріях протилежне теж правильно. Наприклад, це правильно в категоріях множин, груп, абелевих груп, векторних просторів, правих модулів і топологічних просторів. Однак, наприклад, у категорії кілець вкладення — несюр'єктивний епіморфізм (і, крім того, біморфізм, який не є ізоморфізмом).
Пов'язані концепції
Серед інших концепцій вирізняють регулярні епіморфізми, екстремальні епіморфізми, сильні епіморфізми та розділені епіморфізми. Регулярний епіморфізм - епіморфізм, який вирівнює паралельну пару морфізмів. Екстремальний епімрофізм - епіморфізм, який не має мономорфізму за другий фактор, якщо тільки цей мономорфізм не є ізоморфізмом. Розділений епіморфізм - епіморфізм, що має правосторонню інверсію
Морфізм, що є мономорфізмом та епіморфізмом одночасно, називають біоморфізмом. Кожен ізоморфізм є біоморфізмом, проте зворотне не завжди вірно
Термінологія
Парні терміни епіморфізм та мономорфізм були вперше представлені групою вчених Бурбакі. Вони використовували епіморфізм як скорочення до Сюр'єкції. Деякі теоретики вважали, що епіморфізм є правильним аналогом сюр'єкції в довільній категорії, подібно до того, як мономорфізми є майже точною копією ін'єкцій. На жаль, це не є вірним, оскільки регулярні та сильні епіморфізми поводяться набагато більш схоже до сюр'єкцій ніж звичайні епіморфізми. намагався створити відмінність між епіморфізмами та епічними морфізмами, які і є епіморфізмами у сучасному розумінні. Проте це розходження не прижилося.
Розповсюдженою помилкою є те, що епіморфізми вважають ідентичними покращеними версіями сюр'єкцій. На жаль, це рідко є правдою, оскільки епіморфізми можуть поводити себе дуже несподівано. Наприклад, дуже важко класифікувати всі епіморфізми кілець. Загалом, епіморфізми мають свою унікальну концепцію, схожу до сюр'єкцій, проте в той самий час принципово іншу.
Література
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — Физматлит, 2004 [1998].
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Epimorfizm u kategoriyi morfizm f X Y displaystyle f X to Y dlya yakogo iz bud yakoyi rivnosti g 1 f g 2 f displaystyle g 1 circ f g 2 circ f viplivaye sho g 1 g 2 displaystyle g 1 g 2 tobto f displaystyle f ye skorochuvanim sprava U kategoriyi mnozhin rol epimorfizmiv vidigrayut syur yekciyi u zagalnij algebri syur yektivni gomomorfizmi Dvoyistim do ponyattya epimorfizm ye ponyattya monomorfizmu Bagato avtoriv v abstraktnij ta universalnij algebri viznachayut epimorfizm prosto yak syur yektivnij gomomorfizm VlastivostiDobutok dvoh epimorfizmiv ye epimorfizmom Yaksho dobutkom dvoh morfizmiv f g ye epimorfizm to f maye buti epimorfizmom Kozhnij pravij dilnik epimorfizmu ye epimorfizmom Klas usih ob yektiv i klas usih epimorfizmiv dovilnoyi kategoriyi utvoryuyut pidkategoriyu PrikladiKozhen morfizm u konkretnij kategoriyi yakomu vidpovidaye syur yektivna funkciya ye epimorfizmom Napriklad syur yektivnij gomomorfizm grup abo grafiv U bagatoh kategoriyah protilezhne tezh pravilno Napriklad ce pravilno v kategoriyah mnozhin grup abelevih grup vektornih prostoriv pravih moduliv i topologichnih prostoriv Odnak napriklad u kategoriyi kilec vkladennya Z Q displaystyle mathbb Z to mathbb Q nesyur yektivnij epimorfizm i krim togo bimorfizm yakij ne ye izomorfizmom Pov yazani koncepciyiSered inshih koncepcij viriznyayut regulyarni epimorfizmi ekstremalni epimorfizmi silni epimorfizmi ta rozdileni epimorfizmi Regulyarnij epimorfizm epimorfizm yakij virivnyuye paralelnu paru morfizmiv Ekstremalnij epimrofizm epimorfizm yakij ne maye monomorfizmu za drugij faktor yaksho tilki cej monomorfizm ne ye izomorfizmom Rozdilenij epimorfizm epimorfizm sho maye pravostoronnyu inversiyu Morfizm sho ye monomorfizmom ta epimorfizmom odnochasno nazivayut biomorfizmom Kozhen izomorfizm ye biomorfizmom prote zvorotne ne zavzhdi virnoTerminologiyaParni termini epimorfizm ta monomorfizm buli vpershe predstavleni grupoyu vchenih Burbaki Voni vikoristovuvali epimorfizm yak skorochennya do Syur yekciyi Deyaki teoretiki vvazhali sho epimorfizm ye pravilnim analogom syur yekciyi v dovilnij kategoriyi podibno do togo yak monomorfizmi ye majzhe tochnoyu kopiyeyu in yekcij Na zhal ce ne ye virnim oskilki regulyarni ta silni epimorfizmi povodyatsya nabagato bilsh shozhe do syur yekcij nizh zvichajni epimorfizmi namagavsya stvoriti vidminnist mizh epimorfizmami ta epichnimi morfizmami yaki i ye epimorfizmami u suchasnomu rozuminni Prote ce rozhodzhennya ne prizhilosya Rozpovsyudzhenoyu pomilkoyu ye te sho epimorfizmi vvazhayut identichnimi pokrashenimi versiyami syur yekcij Na zhal ce ridko ye pravdoyu oskilki epimorfizmi mozhut povoditi sebe duzhe nespodivano Napriklad duzhe vazhko klasifikuvati vsi epimorfizmi kilec Zagalom epimorfizmi mayut svoyu unikalnu koncepciyu shozhu do syur yekcij prote v toj samij chas principovo inshu LiteraturaUkrayinskoyu ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s Inshimi movami S Mak Lejn Kategorii dlya rabotayushego matematika Fizmatlit 2004 1998